3.如何判断一个数列是等差数列

一轮复习 19---------如何判断一个数列是等差数列 知识点归纳

判断或证明数列是等差数列的方法有：

()1定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；

【注】①求出的常数即为公差d ;

②n 的范围,1,n n n N a a *+∈- 12,n n n a a -≥- ()2中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；

()3通项公式法：n a pn q =+（*n N ∈）

n （关于的“一次函数”）⇔{}n a 为等差数列； ()4前n 项求和法：2n S An Bn =+（*n N ∈）

（缺常数项的“二次函数”）⇔{}n a 为等差数列；

例1 ()1在数列{}n a 中,1111,22,2n n n n n n a a a a b +-==+=,证明:数列{}n b 是等差数列. ()2已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1120n n n n S S S S ---+⋅=()2n ≥， 证明:1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

为等差数列.

例2 已知正项数列}{n a ()

,0n n N a *∈>的前n 项和为n S ,满足1n a =+, 求证: {}n a 为等差数列.

例3已知数列}{n a 的通项公式是21n n a =-,若数列

{}n b 满足()121114441n n b b b b n a ---=+ (n N *∈),证明: {}n b 是等差数列.

练习:

1. 已知数列{}n a 是等差数列，则使{}n b 为等差数列的数列是( )

（A ）n n a b = （B ）n n a b 1=

（C ）n n a b -= （D ）2n n a b =

2. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=

N n n

S b n n . 求证：数列{}n b 是等差数列.

3. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n pna S n n ，.21a a = ⑴求常数p 的值；

⑵求证：数列{}n a 是等差数列.

4. 已知函数()31x f x x =+，数列{}n a 满足11a =，()1()*n n a f a n N +=∈ 求证：数列1n a ⎧⎫⎨

⎬⎩⎭

是等差数列 5. 已知数列}{n a 中，135a =，数列112n n a a -=-,()2,*n n N ≥∈,数列{}n b 满足11

n n b a =-（*n N ∈）. ()1求证：数列{}n b 是等差数列； ()2求数列}{n a 的最大项与最小项，并说明理由.

6. 已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式

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设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n 都有2

)(1n n a a n S += 证明:{a n }是等差数列.

设{}n a 是等差数列，求证：以b n =n

a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n

b 为等差数列。