卡方检验

第十二章假设测定I V：卡方测定

（The Chi Square Test）

壹、本单元目标

1、举例说明卡方测定适用的情况。

2、解释双变项交叉表（bivariate table）的结构，以及如何将独立性

（independence）的概念应用到交叉表的期待次数（expected frequencies）与观察次数（observed frequencies）之间的关系上。

3、说明如何将假设测定的逻辑运用在交叉表的分析上。

4、以五个假设测定的步骤说明卡方测定，以及正确的解释测定的结

果。

5、说明卡方测定的限制，以及统计显著性与实质重要性的差异。

贰、简介

本章要介绍的Chi Square (χ2) test（卡方测定）大概是社会科学研究中，最常看到的一种假设测定方法。这是因为此测定方法相当容易符合假设测定第一个步骤─基本假定设定─的要求。此测定方法是两个名目尺度变项间之假设测定的方法。因此在level of measurement 的要求方面是最基本的nominal level of measurement。这名目尺度变项不限于是二分的，也可适用在其它尺度测量的变项上。而χ2test 也是一种无参数的测定，因此在基本假定部分，我们无须知道母群体之分配特性（distribution-free）。χ2之抽样分配是一种已知之理论分配，就叫χ2分配。（所谓Chi Square是χ这个希腊字母的发音加上「平方（square）」的英文）。

这种可以相当容易符合基本假定要求的无参数测定方法，可以让我们在做拒绝虚无假设的决策时，比较有信心。这是因为做假设测定时，如果在基本假定设定（测定的第一个步骤）中的任一要求或虚无假设（测定的第二个步骤）是错误时，我们就可拒绝虚无假设。但在无参数测定方法的情况下，我们比较容易符合基本假定的要求，因此可专注在判断虚无假设是否为错误，决策的结果也比较有信心。

参、双变项交叉表

卡方测定的进行要用到双变项交叉表。此交叉表同时呈现出两个不同变项间次数分配的情况。因此，双变项交叉表可用来探索这两个变项间是否有明显的关系存在。例如，以下是表示性别与教育程度间关系的一个双变项的交叉表：

表1性别与教育程度(N=100)

性别

教育程度男女合计

大专50 边缘总数大专以下50

50 50 100

双变项交叉表由栏（columns）与列（rows）组成。各栏与各列交会的部份就是表示两个变项共同次数的格（cells）。通常我们会将自变项放在栏的位置，应变项则放在列的位置（但研究者也可能会将位置调换）。一个交叉表中的每一栏及每一列，还会有该栏或该列的总数合计（subtotals），也称之为边缘总数（marginals）。整个交叉表的样本数，则是放在栏边缘总数与列边缘总数交会处。一个交叉表应该有清楚描述此表的表名。各栏及各列也要有变项名称，以及清楚表示变项类别的标题。

很明显的是，以上的交叉表还缺乏各格的讯息。一个完整之表自然是将上面每格内填入次数。各格的次数是将样本中每一个案，依照其在两个变项上所测量到类别或分数，一一放入各格中。

参、卡方测定的逻辑

χ2test有几种不同的用法，在此我们只讨论两种，一种是所谓的「独立性考验」(the test for independence)，另一为「适合度考验」(the test of goodness of fit)。

以前我们已经碰到过所谓两样本抽样时要独立抽样之概念。在此情况下，这个概念是说：选取一个样本中之个案时，不会影响到选取另一个案之机率。在χ2 test之讨论中，独立性(independence)之意义略有不同。在此测定方法的情况中，独立性的意义是指变项间的关系，而非样本。当两个变项间的关系为独立时，则一个案分类到第一个变项中某一类别的机率，是和此个案出现在另一个变项之某一类别的机率无关。一个简单的两变项间关系为独立的例子是，做为一个男人或女人（性别）和他或她是否会结婚（婚姻状况）无关。但如果两个变项的关系不是独立的话，那么一个案出现在第一变项中某一类别之机

率，是会和此个案出现在另一变项之某一类别的机率则会有关系。设想另一种极端的状况是，如果是男性就一定是大专程度的话，当我们知道某一个按为男性时，我们也就知道其为大专程度的机率为100％。

以前面的例子来说，如果性别和教育程度并无关系，即两变项为独立时，则50位男性有大专学历及大专以下程度的机率应相当接近。就如同掷一个好的骰子一样，50个男生中，应该是有一半人为大专程度，另一半为大专以下程度。50位女性的情况，也是一样。事实上如果100人平均分在4格中，自是表示说一个人到那个格中是一个random chance。因此，当两变项为独立时，样本中个案到四格之任何一格的机率均等。这种机率均等的情况，就是χ2独立性考验之虚无假设的意义。因此，χ2 test of independence之虚无假设为「变项间之关系是独立的」。

肆、卡方的计算及测定的步骤

在χ2 test of independence之虚无假设「变项间之关系是独立的」情况下，即在说如果null hypothesis为真的话，则每格中之次数（即一变项之某一类别与另一变项之某一类别间之交集的次数）是在random chance下发生的。这种虚无假设下所产生（或算出）之次数称为「期待次数」(expected frequencies)或「理论次数」。χ2test of independence即在比较实际观察到的次数(observed frequencies)与期待次数之间的差距是否大到一显著水平下所期待的。基本上，我们是要计算一检定统计值，χ2(obtained)，然后和χ2(critical)值来比较。

χ2(obtained)＝Σ(f o－f e)2／f e，

其中

f o＝实际观察到之每一格的次数

f e＝为变项间若是独立时，每一格之期待次数

而一个f e＝（相对应之列边缘合计）×（相对应之行边缘合计）／N

以下就以一例来说明χ2 test of independence之步骤。