(完整版)近世代数复习

世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）
A 、满射而非单射
B 、单射而非满射
C 、一一映射
D 、既非单射也非满射
2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

A 、2
B 、5
C 、7
D 、10
3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说
A 、不是唯一
B 、唯一的
C 、不一定唯一的
D 、相同的(两方程解一样)
4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）
A 、不相等
B 、0
C 、相等
D 、不一定相等。

5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）
A 、倍数
B 、次数
C 、约数
D 、指数
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
1、设集合{}1,0,1A =-；{}1,2B =，则有B A ⨯= 。

2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的 。

3、环的乘法一般不交换。

如果环R 的乘法交换，则称R 是一个 。

4、偶数环是 的子环。

5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个 。

6、每一个有限群都有与一个置换群 。

7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 ，元a 的逆元是 。

8、设I 和S 是环R 的理想且I S R ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么 。

9、一个除环的中心是一个 。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设置换σ和τ分别为：1234567864173528σ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，1234567823187654τ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。

2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

3、设集合{0,1,2,,1,}(1)m M m m m =⋯⋯->，定义m M 中运算“m +”为a m +b=(a+b)(modm),则（m M ，m +）是不是群，为什么？
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、设G 是群。

证明：如果对任意的x G ∈，有2x e =，则G 是交换群。

2、假定R 是一个有两个以上的元的环，F 是一个包含R 的域，那么F 包含R 的一个商域。

近世代数模拟试题一 参考答案
一、单项选择题
1、C ；
2、D ；
3、B ；
4、C ；
5、D ；
二、填空题
1、()()()()()(){}1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1--；
2、单位元；
3、交换环；
4、整数环；
5、变换群；
6、同构;
7、1、1a
；8、S=I 或S=R ；9、域； 三、解答题
1、解：把σ和τ写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)σ= (123)(48)(57)(6)τ= 可知σ为奇置换，τ为偶置换。

σ和τ可以写成如下对换的乘积：
)27)(24)(16)(15)(13(=σ )57)(48)(12)(13(=τ
2、解：设A 是任意方阵，令1()2B A A '=
+， 1()2
C A A '=-，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且A B C =+。

若令有11A B C =+，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则11B B C C -=-，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一。

3、答：（m M ，m +）不是群，因为m M 中有两个不同的单位元素0和m 。

四、证明题
1、证：对于G 中任意元x ，y ，由于2()xy e =，所以111()
xy xy y x yx ---===（对每个x ，从2x e =可得1x x -=）。

2、证：在F 里11(,,0)a ab
b a a b R b b --==∈≠有意义， 作F 的子集(,,0)a Q a b R b b -⎧
⎫
=∈≠⎨⎬⎩
⎭所有 Q -
显然是R 的一个商域，证毕。

近世代数模拟试题二
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。

A 、{}a
B 、{},a e
C 、{}3,e a
D 、{}3,,e a a
2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群
A 、G 为整数集合，*为加法
B 、G 为偶数集合，*为加法
C 、G 为有理数集合，*为加法
D 、G 为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A 、a*b=a-b
B 、a*b=max{a,b}
C 、 a*b=a+2b
D 、a*b=|a-b|
4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ）
A 、2
1σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。

A 、不可能是群
B 、不一定是群
C 、一定是群
D 、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

2、一个有单位元的无零因子 称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与 同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B= 。

6、若映射φ既是单射又是满射，则称φ为 。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的 01,,,n a a a 使得
010n n a a a αα+++=。

8、a 是代数系统(,0)A 的元素，对任何x A ∈均成立x a x =，则称a 为 。

9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、 。

10、一个环R 对于加法来作成一个循环群，则P 是 。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G 是A 上的置换群，H 是G 的子群，H={I,(1 2)}，写出H 的所有陪集。

2、设E 是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E 中的运算，（E ，•）是一个代数系统，问（E ，•）是不是群，为什么？
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q 。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若<G ，*>是群，则对于任意的a 、b ∈G ，必有惟一的x ∈G 使得a*x ＝b 。

2、设m 是一个正整数，利用m 定义整数集Z 上的二元关系：a 〜b 当且仅当m ︱a –b 。

近世代数模拟试题二 参考答案
一、单项选择题
1、C ；
2、D ；
3、B ；
4、B ；
5、A ；
二、填空题
1、变换群；
2、交换环；
3、25；
4、模n 乘余类加群；
5、{2}；
6、一一映射；
7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；
三、解答题
1、解：H 的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H 的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、答：（E ，•）不是群，因为（E ，•）中无单位元。

3、解：辗转相除法。

列以下算式：
a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a ×b/17=11339。

然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.
四、证明题
1、证：设e 是群<G ，*>的幺元。

令x ＝a －1*b ，则a*x ＝a*(a －1*b)＝(a*a －1)*b ＝e*b ＝b 。

所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的解。

若x '∈G 也是a*x ＝b 的解，则x '＝e*x '＝(a －1*a)*x '＝a －1*(a*x ')＝a －1*b ＝x 。

所以，x ＝a －1*b 是a*x ＝b 的惟一解。

2、证：容易证明这样的关系是Z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm ，每个整数a 所在的等价类记为[a]=｛x ∈Z ；m ︱x –a ｝或者也可记为，称之为模m 剩余类。

若m ︱a –b 也记为a ≡b(m)。

当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。

近世代数模拟试题三
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。

A 、2阶
B 、3 阶
C 、4 阶
D 、 6 阶
2、设G 是群，G 有（ ）个元素，则不能肯定G 是交换群。

A 、4个
B 、5个
C 、6个
D 、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。

A 、偶数
B 、奇数
C 、4的倍数
D 、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）
A 、（N,≤）
B 、（Z,≥）
C 、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））
D 、 (P(A),⊆)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A 、(1)，(123)，(132)
B 、12)，(13)，(23)
C 、(1)，(123)
D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
1、群的单位元是 的，每个元素的逆元素是 的。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()1f f a -=⎡⎤⎣⎦ 。

3、区间[1，2]上的运算},{min b a b a = 的单位元是 。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8,则|ax|= 。

5、环Z 8的零因子有 。

6、一个子群H 的右、左陪集的个数 。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的 。

8、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的 。

9、设群G 中元素a 的阶为m ，如果n
a e =，那么m 与n 存在整除关系为 。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S 1，S 2是A 的子环，则S 1∩S 2也是子环，S 1+S 2也是子环吗？
3、设有置换(1345)(1245)σ=，6(234)(456)S τ=∈。

1．求στ和1τσ-；
2．确定置换στ和1τσ-的奇偶性。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M 为含幺半群，证明b =a -1的充分必要条件是aba =a 和ab 2a =e 。

近世代数模拟试题三 参考答案
一、单项选择题
1、C ；
2、C ；
3、D ；
4、D ；
5、A ；
二、填空题
1、唯一、唯一；
2、a ；
3、2；
4、24；
5、；
6、相等；
7、商群；
8、特征；
9、m n ；
三、解答题
1、解：在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。

2、证：由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b ∈S1∩S2 有a-b, ab ∈S1∩S2： 因为S1，S2是A 的子环，故a-b, ab ∈S1和a-b, ab ∈S2 ，
因而a-b, ab ∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。

S1+S2不一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1．(1243)(56)στ=，1
(16524)τσ-=；2．两个都是偶置换。

四、证明题 1、证：假定μ是R 的一个理想而μ不是零理想，那么a 0≠∈μ，
由理想的定义11a a μ-=∈，因而R 的任意元1b b μ=•∈，这就是说μ=R ，证毕。

2、证：必要性：将b 代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ，所以b=a-1。

近世代数模拟试题四（无参考答案）
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1.设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。

A.2
B.5
C.7
D.10
2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射ϕ：x→x＋2，∀x∈R，
则ϕ是从A到B的（）
A.满射而非单射
B.单射而非满射
C.一一映射
D.既非单射也非满射
3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）
A.(1)，(123)，(132)
B.(12)，(13)，(23)
C.(1)，(123)
D.S3中的所有元素
4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。

A.2
B.4
C.6
D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）
A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体M n(Q)关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：∀m， n∈Z， m n＝0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“ ”：∀m， n∈Z， m n＝1
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)
6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。

7.设(G，·)是一个群，那么，对于∀a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝___________。

8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。

9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于∀a∈G，则元素a 的阶只可能是_ ___5,15,1,3,_______。

10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。

11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是 2,3,4________。

12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。

13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝_____________。

14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是______________________。

15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
16.设Z为整数加群，Z m为以m为模的剩余类加群，ϕ是Z到Z m的一个映射，其中
ϕ：k→［k］，∀k∈Z，
验证：ϕ是Z到Z m的一个同态满射，并求ϕ的同态核Kerϕ。

17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。

18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。

四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）
19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“ ”
由右边的运算表给出，证明：(G， )作成一个群。

a b c
a a
b c
b b
c a
c c a b
20.设 0,,,,,,0a b a R a b c d Z I a c Z c d c ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=∈=∈⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭
已知R 关于矩阵的加法和乘法作成一个环。

证明：I 是R 的一个子环，但不是理想。

21.设(R ，＋，·)是一个环，如果(R ，＋)是一个循环群，证明：R 是一个交换环。

近世代数试卷（选择题有误，已经删去）
一、判断题（每小题1分，共10分）
1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（ ）
2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）
3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ ）
4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ ）
5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ ）
6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。

（ ）
7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。

（ ）
8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

（ ）
9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。

（ ）
10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。

（ ）
二、填空题（每空2分，共20分）
1、设集合{}1,0,1-=A ；{
}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

3、设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A 。

4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 。

5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

6、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π 。

7、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 。

8、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I R 是一个域当且仅当I 是 。

9、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果 。

10、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果 。

三、改错题（每小题3分，共15分）
1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。

2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么0≠S 。

4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'
d 都是a 和b 的最大公因子，那么必有'd d =。

5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

四、计算题（共15分）
1、给出下列四个四元置换
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34124321,43124321,34214321,432143214321ππππ 组成的群G ，试写出G 的乘法表，并且求出G 的单位元及14
131211,,,----ππππ和G 的所有子群。

2、设[][][][][][]{}5,4,3,2,1,06=Z 是模6的剩余类环，且[]x Z x g x f 6)(),(∈。

如果[][][]253)(3++=x x x f 、[][][]354)(2++=x x x g ，计算)()(x g x f +、)()(x g x f -和)()(x g x f 以及它们的次数。

五、证明题（每小题10分，共40分）
1、设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶n b =，并且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =。

2、设R 为实数集，0,,≠∈∀a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈∀+→,,:),( ，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈∀=a R b a f G b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。

3、设1I 和2I 为环R 的两个理想，试证21I I 和{}2121,I b I a b a I I ∈∈+=+都是R 的理想。

4、设R 是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R 中的非零元不是可逆元就是零因子。

近世代数试卷参考解答
一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二、填空题
1、()()()()()(){}1,2,0,2,1,21,1,0,1,1,1--。

2、a 。

3、φ。

4、n m 。

5、变换群。

6、()13524。

7、R y x ay x i i i i ∈∑,,。

8、一个最大理想。

9、p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子。

10、E 的每一个元都是F 上的一个代数元。

三、改错题
1、如果一个集合A 的代数运算 同时适合消去律和分配律，那么在n a a a 21里，元的次序可以掉换。

结合律与交换律
2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G 作成一个群，如果满足G 对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。

消去律成立
3、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么0S ≠。

S=I 或S=R
4、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子，若d 和'd 都是a 和b 的最大公因子，那么必有d=d ′。

一定有最大公因子；d 和d ′只能差一个单位因子
5、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的都不等于零的元n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

不都等于零的元
四、计算题：五、证明题（略）
基础测试题
一、填空题（42分）
1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 满足结合律 时， 也满足结合律；当 满足交换律 时， 也满足交换律。

2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ；
3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ；
4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与 同构；若n a =||， 则a 与 同构；
5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 ；子群有 ；
6、n 次对称群n S 的阶是 ；置换)24)(1378(=τ的阶是 ；
7、设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ；
9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ；
10、任意一个群都同一个 同构。

二、证明题（24）
1、设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n
=。

2、叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。

3、证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2，则G 必为交换群。

三、解答题（34）
1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。

2、写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。

基础测试参考答案
一、填空题
1、满足结合律； 满足交换律；
2、11--a b ；
3、e ；
4、整数加群；n 次单位根群；
5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；
6、n!;4
7、⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32) 9、|H|:(G:H) 10、（双射）变换群；
二、证明题
1、已知||n G =，|a|=k,则k|n ，令n=kq,则e a a
a q k kq n ===)( 即G 中每个元素都满足方程e x n =
2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,；
证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交
设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,
H 是G 的子群，有H ab ∈
K 是G 的子群，有K ab ∈
Q ab ∈∴
11a H a H a K a H -∀∈∈∈∈，则且，由定理，可知
综上所述，H 也是G 的子群。

3、证：
ba
a b ab ab a a a a a a a G
ab G b a =====⋅=⋅∈∈∀-----1111
2
1)(;
,由消元法得
G 是交换群。

三、解答题
1、解：设G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足以下条件：
（1）结合律成立，即对G 中任意元素,,()()a b c a b c a b c =，有
（2）G 中有元素e ，它对G 中每个元素a a e a = ，都有
（3）对G 中每个元素11,a G a a a e --=在中有元素，使
则G 对代数运算 作成一个群。

对任意整数a,b ，显然a+b+4由a,b 唯一确定，故 为G 的代数运算。

（a b ） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8
a (
b c)=a+b+c+8
即（a b ） c= a (b c)满足结合律 ∀a 均有（-4） a=-4+a+4=a
故-4为G 的左单位元。

（-8-a ） a=-8-a+a+4=-4
故-8-a 是a 的左逆元。

2、解：6||3=S 其子群的阶数只能是1，2，3，6 1阶子群｛（1）｝
2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝ 3阶子群｛（1）（123）（132）｝
6阶子群3S
左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H
（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H
（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H
右陪集：H （1）=｛（1）（23）｝=H （23） H （13）=｛（13）（23）｝=H （123）
H （12）=｛（12）（132）｝=H （132）。