22.C专题 巧用等腰直角三角形构造全等

专题 巧用等腰直角三角形构造全等

方法技巧：遇到等腰直角三角形时，常可过斜边的两端点向过直角顶点的直线作垂线构造全等三

角形．

基本图形：如图，若AB ＝AC ，AB ⊥AC ，则可过斜边的两端点B 、C 向过A 点的直线作垂线构造

△ABD ≌△CAE ．在坐标系中，过顶点A 的直线常为x 轴或y 轴．

01．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，B （0，2)，C （－2，2)，求点A 的坐标．

【解答】：解：作CM ⊥y 轴于M ，△AOB ≌△BCM ，A （－4，0)．

点评：过A 、C 向过B 点的y 轴作垂线，构造△AOB ≌△BCM ．

02． 如图，四边形ABCE 中，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，CE ⊥AE ，BD ⊥AE 于D ．求证：BD －CE ＝A D ．

【解答】：证法一：作CM ⊥BD 于M ，△BCM ≌△AB D ．

证法二：过B 作直线l ∥AE ，作AF ⊥l 于F ，CG ⊥l 于G ，△AFB ≌△BG C ． 点评：过A 、C 向过B 点的直线BD 作垂线，构造△BCM ≌△AB D ．

A B

C

D

E

A B D E A

B C D

E

03． 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为BC 上一点，过D 作DE ⊥AD ，且DE ＝AD ,

连BE ，求∠DBE 的度数．

【解答】：解法一：作AM ⊥BC 于M ，作EN ⊥BC 于N ，△AMD ≌△DNE ．

AM ＝DN ＝BM ，DM ＝EN ＝BN ，∴∠DBE ＝45°．

解法二：过D 作DF ⊥BD 交BA 的延长线于F ，△ADF ≌△EDB , ∠DBE

＝∠F ＝45°．

点评：过A 、E 向过D 点的直线BC 作垂线，构造△AMD ≌△DNE ．

04． 如图，OA ＝OB ，OA ⊥OB ，∠ASO ＝135°，求证：AS ⊥BS ．

【解答】：证法一：作BM ⊥OS 于M ，作AN ⊥OS 于N ，△BOM ≌△OAN ．

AN ＝SN ＝OM ，ON ＝BM ＝MS ，∴∠BSO ＝45°，∴AS ⊥BS ．

证法二：作OE ⊥OS 交AS 的延长线于E ，△OAE ≌△OSB , ∠A ＝∠B ，

∴∠ASB ＝∠AOB ＝90°．

点评：过A 、B 向过O 点的直线OS 作垂线，构造△BOM ≌△OAN ． A

B S

O A

B C M N

D E A

B

C D E A B

C D E M

A B S O M

N