空间几何—平行垂直证明(高一)

空间几何平行垂直证明专题训练

❖ 知识点讲解

一、“平行关系”常见证明方法

（一）直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质

3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b ⇒a//b

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

5）利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

7）利用平面内直线与直线垂直的性质：

在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

1) 利用直线与平面平行的判定定理：

a b

α

β

b

a a =⋂⊂βαβ

α∥b

a ∥⇒

b a b a ////⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

==γβγαβαI I βα

⊥⊥b a b

a ∥⇒α

a

b

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2) 利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

（二）平面与平面平行的证明

常见证明方法：

1) 利用平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3) 利用定义：两个平面没有公共点

（一）直线与直线垂直的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 3) 利用直线与平面垂直的性质：

如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

α

b

a

β

α

a

β

αα∥⊂a β

∥a ⇒α

αββ////∩⊂⊂b a P b a b a =α

β//⇒α

β

b

a

P

b

∥a b a α

α⊂⊄α

∥a ⇒

4) 利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相

垂直。

5) 利用常用结论：

① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂直于第三条直线。

② 如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互

相垂直。

（二）直线与平面垂直的证明

1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等

2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面。 3) 利用直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。

4) 利用平面与平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

α

α

⊥⊂b a a

b ⊥⇒α

a

b

l

b l a b a l ⊥⊥⊂⊂=⋂⊥β

αβαβαb

a ⊥⇒c

a b a ⊥∥c

b ⊥⇒b

a

l

αA

α⊥⇒⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫l b

l a l A b

a b a ⊥⊥=⊂⊂I α

α b

α

α

∥b a ⊥b

a ⊥⇒

α

β

⊂⊥a a β

α⊥⇒a

α

β

α

βα⊥a ∥β

⊥⇒a

5) 利用常用结论：

①

② 两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。

（三）平面与平面垂直的证明

1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等

2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面

角），就说这连个平面互相垂直。 3) 利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

题型一：平行（线线平行、线面平行、面面平行）

例1.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，求证： EF ∥平面ABC ； (两种方法证明)

β

α⊥⇒l

a a l ⊥⊂=⋂⊥α

βαβ

αα⊥b b

a ∥α⊥⇒a β

α

a

l

αa

b a

α

β

方法一：