用MonteCarlo方法计算电子散射和穿透深度
低能电子在固体表面背散射系数的直接Monte Carlo方法模拟
低能电子在固体表面背散射系数的直接Monte Carlo方法模
拟
卓俊;牛胜利;黄流兴;朱金辉
【期刊名称】《计算物理》
【年(卷),期】2009(26)4
【摘要】应用单次碰撞的直接Monte Carlo方法计算能量范围从100 eV^10 keV的电子在固体Al,Si,Au表面的背散射系数,其中低能电子在固体中的弹性散射和非弹性散射截面分别应用Mott散射截面和Born近似下的广义振子强度计算模型得到.通过与压缩历史Monte Carlo方法的模拟计算结果及实验值的比较,结果表明,对于100 eV^10 keV范围的低能区电子,采用直接方法计算得到的电子背散射系数与实验值符合较好,直接方法比压缩历史方法更适合于能量在10 keV以下的电子输运计算.
【总页数】5页(P586-590)
【关键词】低能电子;背散射系数;直接MonteCarlo方法;压缩历史MonteCarlo 方法
【作者】卓俊;牛胜利;黄流兴;朱金辉
【作者单位】西北核技术研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O562.5
【相关文献】
1.电子束在胶层及衬底中散射轨迹的Monte Carlo模拟并从背散射系数看LB抗蚀层优越性 [J], 鲁武;顾宁;陆祖宏;韦钰
2.固体衬底上超薄膜表面的低能电子背散射系数计算研究 [J], 卓俊;牛胜利;朱金辉;黄流兴
3.Monte Carlo方法模拟背散射电子固体表面空间分布 [J], 谭震宇;蒋定举
4.Monte Carlo方法计算低能电子作用下固体背散射电子发射及空间分布 [J], 谭震宇;何延才
5.Monte Carlo方法模拟低能电子束曝光电子散射轨迹 [J], 任黎明;陈宝钦
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Monte Carlo方法模拟低能电子束曝光电子散射轨迹
Monte Carlo方法模拟低能电子束曝光电子散射轨迹任黎明;陈宝钦【期刊名称】《半导体学报：英文版》【年(卷),期】2001(22)12【摘要】建立了一个适用于描述低能电子散射的物理模型 ,利用 Monte Carlo方法对低能电子在多元多层介质中的散射过程进行模拟 .低能电子弹性散射采用较严格的 Mott截面描述 ,为了节约机时 ,利用查表与线性插值方法获得 Mott截面值 ;低能电子非弹性散射能量损失采用 Joy修正的 Bethe公式计算 ,并对其加以改进 ,引入多元介质平均电离电位、平均原子序数、平均原子量概念 ,利用线性插值方法给出光刻胶 PMMA对应的 k值 .对电子穿越多层介质提出一种新的边界处理方法 .在此基础上运用 Monte Carlo方法模拟高斯分布低能电子束在 PMMA-衬底中的复杂散射过程 .模拟结果表明低能电子束曝光具有曝光效率高、邻近效应低、对衬底损伤轻等优点 ,与 L ee、Peterson等人通过实验得出的结论相符 .【总页数】6页(P1519-1524)【关键词】电子束曝光;电子散射;蒙特卡洛法;半导体工艺【作者】任黎明;陈宝钦【作者单位】中国科学院微电子中心微光刻实验室【正文语种】中文【中图分类】TN305.7【相关文献】1.Ni,Ti及NiTi合金低能电子散射的Monte Carlo模拟 [J], 沈海军2.磷脂酰乙醇胺双分子层膜低能电子散射的Monte Carlo模拟 [J], 沈海军3.低能电子束对抗蚀剂曝光的Monte Carlo模拟 [J], 宋会英;张玉林;孔祥东4.Monte Carlo方法研究低能电子束曝光沉积能分布规律 [J], 任黎明;陈宝钦;谭震宇5.低能电子束曝光中的Monte Carlo方法及沉积能分布 [J], 谭震宇;何延才因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
蒙特卡罗背散射能谱原理
蒙特卡罗背散射能谱原理本文编写了一组利用蒙特卡罗（Monte Carlo）方法运用Corteo物理思路模拟氦离子入射到单层及多层靶的背散射能谱拟合程序，将模拟结果与SIMNRA 软件和实验数据结果比对。
论文讨论了1).W,Be,Mo单层靶的模拟与SIMNRA软件结果的拟合，发现背散射能谱拟合程序与标准RBS能谱在高能处符合很好，且在低能处程序模拟值比标准值大，三种单元素厚靶的拟合都取得理想结果。
2).InGaN与SiC多层靶的实验能谱与两种模拟能谱的拟合，背散射拟合程序与标准谱形状相似，但程序的自由程随机性不能很好体现出来。
今后将对多层靶再进行划分多层，编写新的拟合程序，以求能够与实验能谱更好拟合，以便实际应用。
1.1离子束分析研究意义当今世界正是科学技术迅猛发展的时候，各种创新思想正在一步步由假想变为现实。
材料、能源与信息并列为现代科学技术的三大支柱，人类衣食住行方方面面均离不开现代科技的发展与利用。
材料包括材料元素及各种物质组成原子的性质直接影响并决定着材料的各种性能，所以通过研究离子束分析方法能够很好地对材料中重元素深度进行分析，并通过模拟软件可得到较直观的内部信息。
离子束分析总的来说是以离子束作为工具，通过它与物质相互作用来判断物质中元素组成及结构的一门学科。
具体来说是利用某一特定能量的离子（如：质子、α离子及其他重离子）束去轰击样品，使样品中的元素发生激发、电离、发射、核反应和自身散射等过程，通过测量这些过程中产生射线的能量和强度来确定样品中元素的种类和含量的一门学科。
离子束分析技术根据离子-原子核与离子-原子相互作用机制主要划分为：核反应分析(NRA),质子X荧光分析（PIXE），卢瑟福背散射分析（RBS）等。
其中背散射分析是七十年代蓬勃发展起来的一种离子束分析技术。
主要用于对样品元素的定性、定量和深度分布分析,在离子注入、薄膜技术及半导体和其他新型材料研究和生产方面，都表现出优异的特点。
Si亚微米MOSFET Monte carlo模拟中散射机制的研究
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收 稿 日期 ：０ ６１—２ ２０ —０１ ．
作 者 简 介 ： 立 亭 （９ ２）男 ， Ｉ 阳人 ， 卅 大学 在 读 硕 士 研 究 生 ， 要 从 事 深亚 微 米 Ｍ（Ｓ Ｅ 数 值 模 拟 方 法 董 １ ８一 。 贵卅 贵 贵 Ｉ 主 ）Ｆ Ｔ
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散射 中 ， 量 和能 量 交换 的守恒 性 体 现 在 跃 动 迁率 中 ， 由费米 黄金规则 ， ｋ状态 散 射 到 志状态 的
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半导体器件的发展成为当今微电子技术领域中的 个重要 方面． 件尺 寸变小后 ， 器 在器 件 内部 出现
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第 １期
董立事： ｉ Ｓ 亚微米 ＭＯ Ｆ Ｔ Ｍｏ ｔ ｃｒ Ｓ Ｅ ｎｅ ａｌ ｏ模拟 中散 射机制的研究
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文章编号 ：１ ７—９ Ｘ（０ ７Ｏ 一０ ００ ６ ２６ １ ２ ０ ）ｌ０ ４—５
低能电子束对抗蚀剂曝光的MonteCarlo模拟
第4 期2004 年12 月微细加工技术MICROFABR ICATION TEC HNOLOGY№14Dec1 ,2004文章编号:100328213 (2004) 0420001206低能电子束对抗蚀剂曝光的Monte Carlo 模拟宋会英,张玉林,孔祥东(山东大学控制学院电子束研究所,济南250061)摘要:考虑二次电子的产生和散射,利用Monte Carlo 方法模拟了具有高斯分布特征的低能入射电子束斑在抗蚀剂中的散射过程,分别得到了电子束在抗蚀剂中的穿透深度和能量沉积的分布图。
发现在能量小于215 keV 范围内的模拟结果与实验结果相吻合,这比用传统的不考虑二次电子的Bethe 公式得到的模拟结果更加符合实际的电子散射过程,精度更高。
另外还发现电子束能量越低,曝光的分辨率和效率越高, 这一结果也与实验相吻合。
结果表明,二次电子的产生和散射对电子束曝光起了重要的作用,需考虑它们的影响。
关键词:电子束;Monte C arlo 模拟;散射;二次电子中图分类号: T N30517 文献标识码:A1 引言实验结果表明,低能电子束曝光能得到极高的分辨率,并且由于它具有低邻近效应、高曝光效率和对衬底材料损坏极低的特性, 近年来对其研究得到了较快的发展[ 1 - 2 ] 。
在电子束三维光刻技术中,薄层单元的厚度和束斑的分辨率是极其重要的参数[ 3 ] 。
通过模拟方法获得这些参数,可大大缩短实验过程。
在传统的模拟方法中,主要是通过理想的点入射电子束模拟在固体中的散射轨迹, 利用基于能量损失的连续减速近似的Bethe 公式计算其能量沉积分布。
可实际上电子束是以一定半径的束斑入射的,并且束斑中的电子符合高斯分布。
对抗蚀剂曝光起主要作用的不是较高能量的入射电子,而是低能二次电子[ 4 ] 。
在传统的基于能量损失的连续减速近似的Bethe 公式计算能量沉积分布时, 并没有考虑二次电子的产生,因此传统模拟方法的精度较低。
基于Monte Carlo方法的光学分子散射研究
基于Monte Carlo方法的光学分子散射研究郭瑞波【摘要】综述了分子影像中的各种方法，特别针对光学分子成像技术结合生物组织的混浊介质实例介绍了Monte Carlo方法及其模拟传播流程。
目前在非接触式光学断层成像的MC方法研究有生物组织中光传输模型和自由空间光传输模型两种方向，分别介绍了其在本领域的研究现状。
由此可知MC方法对活体组织安全快速的无损检测有重要作用。
%This paper reviewed various methods of Molecular Imaging, in particular introduced the Monte Carlo method and its analog propagation process with the case of the turbid medium of biological tissue by aiming at the Optical Imaging technique. In the current, the MC Method study of Non-contact Optical Tomography has two directions:biological tissue optical transmission model and free-space optical transmission model, and its research status in this field are introduced in this paper. So the MC method has an important role in safe and fast nondestructive testing of living tissue.【期刊名称】《价值工程》【年(卷),期】2015(000)022【总页数】2页(P135-136)【关键词】Monte Carlo方法;光子包传输;光学成像【作者】郭瑞波【作者单位】哈尔滨金融学院，哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】TP391随着人们对健康的重视，先进的技术手段和医疗设备被广泛的应用于疾病检查。
基于Monte Carlo模拟法快速计算电子束放射治疗的剂量分布
基于Monte Carlo模拟法快速计算电子束放射治疗的剂量分布翁学军;罗立民;汪家旺【期刊名称】《电子学报》【年(卷),期】2002(030)003【摘要】本文运用MC(Monte Carlo)方法来计算电子束放疗的三维剂量分布,以EGS4和PENELOPE为基础编制了专门计算电子束剂量分布的MC模拟程序LISTMC,以克服目前临床上采用的算法在处理人体复杂几何结构和不均匀介质时误差较大的问题.针对EGS4计算时间过长的缺陷,采取了取消体元边界对电子步长限制和代码优化等措施来提高计算速度,当入射电子能量为6MeV时,用时只有EGS4-PRESTA的1/10左右;其计算精度和EGS4相近.【总页数】3页(P454-456)【作者】翁学军;罗立民;汪家旺【作者单位】东南大学生物科学与医学工程系,江苏,南京,210096;东南大学生物科学与医学工程系,江苏,南京,210096;东南大学生物科学与医学工程系,江苏,南京,210096【正文语种】中文【中图分类】R144.1【相关文献】1.基于Monte Carlo模拟法对液态乳中黄曲霉毒素M1的风险评估 [J], 耿梦梦;徐明芳;王阳;黎明;陈耕南2.基于Monte Carlo方法的放射治疗剂量分布计算方法的研究 [J], 王春燕;刘漪;刘云鹏;王悦华;许莉莉;吴瑞;黄菊英3.基于Monte-Carlo模拟的土壤环境重金属污染评价法与实例研究 [J], 李飞;黄瑾辉;曾光明;袁兴中;梁婕;唐晓娇;白兵;王晓钰4.基于Monte-Carlo模拟法的投资项目风险分析 [J], 龚娅;雷健锋;余蓉5.基于杂交应力元法的颗粒增强复合材料Monte⁃Carlo模拟 [J], 王伟;郭然因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
Monte-Carlo模拟γ射线透射输油管道油垢的厚度
Monte-Carlo模拟γ射线透射输油管道油垢的厚度
张媛;王世亨;张石峰
【期刊名称】《核技术》
【年(卷),期】2009(032)001
【摘要】γ射线透射法测量输油管道油垢厚度,是一种无损检测的方法.利用Monte-Carlo方法模拟这一过程,模拟计算结果与实验结果符合较好,进一步采用加权法进行模拟,改进了方差.最后得到γ射线穿透率与管道中油垢厚度的响应关系,为生产中无损检测输油管道内油垢厚度,及检测仪的研制提供了重要的参考依据.【总页数】4页(P41-44)
【作者】张媛;王世亨;张石峰
【作者单位】新疆大学物理科学与技术学院,乌鲁木齐,830046;新疆大学物理科学与技术学院,乌鲁木齐,830046;新疆大学物理科学与技术学院,乌鲁木齐,830046【正文语种】中文
【中图分类】O571.323
【相关文献】
1.透射法测量输油管道油垢厚度响应关系的蒙特卡罗模拟 [J], 周百昌;何彬;朱文凯;陈坤;熊建平;陈军
2.用γ射线透射法测量输油管道油垢的厚度响应 [J], 王世亨;刘圣康
3.透射法测量输油管道油垢厚度的Monte-Carlo模拟 [J], 张媛;张石峰;王世亨
4.Co-60γ射线透射法检测输油管道油垢的模拟实验 [J], 王世亨;刘圣康
5.Cs-137γ射线透射法检测输油管道油垢的模拟实验研究 [J], 王世亨;刘圣康
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投影电子束光刻中电子穿透掩膜的MonteCarlo模拟
投影电子束光刻中电子穿透掩膜的Monte C arlo 模拟3肖 沛1) 张增明2) 孙 霞1) 丁泽军1)1)(合肥微尺度物质科学国家实验室,中国科学技术大学物理系,合肥 230026)2)(合肥微尺度物质科学国家实验室,中国科学技术大学天文与应用物理系,合肥 230026)(2006年1月23日收到;2006年4月18日收到修改稿) 利用基于M ott 散射截面和介电函数模型的M onte Carlo 方法模拟了电子穿透掩膜的能量损失分布,其计算结果与实验结果符合很好.由此进一步计算了角度限制投影电子束光刻(SC A LPE L )掩膜的穿透率和衬度,结果表明:散射体的厚度对衬度的影响较大,衬度随散射体厚度的增加而增强,而支撑体对衬度的影响较小;增大限制孔的孔径角时,透射率相应增大,但衬度会降低;衬度随入射电子的能量增加而减小.关键词:M onte Carlo 模拟,电子束光刻,掩膜PACC :3480,7115Q3国家自然科学基金(批准号:10574121,60306006,90406024),安徽省自然科学基金(批准号:05021015)和安徽省人才开发基金(批准号:2001Z 016)资助的课题.E -mail :zzm @11引言光学光刻技术受瑞利衍射的限制,即将达到其极限分辨率,研究和开发下一代的光刻技术势在必行.电子束不受光学衍射的限制,可以刻蚀极小尺寸的图形[1,2],一直被认为是新一代光刻技术的最佳方案之一.传统的直写电子束光刻采用逐点扫描技术,曝光速率较低,电子在抗蚀剂中的散射会引起邻近效应[3—6],从而限制了电子束光刻的应用.投影电子束光刻的出现使得同时大规模曝光成为可能,大大提高了刻蚀速率,同时对邻近效应的修正也有了几种比较成熟的方法[7—10].投影电子束光刻现已成为纳米图形制造技术的有力候选者,其工作原理是高能面源电子束穿过掩膜时会携带掩膜的图形信息,入射到衬底上刻蚀出掩膜图形[11,12].M onte Carlo 方法研究电子在掩膜中的散射过程,衬度形成机理及邻近效应是非常有效的[3—6,13,14].M onte Carlo 方法计算中可以通过模拟大量电子的散射过程来降低统计误差,从而得到高精度的计算结果.利用此方法可以从理论上对实验过程进行分析并对实验的参数进行优化,对实验起一定的指导作用.此前,在研究电子束刻蚀的M onteCarlo 模型中,由于入射电子的能量很高(～100keV )多采用屏蔽Rutherford 模型描写电子与掩膜原子的弹性碰撞,用Bethe 阻止本领处理非弹性散射.Reimer[15]和Ichimura[16]详尽地阐述了M ott 截面和屏蔽Rutherford 截面的优缺点,采用更为准确的M ott 截面代替屏蔽Rutherford 截面可以修正电子穿越薄掩膜的模拟结果[17].模拟电子穿越薄掩膜的散射过程时,基于Bethe 阻止本领的连续能量衰减近似模型遇到了困难.Bethe 阻止本领描述电子运动单位长度后平均损失能量的大小,因此只要采用该模型,电子穿透掩膜时必然会伴有能量的损失.实际上,高能电子在穿越薄掩膜时与掩膜材料发生非弹性碰撞的概率很小(非弹性散射截面随能量的增加而减小),透过电子没有能量损失或仅损失极小的能量,Bethe 阻止本领不再适于模拟电子穿过掩膜的过程.Sun 等人[13]对Shimizu 等人[18,19]提出的直接M onteCarlo 方法进行了改进,并模拟了电子穿透掩膜的过程.该方法通过对内壳层的阻止本领公式进行拟合,得出伪价电子数和平均结合能,用G ryzinski 激发函数[20]描述伪价电子和内壳层电子,对每次非弹性散射都单独的进行处理,从而解决了由Bethe 阻止本领模型带来的最小能量损失非零的问题.但此方法的缺点是G ryzinski 函数对价电子激发的描述是不第55卷第11期2006年11月100023290Π2006Π55(11)Π5803207物 理 学 报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.55,N o.11,N ovember ,2006ν2006Chin.Phys.S oc.准确的,因而难以精确地得到透射电子的能量损失分布.Ding和Shimizu基于Penn[21]的介电函数模型发展了一种利用介电函数描述电子同固体非弹性相互作用的M onte Carlo模型[22,23],这个模型中没有拟合参数,采用该模型模拟的多种材料的背散射电子能谱和出射电子产额等与实验结果符合很好[22,24,25].非弹性散射带来的能量损失会产生失真并降低刻蚀的分辨率,所以要用更为准确的模型来模拟非弹性散射,可以优化电子束刻蚀的工艺并提供理论指导.本文利用基于M ott弹性截面和介电函数理论的M onte Carlo模型模拟电子穿越掩膜的过程,分析了掩膜厚度、限制孔径以及入射电子的能量对透过率和衬度的影响.计算结果显示:散射体的厚度对衬度的影响较大,散射体越厚衬度越高,而支撑体对衬度的影响较小;限制孔的孔径角增大透射率相应增大,但衬度会降低;衬度随入射电子的能量增加而减小.21掩 膜一般来说投影光刻的掩膜可以分为三类:吸收掩膜[12,26]、散射掩膜[27]和角度限制投影电子束光刻(SC A LPE L)掩膜[11,28].如图1(a)所示,吸收掩膜和散射掩膜一般都使用Si材料,电子可以自由通过开放的图形区域,两种掩膜的区别是:吸收掩膜较厚,入射到掩膜(非图形区)上的电子完全被掩膜吸收;而散射掩膜的厚度相对要小一些,它允许入射到非图形区的电子部分透过,然后在掩膜的下面再加一限制孔来滤掉散射角度大的电子.SC A LPE L掩膜通常由高原子序数的散射体材料(如W和Cr等)和低原子序数的支撑体材料(如Si,Si3N4及金刚石薄膜[29—31]等)组成,如图1(b)所示.未被散射体覆盖的部分构成了掩膜的图形.由于散射体对电子的散射能力较强,而支撑体的散射能力较弱,所以通过散射体的电子的散射角较大,而通过支撑体的电子散射角度很小.在电子通过限制孔时,散射角度大的电子被限制孔阻挡,而通过支撑体的电子则可经过限制孔到达衬底从而刻蚀出掩膜上的图形.这三种掩膜各有优点,吸收掩膜和散射掩膜的衬度较大,并且散射掩膜还可应用于G H OST方法来修正邻近效应[27].SC A LPE L掩膜不同吸收掩膜那样完全吸收非图形区的电子,减少了因电子在掩膜中的能量损失而产生的热效应,并且弥补了前两种掩膜对闭合图形必须使用多块进行拼凑的缺点.图1 掩膜类型示意图 (a)吸收掩膜,散射掩膜;(b)SCA LPE L 掩膜31M onte Carlo模型3111散射理论电子在材料中发生的散射可分为弹性散射和非弹性散射两类.弹性散射只改变电子运动方向不引起能量损失;电子由于非弹性散射产生能量损失.对于弹性散射我们用M ott截面[32]来描述,如(1)式所示.利用分波法获得的相对论性M ott截面的正确性已经被大量实验结果验证[33,34].dσdΩ=|f(θ)|2+|g(θ)|2,(1)其中f(θ)和g(θ)是散射振幅.对非弹性散射的描述,广泛使用的是Penn的介电函数方法[21],Penn利用单极点近似,将零动量转移的光学能量损失函数外推,获得动量转移不为零的能量损失函数.由此得到基于光学能量损失函数的非弹性散射的微分截面[22]:dλ-1ind(ΔE)=12πa0EΔE∫∞ωpΔE- ωpIm-1ε(ωp)×d( ωp)Θ2m(2kq—-q—2)-ΔE,(2)式中λin为非弹性散射平均自由程,E为电子的能量,ΔE为能量损失,Im{-1Πε(ω)}为光学能量损失函数,q—2mΠ(ΔE- ωp).(2)式描述的非弹性碰撞包含了所有类型的激发而不必再分别来处理各种激发[35],并且在处理二次电子激发方面,该模型也是非常成功的[22,24].3121Monte C arlo抽样方法假设电子在两次碰撞之间的步长s满足P ossion4085物 理 学 报55卷分布f(s)=λ-1t e-sΠλt,(3)其中λt是总平均自由程,与弹性散射平均自由程λel和非弹性平均自由程λin的关系为λ-1t=λ-1el+λ-1in.(4)利用一个[0,1]区间均匀分布的随机数R1,从累计函数种抽样求得s:s=-λt ln R1.(5)用另外一个随机数R2来确定每一次的散射是弹性散射还是非弹性散射:弹性散射,R2<λ-1elΠλ-1t,非弹性散射,其他.(6)对于合金或化合物材料还需要一个随机数R3来判断与哪种原子发生碰撞,当∑i-1j=1C a jΠλj el 1Πλel <R3<∑ij=1C a jΠλj el1Πλel,(7)则与第i种原子发生碰撞.其中C aj,λel,λj el分别为第j种原子所占的比例、总弹性平均自由程和第j 种原子的弹性平均自由程.散射角θ由下面的公式得到R4=∫θ0dσdΩsinθ′dθ′∫π0dσdΩsinθ′dθ′.(8) 非弹性散射中的能量损失ΔE由下式决定:R5=∫ΔE0dλ-1ind(ΔE′)d(ΔE′)∫E-E F0dλ-1ind(ΔE′)d(ΔE′).(9)非弹性散射中的散射角同弹性散射中散射角的确定类似:R6=∫θ0d2λ-1indΩd(ΔE)sinθ′dθ′∫π0d2λ-1indΩd(ΔE)sinθ′dθ′.(10)dσdΩ,dλ-1ind(ΔE),dλ-1indΩd(ΔE)分别是弹性微分散射截面、非弹性微分散射截面和非弹性双微分散射截面.弹性散射和非弹性散射中的方位角<由另一个随机数给出,即<=2πR7.(11) 当模拟二次电子的产生时,假设每次的非弹性散射会从Fermi海中或壳层电子激发出一个二次电子.因此每次非弹性散射会产生两个向外运动的电子,其能量分别为E1=E-ΔE,E2=ΔE-E B(内壳层激发,EB 是内壳层电子的结合能,由能量损失函数的最小电离边确定),或E2=ΔE+E F(价电子激发).二次电子的初始位置为发生非弹性碰撞的位置,根据动量转移其极角和方位角为sinθ′=cosθ,<′=π+<.(12) 一旦二次电子被激发产生,它的能量、坐标以及运动方向被储存起来,模拟完入射电子后,二次电子的信息被调出,并进行和入射电子一样的模拟.大量的更低能量的二次电子(级联二次点子)又被产生,模拟直至二次电子逃出样品或被样品吸收.M onte Carlo模拟中统计误差是其内在的特性,无法消除.统计误差与随机事件数目的平方根成反比关系,因此可以通过大量的电子来降低统计误差,得到足够高精度的结果.在我们的模拟中,模拟的电子数高达5×108个,此时统计误差已经可以降低到可以忽略的地步.现在人们对二次电子的产生机理还不十分清楚,模型中对二次电子的产生还处于假设阶段,但就对二次电子的模拟结果来看,此模型在同类当中是与实验结果符合最好的.二次电子的非弹性平均自由程较短,高能入射电子激发得二次电子距材料表面较深,二次电子从表面逃逸概率很小.本文的模拟计算中没有考虑二次电子的发射.41结果与讨论4111能量损失分布图2给出了100keV电子垂直入射到58nm厚的硅薄膜后透射电子的能量损失分布.从图中可以看出,模拟结果与实验测得的能量损失谱[36]很接近.Y amashita等[29]给出,100keV电子垂直入射硅膜(厚度为150nm和30nm)时,透射电子零能量损失峰的强度(零能量损失的透射电子强度与入射电子强度的比值)分别为01315和01769,而我们算出的数值分别为01305和01789,与实验值非常相近.Si元素的光学能量损失函数在等离子激元激发峰处有一相对较大的值,由(4)式得到的损失能量在此激发峰范围的概率较大,因此谱中呈现Si的单次和二次等离子激元的损失峰.计算谱与实验的符合表明,本文使用的介电函数模型可以很好地描述电子穿透掩膜的非弹性散射过程,对非弹性散射的描述是否恰当将影响无能量损失的透射电子概率.图3是20keV的电子入射到100nm厚的硅薄膜时透射电子的能量损失谱.由于此时膜较厚,且电子的能508511期肖 沛等:投影电子束光刻中电子穿透掩膜的M onte Carlo模拟图2 100keV 电子透过58nm 厚S i 薄膜的能量损失分布(实线为实验结果;虚线为模拟结果)图3 20keV 电子透过100nm 厚S i 薄膜的能量损失分布图4 100keV 电子透过W 50nm ΠCr 10nm ΠS i 100nm 膜的能量损失分布量相对较低,能量损失的概率较大,所以在谱中可清晰地看出多次等离子激元激发的能量损失峰.图4是100keV 的电子入射到薄膜(W 50nm ΠCr 10nmΠSi100nm )时透射电子的能量损失谱.图中峰位分别对应着各层材料的特征激发峰.Cr 层的厚度较小,电子在其中发生非弹性碰撞的概率低,透射电子能量损失谱携带此元素的信息基本被淹没在其他信号中.W 和Si 层的厚度较大,谱中的特征激发峰较为明显.4121透射率大角散射电子经限制孔时被过滤,而掩膜的厚度又会影响电子散射的次数,进而影响透射电子的散射角分布,所以限制孔径与膜厚强烈地影响电子的透射率.图5显示,不同硅薄膜厚度下透射率与限制孔的孔径角度值的变化关系,孔径角表示限制孔允许散射电子通过的最大散射角度.显然,膜越厚透射率越小,限制孔角越大透射率越大,实际的应用中可以适当选择限制孔的大小和材料的厚度来得到所要求的透射率.元素钨的原子序数和密度都比较大,对电子有着较强的散射能力,因此在同样的条件下,钨对电子的散射能力要比硅大得多.如图6所示,在同样的入射电子能量和材料厚度下,电子通过钨的透射率要远小于硅.像钨这样的重元素,由于其对电子的强散射能力,常被用作S A LPE L 掩膜的散射体.图5 不同硅膜厚度下透射率T 与孔径角α的关系4131衬度衬度和透射率是制作掩膜时要考虑的两个重要特性,它们决定了最终刻蚀成像的分辨率和刻蚀的效率.SC A LPE L 的掩膜衬度的定义为C =1-T mask (α)/T memb (α),(13)6085物 理 学 报55卷图6 100keV电子穿越50nm厚的S i和W薄膜的透射率其中Tmask(α)和T memb(α)分别为孔径角α下的掩膜(散射体加上支撑体)的透射率和支撑体的透射率.对于吸收掩膜,因非图形区的电子全部被吸收,所以它的衬度为1.散射掩膜的衬度为C=1-T,(14) T.在之前对透射率和衬度的计算研究中[15]人们只考虑了零能量损失的透射电子,而实验中包含了所有的透射电子,因此本文将进一步包含发生弹性散射和非弹性散射的所有透射电子.图7是电子为120keV的入射能量下,支撑体的透过率和衬度的实验结果[37]与模拟结果的比较.实验中所用掩膜是散射体W厚200nm,支撑体Si3N4厚350nm.在120keV的入射能量下Si3N4厚度为其输运自由程(弹性散射平均自由程与非弹性散射平均自由程之和)7015nm的5倍.模拟所用掩膜为散射体W厚200nm,支撑体Si厚35713nm,Si 的厚度同样为其输运自由程的5倍.平均自由程表征了运动电子两次碰撞之间的平均距离,由相应的电子弹性和非弹性散射截面得到,反映了材料对电子散射的本质.对掩膜的透射率和衬度,只要满足厚度和平均自由程之间的关系,不同材料之间也应该是可比的.由图可以看出,实验结果和模拟结果在小孔径角的情况下符合得较好,但对于大孔径角,模拟和实验的结果之间有较大偏差.对于WΠCrΠSi组成的SC A LPE L掩膜,W是散射体,过渡层为Cr,支撑体为Si.图8显示,当掩膜中散射体W和过渡层Cr的厚度一定,但改变支撑体Si的厚度时,透射电子的衬度和支撑体的透射率的变化趋势.在确定的孔径角下,对于不同的Si厚度,图7 实验结果和模拟结果的比较(符号为实验结果,实线是模拟结果)图8 对于不同的S i厚度,SCA LPE L掩膜的衬度C和支撑体透射率T memb随孔径角的变化关系图9 对于不同的W厚度,SCA LPE L掩膜衬度C和掩膜透射率T mask随孔径角α的变化关系其透射率有着较大的差异,但是衬度变化非常小,三条衬度曲线几乎相重合.这是因为,当支撑体的厚度增加时,Tmemb减小,同时Tmask也减小,两者同时变化使得衬度的变化不大.图9显示,当支撑体Si和708511期肖 沛等:投影电子束光刻中电子穿透掩膜的M onte Carlo模拟图10 对于不同的入射电子能量,SCA LPE L掩膜衬度C和支撑体透过率T memb随孔径角α的变化过渡层Cr的厚度一定,但改变散射体W的厚度时,透射电子的衬度和掩膜的透射率的变化趋势.可以看出,在相同的孔径角下,W厚度的改变对掩膜透射率和衬度都有着很大的影响,并且W的厚度越大,衬度也就越大.这是因为,增加散射体W的厚度,电子被散射到大角度的概率增加,通过限制孔的概率减小,并且透射电子数也会减小,因而降低了透射率Tmask,但此时T memb未变化,从而导致了衬度的增加.总结如上的结果,其结论是散射体的厚度对衬度有较大的影响,而支撑体的厚度对衬度影响较小.由图8中可看出,随着限制孔径的增加,电子的透射率增加,而衬度减小.在应用中希望有高的衬度和大的透射率,但两者往往是矛盾的,在得到高衬度同时透射率会减小,而要得到大的透射率就要以牺牲衬度为代价.这就要求合理地选择掩膜支撑体和散射体的材料和厚度以及孔径角的大小,使在满足衬度的要求下有最大的透射率.当电子的能量增加时,电子的穿透能力增强.对于散射掩膜,其非图形区的透射率增加,因此散射掩膜的衬度减小.对SC A LPE L掩膜,其衬度也是减小的.图10显示,对一定的掩膜和支撑体厚度(W 30nmΠCr10nmΠSi50nm),改变入射电子的能量时,透射电子的衬度和支撑体的透射率的变化趋势.显见,衬度随入射电子的能量增加而减小.增加入射电子的能量虽然提高电子束曝光的效率,但降低了曝光的质量.51结 论利用基于M ott散射截面和介电函数模型的M onte Carlo方法,我们分析了掩膜厚度、孔径角的大小及入射电子能量对透射率和衬度的影响.对于SC A LPE L掩膜来说,散射体的厚度对衬度的影响较大,而支撑体的厚度对衬度的影响几乎可以忽略.限制孔的孔径角增大时,透射率相应增大,但衬度会降低.提高电子的入射能量,散射掩膜和SC A LPE L 掩膜的衬度均减小.[1]Fang J H,Liu L W,K ong W J,Cai J Z,LüL2006Chin.Phys.151071[2]Liu S P,Zhou F,Jin A Z et al2005Acta Phys.Sin.544251(inChinese)[刘首鹏、周 峰、金爱子等2005物理学报544251] [3]Shim izu R,Ikuta T,Everhert T E,Dev ore W J1975J.Appl.Phys.46581[4]Hawryluk R J,Hawryluk A M,Sm ith H I1974J.Vac.Sci.Technol.452551[5]Sam oto N,Shim izu R1983J.Appl.Phys.543855[6]Sun X,Y ou S F,X iao P,Ding Z J2006Acta Phys.Sin.55148(in Chinese)[孙 霞、尤四方、肖 沛、丁泽军2006物理学报55148][7]Owen G,Rissman P1983J.Appl.Phys.543573[8]Murai F,Okazaki S i,Satiou N et al1992J.Vac.Sci.Technol.B103072[9]Osawa M,T akahashi K,Sato M et al2001J.Vac.Sci.Technol.B192483[10]X iao P,Sun X,Y an J H,Ding Z J2005J.Chin.Electr.Microsc.Soc.24464(in Chinese)[肖 沛、孙 霞、闫继红、丁泽军2005电子显微学报24464][11]Berger S D,G ibs on J M1990Appl.Phys.Lett.57153[12]Begringer U,Engelke H1993J.Vac.Sci.Technol.B112400[13]Sun X,Ding ZJ,Pu Q R,Li H M,Wu Z Q2002J.Appl.Phys.923641[14]Ren L M,Chen B Q,T an Z Y2002Acta Phys.Sin.51512(inChinese)[任黎明、陈宝钦、谭震宇2002物理学报51512][15]Reimer L,K erfting E R1976NBS Special Publ.46045[16]Ichimura S,Shim izu R1981Sur f.Sci.112386[17]Pu Q R,Ding Z J,Sun X,Wu Z Q2004J.Chin.Electr.Microsc.Soc.23571(in Chinese)[浦其荣、丁泽军、孙 霞、吴自勤2004电子显微学报23571][18]Shim izu R,K ataoka Y,Ikuta T,K oshikawa T,Hashim oto H1976J.Phys.D:Appl.Phys9101[19]Shim izu R,Everhart T E1978Appl.Phys.Lett.337848085物 理 学 报55卷[20]G ryzinski M 1965Phys .Rev .138A 336[21]Penn D R 1987Phys .Rev .B 35482[22]Ding Z J ,Shim izu R 1996Scanning 1892[23]Ding Z J 1996J .Chin .Electr .Microsc .Soc .15125(inChinese )[丁泽军1996电子显微学报15125][24]Ding Z J ,T ang X D ,Shim izu R 2001J .Appl .Phys .89718[25]Ding Z J ,Li H M ,G oto K,Jiang Y Z ,Shim izu R 2004J .Appl .Phys .964598[26]Zhao X W ,Jiang P ,G ao Y et al 2005Chin .Phys .141471[27]Y amashita H ,N omura E ,M anako S ,K obinata H ,Nakajima K,N ozue H 1999J .Vac .Sci .Technol .B 172860[28]Berger S D ,G ibs on J M ,Camarda R M ,Farrow R C ,Huggins H A ,K raus J S ,Liddle J A 1991J .Vac .Sci .Technol .B 92996[29]Y amashita H ,Amem iya I ,N omura E ,Nakajima K,N ozue H 2000J .Vac .Sci .Technol .B 183237[30]Amem lya I ,Y amashita H ,Nakatsuka S ,Tsukahara M ,Nagarekawa O 2003J .Vac .Sci .Technol .B 213032[31]Amem lya I ,Y amashita H ,T aniguchi K,Nakatsuka S ,K iuru I ,Nagarekawa O 2005J .Vac .Sci .Technol .B 23370[32]M ott N F 1929Proc Roy Soc A 124425[33]Reichert E Z 1963Physik 173392[34]Dubois R D ,Rudd M E 1976J .Phys .B :Atom .Molec .Phys .92657[35]K otera M ,Ishida Y,Naruse K,Sakai M ,T om o Y,Shim izu I ,Y oshida A ,K ojima Y,Y amabe M 2001Microelectronic Engineering 57-58247[36]Mkrtchyan M ,G allatin G,Liddle A ,Zhu X ,Munro E ,W arren W ,Muller D 2001Microelectronic Engineering 57-58277[37]Liddle J A ,Huggins H A ,Berger S D ,G ibs on J M ,W eber G,K ola R ,Jurgensen C W 1991J .Vac .Sci .Technol .B 93000Monte Carlo simulation of electron transmission through ma sks in projection electron lithography 3X iao Pei 1) Zhang Z eng 2M ing 2) Sun X ia 1) Ding Z e 2Jun 1)1)(H e fei National Laboratory for Physical Sciences at Micro scale and Department o f Physics ,Univer sity o f Science andTechnology o f China ,H e fei 230026,China )2)(H e fei National Laboratory for Physical Sciences at Micro scale and Department o f Astronomy and Applied Physics ,Univer sity o f Science andTechnology o f China ,H e fei 230026,China )(Received 23January 2006;revised manuscript received 18April 2006)AbstractW e have calculated electron energy loss spectrum for electrons transm itted through a mask in projection electron lithography by M onte Carlo simulation based on the dielectric function m odel and M ott elastic scattering cross section.A g ood agreement between simulation and experiment is obtained.The calculation results of the transm ission and contrast for the masks in scattering angular lim itation for projection electron lithography show that the contrast is dom inated by the thickness of scattering layer (thicker the scattering layer higher the contrast ),but is less affected by the thickness of the supporting membrane.Furtherm ore ,w ith the increasing aperture angle the transm ission increases but the contrast reduces ,and the contrast decreases w ith increasing primary energy of electrons.K eyw ords :M onte Carlo simulation ,electron beam lithography ,mask PACC :3480,7115Q3Project supported by the National Natural Science F oundation of China (G rant N os.10574121,60306006and 90406024),the Natural Science F oundationof Anhui Province ,China (G rant N o.05021015)and E litist F oundation of Anhui Province (G rant N o.2001Z 016).E -mail :zzm @908511期肖 沛等:投影电子束光刻中电子穿透掩膜的M onte Carlo 模拟。
蒙特卡罗方法在电子散射中的应用
蒙特卡罗方法在电子散射中的应用
蒙特卡罗方法是一种数值模拟技术，可以用来解决各种复杂问题。
它可以用来模拟电子散射，从而计算电子散射的散射模式。
蒙特卡罗方法的基本原理是，通过随机抽样，对模拟对象的特性进行估计。
它可以用来模拟电子散射，因为它可以模拟电子在散射过程中的行为，以及电子在不同散射角度的行为。
蒙特卡罗方法用来模拟电子散射的步骤如下：
首先，使用随机数生成器生成一系列随机数，这些随机数代表电子在散射过程中的位置。
然后，使用Monte Carlo算法，计算每一个随机点的散射概率。
最后，将每一个随机点的散射概率相加，得到整个散射模式的散射概率。
蒙特卡罗方法可以用来计算非常复杂的电子散射模式，它可以模拟电子在不同散射角度的行为，从而得到准确的结果。
它也可以用来计算电子散射中的各种参数，如能量分布、散射角度分布等。
电子比能和细胞s值的monte—carlo计算
电子比能和细胞s值的monte—carlo计算
Monte Carlo Simulation 采取的是随机抽样的方法来进行计算。
它可以用来计算电子比能和细胞s值。
换句话说，它可以估计电荷在
单个时刻周围分布的变化。
为了进行模拟，首先在一系列具有单位电
荷的位置上计算能按以及电极场。
然后，模拟器使用一群随机选择的
位置绘制一组多边形，这些多边形表明了分子最容易受到影响的区域。
最后，多边形以及使用内插法应用到空间网格中，以提供一个定制的
轨迹。
另一方面，用于计算细胞s值的随机抽样可以用于评估能量在
不同势场中的平均值。
它可以用来计算电子在空间穿越彼此的可能性。
模拟器可以学习如何有效地选择粒子的位置，以确定势场的最有效变化，使得粒子可以在一系列不同的气压操作下，尽可能获得最大的弹
性能。
最后，从模拟数据中可以提取数据，用于估计粒子活动的期望值。
由于随机抽样可以略过物理原理，它允许我们估计电子比张是什么，以及如何在不同势场中的气压操作后变化的细胞s值。
计算后的
结果反映了电子活动的统计特性，可以用来评估特定化学反应的可能性，以及材料如何受到势场影响。
MonteCarlo方法研究低能电子束曝光沉积能分布规律
Monte C arlo 方法研究低能电子束曝光沉积能分布规律3任黎明 陈宝钦(中国科学院微电子中心,北京 100029)谭震宇(山东大学电气工程学院,济南 250061)(2001年8月24日收到;2001年9月19日收到修改稿) 建立一个描述低能电子在多元多层介质中散射的物理模型,运用M onte Carlo 方法模拟低能电子在靶体胶衬底中的复杂散射过程,在此基础上通过大量计算研究入射束能、胶层厚度、衬底材料等不同曝光条件对抗蚀剂沉积能密度分布的影响,获得沉积能分布规律:适量的低束能、薄胶层、低原子序数衬底可以使前散射电子对胶中沉积能密度分布的贡献增大、背散射电子的贡献减小,从而提高曝光分辨率.3国家“九五”科技攻关项目(批准号:972762203202)和国家重点基础研究项目(批准号:G 2000036504)资助的课题.关键词:电子束曝光,M onte Carlo 方法,低能电子散射,能量沉积PACC :3480,8220R ,8220W ,02501 引言电子束曝光具有高分辨率的特点,一直是大规模、超大规模集成电路研制的重要手段.近年来,低能电子束曝光(入射束能为几个千电子伏或更低)的研究日益活跃,文献[1,2]的实验结果表明:与高能电子束相比,低能电子束具有曝光效率高、邻近效应低等优点.然而,他们却没有从理论上充分论证其结论.另外,关于低能电子散射机理、能量沉积等许多理论问题尚待进一步深入研究.电子束曝光技术中,电子入射到固体后并不是沿直线运动,而是按某种规律随机运动,这种现象称为散射.入射电子束的散射、能量沉积过程及其在抗蚀剂中的沉积能密度分布是影响曝光分辨率的关键因素.M onte Carlo 方法是人们对随机事件的一种数学模拟方法,在物理学研究中应用广泛[3—5].电子束曝光的M onte Carlo 模拟对深入了解电子束曝光邻近效应产生的原因,探讨邻近效应的修正途径可以起到理论指导的先行作用.为此,本文运用M onte Carlo 方法对低能电子在靶体胶衬底中的复杂散射进行模拟,并在此基础上通过大量计算,研究不同曝光条件对抗蚀剂沉积能密度分布的影响,获得沉积能分布规律,旨在为电子束曝光技术的定量研究提供一定的理论依据.2 电子散射过程的M onte Carlo 模拟2.1 物理模型的建立电子在固体中的散射可归结为两类散射事件:弹性散射和非弹性散射.M onte Carlo 模拟计算的准确度取决于所选用的物理模型,当入射电子能量为几十个千电子伏以上数量级时,弹性散射和非弹性散射可分别用Rutherford 散射截面[6]和Bethe 连续能量损失公式[7]计算.然而,当入射电子能量降到几个千电子伏或更低时,由Born 近似[8]导出的Rutherford 散射截面和Bethe 公式均不适用,且能量越低,固体原子序数越高,偏差越大.因此,有必要建立一个更为严格的物理模型处理低能电子散射问题.对于低能电子在固体中的弹性散射过程,本文采用量子力学分波法求解相对论Dirac 方程获得的M ott 截面描述,这里仅给出M ott 微分截面的简写形式[9]:第51卷第3期2002年3月100023290Π2002Π51(03)Π0512207物 理 学 报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.51,N o.3,March ,2002ν2002Chin.Phys.S oc.d σ(θ)d Ω=|f (θ)|2+|g (θ)|2,(1)其中f (θ)和g (θ)为利用量子力学分波法求解相对论Dirac 方程获得的入射波和散射波函数.低能电子非弹性散射平均能量损失率的计算,采用Joy 修正的Bethe 公式[10]:d E d S =-7.85×104ρZ A E ln 1.166(E +kJ )J(keV Πcm ),(2)其中ρ为介质密度,Z 为原子序数,A 为原子量,k 为修正系数.对于模拟中所用到的光刻胶PM MA 、衬底Si 和Au ,本文将k 值分别取为0.757,0.822和0.851.2.2 Monte C arlo 模拟方法电子入射固体后,要发生多次散射.电子每次散射行为由4个变量决定:前次散射终点处的能量E n 、散射角θn 、散射方位角<n 、散射步长Λn .电子在多元介质中散射,本文采用概率随机抽样方法[11]确定散射中心.确定散射中心后,计算弹性散射总截面σt ,则电子散射步长Λ、散射角θ、散射方位角<均可由随机抽样方法产生:Λ=-A ln R 1Π(ρN 0σt ),(3)R 2=∫θd σ(θ)d Ωsin θd θ∫πd σ(θ)d Ωsin θd θ,(4)<=2πR 3,(5)其中R 1,R 2,R 3均为[0,1]内均匀分布的随机数,A 为原子量,ρ为介质密度,N 0为阿伏伽德罗常数,σt 为弹性散射总截面.电子第n 次散射终点处的能量E n +1通过下式计算:E n +1=E n -d E d sEnΛn ,(6)其中E n 为电子第n -1次散射终点处的能量,Λn 为第n 次的散射步长,|d E Πd s |En为第n 次非弹性散射平均能量损失率,由(2)式计算.M onte Carlo 方法模拟电子散射过程就是依据一定的物理模型,通过计算上述各量,对每个电子的每次散射行为进行模拟,进而模拟出大量电子在固体中的运动轨迹.图1为模拟得到的不同入射束能的低能电子在靶体PM MA 2Si 中的散射轨迹图.其中PMMA 厚度取为66nm (这是实验中已制成的较小厚度),模拟电子数为20000.图1 不同入射束能电子束在PM M A 2S i 中的散射轨迹图3 沉积能密度计算电子束曝光技术中,胶中沉积能密度是研究沉积能分布规律的一个重要参数.一般而言,沉积能密度分布越陡峭,邻近效应越低,线条分辨率越高.研究沉积能密度分布,通常将电子散射效应简化为两种:前(向)散射与背(向)散射,如图2所示.相应地,将发生前散射和背散射的电子分别称为前散射电子和背散射电子.由图2可以看出:背散射使电子束变宽的程度比前散射大得多.返回胶中的背散射电子将参与对胶层的曝光作用,致使不需要曝光的区域被曝光,从而使显影出来的图形比预期的要宽,导致邻近效应加重.在分辨率要求较高的情况下,背散射是曝光精度的最大限制.由于前散射电子与背散射电子均会引起能量沉积,通常将其沉积于胶中的能量分别加以记录.图2 电子的散射效应对垂直入射的电子束,由于电子在胶中的散射关于入射中心轴对称,为了计算胶中的能量沉积,可做如下划分:如图3所示,将胶层沿电子束入射中心方向分为若干非常薄的子层,子层的厚度记为ΔZ .在每一子层上,以z 轴为中心,将胶层沿径向分为若干同心圆环,圆环半径增量记为Δr ,ΔZ 和Δr 足够3153期任黎明等:M onte Carlo 方法研究低能电子束曝光沉积能分布规律小.这样,就将胶层划分为若干个小单元.图3 能量沉积单元示意图利用M onte Carlo 方法模拟每个电子在胶中散射过程的同时,记录沉积在任一单元Ω中的能量.对大量电子进行模拟,并将所有入射电子在Ω中沉积的能量相加,便可计算出任一小单元中沉积的能量.沉积能分布主要受入射束能、胶层厚度、衬底材料等曝光条件影响.由于低能电子束曝光工艺中使用薄胶层,为便于比较不同曝光条件对胶中沉积能密度的影响,可以用沉积能面密度(即每个电子单位面积上沉积的能量)代替沉积能体密度来表示横向沉积能密度分布.按照上述能量沉积单元划分方法,沉积能面密度A (r )等于沿深度方向,胶层中对应于同一半径圆环的所有子层沉积能总和E (r )与该圆环面积及入射电子总数之比为A (r )=E (r )Π(ΔS ・N 0),(7)其中N 0为入射电子总数,ΔS 为圆环面积,ΔS =π(r +Δr )2-πr 2.3.1 入射束能的影响入射束能E 0的大小直接影响电子散射过程,对沉积能密度分布的作用较大.图4为不同入射束能电子束在Si 衬底上PM MA 胶中横向沉积能密度分布.可见入射束能越低,电子在胶中作用范围越小,沉积能密度分布曲线越陡峭,从而邻近效应越低,这正是低能电子束曝光具有极高分辨率的主要原因.表1为不同入射束能的电子在Si 衬底上66nm PM MA 胶中的纵向沉积能密度分布,其中E P ΠE T 为胶中沉积的能量E P 占沉积在胶和衬底中的总能量E T 的百分比,可以看出:电子束入射束能越低,沉积于胶中的能量占总沉积能的比例越大.因此,适量的图4 不同入射束能电子束在S i 衬底上PM M A 胶中的横向沉积能密度分布低能电子束曝光可以将大部分能量沉积于胶中,使用较小的曝光剂量即可达到充分曝光的目的,这就使低能电子束曝光具有曝光效率高的优点.另外,胶层厚度一定,电子作用深度大于胶层厚度时,入射束能E 0越低,电子与衬底的最大作用深度(Z max )越小,对衬底的损伤越轻.表1不同入射束能电子在S i 衬底上P M M A 胶中的纵向沉积能密度分布E 0ΠkeV 5432 1.5Z max Πnm42930620412084(E P ΠE T )Π%10.2515.9328.8261.1493.41 为比较前散射电子和背散射电子对胶中沉积能的影响,本文进一步计算了不同入射束能下前散射电子与背散射电子对胶中沉积能密度分布的贡献,如图5(a )和(b )所示.由图5可见:当E 0=5keV 时,除了入射点附近,背散射电子的贡献比前散射电子大得多,而且背散射电子较前散射电子作用范围大得多,胶中沉积能密度分布主要由背散射电子决定;而当E 0=1.5keV 时,背散射电子对胶中沉积能的贡献远较前散射电子的贡献小(约低两个数量级),作用范围也小,胶中沉积能密度分布取决于前散射电子.对此本文作如下分析:由能量损失率公式(2)可知,入射束能较高时,电子能量损失率较低,在胶中损失的能量较少,电子散射行程较长,因而大量电子穿越界面进入衬底,这就使得返回胶中的背散射电子数目较多,且能量较高,从而在胶中沉积较多的能量,作用范围也较宽,因此,背散射电子对胶中沉积能密度分布起决定作用.但在入射点附近,背散射电子经过的概率却较小,对沉积能密度分布贡献不大;415物 理 学 报51卷当入射电子束能量较低时,由于能量损失率较高,电子行程短,许多电子未进入衬底就已经耗尽能量,终止在胶中,这样由衬底返回胶中的背散射电子较少,且能量较低,对胶中沉积能的贡献较小.由此可以得出一个结论:适量的低能电子束曝光,可以使前散射电子比背散射电子的贡献大得多,对胶中沉积能密度分布起主导作用,从而降低邻近效应,提高分辨率.图5 不同入射束能下前散射电子与背散射电子对胶中沉积能密度分布的贡献 ———为前散射电子,……为背散射电子312 胶层厚度的影响胶膜的厚度T f 对沉积能密度分布也有重要影响.图6为入射束能为3keV 的电子在三种厚度胶层中的沉积能密度分布.可见胶层越薄,胶中沉积能密度分布范围越小,沉积能密度分布越陡峭.这就说明低能电子束曝光中,薄胶层有利于降低邻近效应,提高曝光分辨率.图6 不同厚度胶膜中沉积能密度分布另外,为了比较不同厚度胶膜情况下,前散射电子和背散射电子对胶中沉积能密度分布的影响,本文进一步计算了E 0=3keV 时,前散射电子与背散射电子在4种不同厚度胶膜中的沉积能密度分布,如图7(a )和(b )所示.可以看出:1)胶厚越薄,前散射电子与背散射电子的沉积能密度分布范围越小,但主要影响前散射电子,对于背散射电子,此趋势不明显,沉积能密度分布曲线几乎重合;2)入射点附近前散射电子对胶中沉积能的贡献较背散射电子的贡献大一个数量级,沉积能密度主要取决于前散射电子.对此本文分析如下:对前散射电子而言,由于胶层越薄,入射电子进入衬底前在胶中散射的次数越少,因而前散射电子的分布范围越小,且能量主要集中于入射点附近;而对背散射电子而言,由于低能电子在胶层中能量损失率较低,因而胶层厚度的小范围变化(由于低能电子束曝光工艺中使用薄胶层,模拟计算中胶层厚度不可能变化很大)对进入衬底的电子能量影响不大,从而对背散射电子的数量及其对沉积能密度分布的贡献影响较小.3.3 衬底材料的影响衬底材料的性质可以决定从衬底返回胶中背散射电子的数量、能谱分布等,因此对胶中沉积能密度分布也有重要影响.衬底材料对胶中沉积能密度分布的影响与入射束能有关,图8(a )和(b )给出不同束能的电子在Si 衬底和Au 衬底上66nm PM MA 胶中的横向沉积能密度分布.由图8可见,当E 0=3keV 时,两种衬底上胶中沉积能密度分布在入射点附近表现出明显差异,原子序数较低的Si 衬底,沉积能密度分布略微陡峭一些;而当E 0=1.5keV 时,不同衬底上胶中沉积能密度分布曲线几乎重合.从而表明:一定胶层厚度,入射束能较低时,衬底材料对胶中沉积能密度分布影响不大.5153期任黎明等:M onte Carlo 方法研究低能电子束曝光沉积能分布规律图7 E 0=3keV 时前散射电子(a )与背散射电子(b )对不同厚度PM M A胶中沉积能密度分布的贡献图8 不同衬底胶中沉积能密度分布 ———为S i 衬底,……为Au 衬底 为研究不同衬底材料对前散射电子与背散射电子在胶中沉积能密度分布的影响,本文进一步计算了上述两种入射束能下,Si 衬底和Au 衬底上前散射电子与背散射电子在66nm 胶中的沉积能密度分布,如图9(a )和(b )和图10(a )和(b )所示.由图9和图10可以看出:前散射电子的沉积能密度分布几乎不受衬底材料影响,衬底材料主要影响背散射电子的沉积能密度分布,而且入射束能越高,对背散射电子沉积能密度分布的影响越大.当E 0=3keV 时,由图9(a )和(b )可知,在入射点附近,对Si 衬底而言,胶中沉积能密度主要由前散射电子决定,背散射电子对沉积能的贡献比前散射电子的贡献小得多;而对Au 衬底而言,背散射电子对胶中沉积能的贡献与前散射电子的贡献差别不大(具有相同的数量级).因此,在入射点附近,Au 衬底上胶中沉积能密度要大一些.但在离入射点较远处,两种衬底上胶中背散射电子对沉积能的贡献相差不大,因而沉积能密度分布差别较小.这样就出现了图8(a )所示结果;当E 0=1.5keV 时,由图10(a )和(b )可知,背散射电子对Au 和Si 两种衬底上胶中沉积能贡献虽然稍有差异,但由于两种衬底上前散射电子对胶中沉积能的贡献相当,而前散射电子较背散射电子的贡献大得多(几乎大两个数量级),因此总而言之,两种衬底上胶中沉积能密度分布差别较小,出现了图8(b )所示结果.对此本文分析如下:由于前散射电子几乎不受衬底影响,因此无论入射束能如何变化,不同衬底几乎不影响前散射电子的沉积能密度分布,但是,入射束能E 0的大小却影响背散射电子的沉积能密度分布.当E 0较高时,进入衬底的电子数量及能量均较大,由能量损失公式(2)知:原子序数较高的衬底,其能量损失率相对较低,电子在衬底中散射所损失的能量较少,由衬底返回胶中的背散射电子数量及能量均较大;而当入射束能E 0较低时,由于进入衬底的电子的数量及能量均较小,不同衬底材料所产生的背散射电子的数目及能量差别不大,因此入射束能较低时,衬底材料变化对背散射电子沉积能密度分布的影响较小.615物 理 学 报51卷图9 E 0=3keV 时前散射电子(a )与背散射电子(b )对不同衬底胶中沉积能密度分布的贡献 图注同图8图10 E 0=115keV 时前散射电子(a )与背散射电子(b )对不同衬底胶中沉积能密度分布的贡献 图注同图84 结语由沉积能密度分布的M onte Carlo 模拟计算结果,本文通过分析和归纳,总结出沉积能的分布规律:适量的低束能、薄胶层、低原子序数衬底,可以使前散射电子对胶中沉积能密度分布的贡献增大、背 散射电子的贡献减小,从而提高曝光分辨率.当然,实际电子束曝光中,还应该兼顾其他因素,合理地选用曝光条件.例如,低束能可以提高曝光效率、降低邻近效应、减轻对衬底的损伤程度.但是,受工艺中所能达到的胶膜厚度的限制,入射束能也不可太低,否则部分光刻胶将得不到充分曝光,显影后在胶与衬底界面残留下胶膜,从而影响刻蚀精度.[1]Lee Y H ,Browning R ,M alu f N ,Owen G and Pease R F W 1992J .Vac .Sci .Technol .B 103094[2]S tark TJ ,Eden feld KM ,G riffis D P ,Radzimski ZJ and Russell P E 1993J .Vac .Sci .Technol .B 112367[3]Mu W B ,Chen P X 2001Acta Phys .Sin .50189(in Chinese )[牟维兵、陈盘训2001物理学报50189][4]W ei H L ,Liu Z L and Y ao KL 2000Acta Phys .Sin .49791(in Chinese )[魏合林、刘祖黎、姚凯伦2000物理学报49791][5]Zhao H ,W ang Y S ,Xu Z and Xu X R 1999Acta Phys .Sin .48533(in Chinese )[赵 辉、王永生、徐 征、徐叙 1999物理学报48533][6]Murata R 1974J .Appl .Phys .454410[7]Bethe H A 1933Handbook o f Physics (Berlin :S pringer )v ol 24p273[8]Murata K,K awata H and Nagam i K1987J .Vac .Sci .Technol .B 51247153期任黎明等:M onte Carlo 方法研究低能电子束曝光沉积能分布规律[9]M ott N F and M assy H S W1949The Theory o f Atomic Collision(Ox ford:Clarendon)p243[10]Joy D C and Luo S1989Scanning11176[11]Chen Y Q and M ao YJ1984Acta Phys.Sin.33621(in Chinese)[陈永祺、毛允静1984物理学报33621]Studies of energy dissipation distribution in low2energy electron beam lithographyby Monte C arlo method3Ren Li2M ing Chen Bao2Qin(Microelectronics R and D Center,Chinese Academy o f Sciences,Beijing 100029,China)T an Zhen2Y u(Electric Engineering College,Shandong Univer sity,Jinan 250061,China)(Received24August2001;revised manuscript received19September2001)AbstractA physical m odel describing the scattering processes of low2energy electrons is proposed.The M onte Carlo method was ap2 plied to simulate the com plex scattering processes of G aussian2distribution low2energy electrons in the resist substrate target.And on this basis,the in fluences of different exposure conditions such as incident beam energy,resist thickness and substrate material on energy dissipation density were investigated to obtain the regularity of energy dissipation distribution.It is indicated that ap2 propriately low beam energy,thin resist and low atom ic number substrate can increase the contribution of forward scattering elec2 trons to energy dissipation density distribution in the resist and reduce the contribution of backscattering electrons and thus im2 prove the exposure resolution.K eyw ords:electron beam lithography,M onte Carlo method,low2energy electron scattering,energy dissipation distribution PACC:3480,8220R,8220W,02503Project supported by the S pecial Funds for National Ninth Five2Y ear Science and T echnology Program of China(G rant N o.972762203202),and the S tate K ey Program of Basic Research of China(G rant N o.G2000036504).815物 理 学 报51卷。
MonteCarlo方法模拟低能电子在多元介质中散射_基于平均散射截面方法
[文章编号]10012246X (2000)0320331206Monte C arlo 方法模拟低能电子在多元介质中散射———基于平均散射截面方法谭震宇1, 何延才2(11山东工业大学电力学院,山东济南 250061; 21中国科学院上海硅酸盐研究所,上海 200050)[摘 要] 应用基于平均散射截面低能电子在多元介质中散射Monte Carlo 方法,模拟E 0≤5keV低能电子在多种多元介质中散射。
计算了电子背散射系数,背散射电子能谱、角分布,入射电子、背散射电子在介质中的作用范围、沉积能分布,并与确定散射中心方法的结果比较。
两种方法计算结果广泛一致,进一步证明基于平均散射截面方法的有效性和可靠性。
入射电子能量较低,介质平均原子序数较大时,计算的背散射电子角分布不服从余弦分布律。
[关键词] 低能电子散射;Monte Carlo 方法;多元介质;平均散射截面[中图分类号] O56215 [文献标识码] A[收稿日期]1998207227;[修订日期]1999206207[基金项目]国家自然科学基金、山东省高校中青年学科带头人基金资助项目[作者简介]谭震宇(1958～),男,贵州,教授,硕士,主要从事电子与固体相互作用过程Monte Carlo 方法及应用研究.0 引 言近年来,低能电子显微分析、低能电子束曝光研究相当活跃。
这些领域中许多重要课题均涉及电子在多元介质中复杂散射模拟。
作者在文[1]中提出一个基于平均散射截面低能电子在多元介质中散射模型及Monte Carlo 计算方法,该方法将电子在多元介质中的散射等效为在单一介质中的散射,并应用于低能电子束曝光沉积能分布计算[2]。
这一工作主要涉及模拟低能电子在电子束曝光胶PMMA (C 5H 8O 2)中的散射。
基于文[1]的工作,本文对低能电子在多种多元介质,特别是组分原子序数相差较大的多元介质中散射作了模拟,计算电子在固体中作用范围、能量沉积分布,电子背散射系数,背散射电子平均作用深度、背散射电子能谱和角分布,并与确定散射中心方法比较,以进一步证明文[1]方法的有效性和可靠性。
用Monte-Carlo方法计算正电子湮没寿命谱中的衬底效应
用Monte-Carlo方法计算正电子湮没寿命谱中的衬底效应雷海乐;应三丛;张一云;徐家云
【期刊名称】《核技术》
【年(卷),期】2000(023)006
【摘要】用Monte-Carlo方法模拟计算了22Na源的正电子在不同厚度Mylar 膜、Ni膜衬底中的湮没几率，得出Si、Fe、PE、PP 4种样品在不同Mylar膜厚度下的衬底效应。
结果显示，对PE、PP样品衬底效应较Si、Fe等样品强。
表明用Monte-Carlo方法计算衬底效应是可行的。
【总页数】5页(P396-400)
【作者】雷海乐;应三丛;张一云;徐家云
【作者单位】四川大学成都610064;四川大学成都610064;四川大学成都610064;四川大学成都610064
【正文语种】中文
【中图分类】O571.33
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电子加速器屏蔽室空间散射的蒙特卡罗计算_孔巢城
6. 69 @ 10- 2 5. 34 @ 10- 2 3. 91 @ 10- 2 3. 38 @ 10- 2 2. 38 @ 10- 2 2. 27 @ 10- 2
5. 75 6. 00 6. 00 6. 25 6. 25 6. 50 6. 50 6. 75 6. 75 7. 00 7. 00 7. 25
对于空间散射问题, 电子打靶产 生 X 射线, 可 以认为是一个点源, 光子的起始位置固定. 因此统 计出了光子能谱和飞行方向谱, 便可以建立抽样光 子源代替电子打靶产生光子的计算, 进入第二步模
第 4期
孔巢城等: 电子加速器屏蔽室空 间散射的蒙特卡罗计算
433
拟阶段.
表 1 靶正上方 1m 处光子能谱
0. 10 0. 15 0. 20 0. 25 0. 30 0. 35 0. 40 0. 45 0. 50
1. 36@ 10- 2 1. 45@ 10- 2 1. 54@ 10- 2 1. 65@ 10- 2 1. 78@ 10- 2 1. 94@ 10- 2 2. 10@ 10- 2 2. 30@ 10- 2 2. 53@ 10- 2
2. 4 点通量计算的指向概率法
放疗绝对剂量的数学算法模型
放疗绝对剂量的数学算法模型*谢天赐1) 张彬1) 贺泊1) 李昊鹏1) 秦壮2) 钱金钱1)石锲铭1) Lewis Elfed3) 孙伟民1)†1) (哈尔滨工程大学物理与光电工程学院, 中国教育部纤维集成光学重点实验室, 哈尔滨 150001)2) (黑龙江大学电子工程学院, 哈尔滨 150001)3) (利莫瑞克大学, 光纤传感器研究中心, 利莫瑞克, 爱尔兰)(2020 年6 月26日收到; 2020 年8 月30日收到修改稿)本文提出一种通过物理模型计算放疗过程中每一个组织深度处绝对剂量的算法, 它可代替蒙特卡罗仿真的部分工作且耗费时间更少. 这个算法是基于对照射野内X射线产生电子的能量注量的积分运算, 并考虑了射线的能谱及二次散射线, 得到了后向散射对表面剂量的贡献比例, 同时得到前向散射、后向散射及原射线剂量贡献的关系. 比较了二次光子和二次电子的三维能谱, 得出该能谱是粒子注量关于粒子能量和粒子运动方向的函数. 为了得到每一深度处的光子注量, 计算了有连续能谱的X射线的期望质量衰减系数. 上述算法计算得到的绝对剂量与蒙特卡罗方式仿真的结果趋势一致, 两者的差异在于算法未考虑高于二次的散射线. 最后将算法应用到非均匀模体剂量计算, 能准确反映其中剂量分布特点且具有较小的误差.关键词：放疗, 模型, 绝对剂量, 康普顿效应PACS：87.55.Qr, 87.55.Gh, 87.55.kd, 87.64.Bx DOI: 10.7498/aps.70.202009861 引 言在放射治疗领域, 蒙特卡罗(Monte Carlo)仿真是目前公认的最精确的剂量计算方法, 它可以精确地模拟加速器和患者组织的各种结构的真实辐射传输[1]. 蒙特卡罗仿真基于粒子运输计算和概率统计的原理, 可以在计算机上进行癌症风险评估[2]、合理制定放疗计划[3]、直线加速器调试[4] 等工作,但要想得到较高的仿真精度会耗费大量的时间.为了更直观地反映辐射和组织之间的相互作用, 减少计算时间, 研究人员尝试提出一些理论模型和计算方法来代替蒙特卡罗仿真[5−7]. Jette[8]计算了不同能量光子束从一个相互作用点产生的所有康普顿电子的剂量分布, 但只计算了单能射线,且没有考虑射野中心轴以外其他地方对剂量分布的影响. Tillikainen等[9]给出了窄射线束条件下各深度辐射剂量的计算方法并考虑能谱和散射等相关因素, 但其计算仍依赖于蒙特卡罗仿真的射线束. 同时对于笔形束卷积法、各向异性解析法、筒串卷积叠加法在计算非均匀模体时存在较大误差[10−13],特别是对于笔形束卷积法, 由于并未考虑电子的横向平衡条件, 在低密度的肺模体中计算剂量明显偏高[12].本文以康普顿电子的特性及其产生的能量沉积为基础来解决放疗中的剂量计算问题, 主要工作是计算原射线和散射线在各个深度上产生的电子能量注量, 并通过积分能量注量得到射野中心轴线* 黑龙江省自然科学基金(批准号: ZD2019H003)、国家自然科学基金与中国科学院合作设立的天文联合研究基金(批准号: U1631239, U1931206)和高等学校学科创新引智计划(批准号: B13015)资助的课题.† 通信作者. E-mail: sunweimin@© 2021 中国物理学会 Chinese Physical Society 上的绝对剂量与水模体深度的关系. 这些研究都是基于康普顿效应, 康普顿效应在高能X 射线(如加速电压为6 MV 的X 射线)与物质相互作用中起着重要作用. 本文以医用加速器的非单能射线为射线源, 考虑了射线的二次散射影响, 将其分为前向散射和后向散射, 计算出前向、后向散射对表面剂量的贡献比例. 比较了二次散射光子和二次反冲电子的三维能谱, 该能谱表示粒子通量与能量和粒子方向的关系. 通过对非均匀模体的剂量计算发现,本研究的算法能真实反映模体内轴向剂量和横向剂量分布.2 理论模型与分析方法2.1 绝对剂量表达式z max /∆z z max 在医用X 射线照射水模体的物理模型中(如图1所示), 为了计算射野中心轴(z 轴)计算点P 的剂量, 建立了以水模体表面的射野中心点为坐标原点的三维坐标系, 其中z 轴的方向向下, 2l 为射野的边长, hv 为入射光子的能量, O' 为射野平面C 的中心点, 微元K 的长、宽、高分别为d x , d y ,D z , P 点所在深度为z . 为了建立剂量形成的物理模型, 水模体被分成了 个厚度为D z 的薄层, 其中 为水模体最大深度, D z 为薄层水模体厚度.(图 1 绝对剂量的算法模型示意图Fig. 1. Schematic diagram of absolute dose algorithm model.射野中心轴线上P 点的剂量D 可以通过累加计算得到, 该累加来自于对每一个深度处薄层内的射线与物质作用产生的电子到达P 点时沉积的能量. 在考虑射线在组织中的衰减后, P 点处的剂量表示为D ′(m,z )m ∆z 其中 表示在深度为 处的薄层C 产生电子到达P 点所造成的剂量, m 为正整数.D ′根据吸收剂量的定义[14], 某一点的吸收剂量在数值上等于能量注量. 水模体某一深度处 可以近似由原射线和二次散射线产生的能量注量表示:D ′p D ′s 其中 表示由原射线和物质作用产生的二级电子的能量注量, 表示由二次散射线和物质作用产生的三级电子的能量注量.D ′p2.2 原射线产生的剂量 r kp φ1D ′p 在K 点产生的电子的经过距离(图1中的红色虚线)后到达计算点P , 为电子运动方向与z轴的夹角, 吸收剂量 是薄层C 内所有微元对P点的电子能量注量贡献的积分, 由下列函数表示:Ψ(m,φ1)k (r kp )n e Ψ(m,φ1)其中 表示电子的能量注量, 表示电子的能量注量随距离的衰减规律, 表示物质的每克电子数, 单位为g –1, 对于水模体取值为3.343 ×1023 g –1. 的表达式[15]为e −τm ∆z τΦ(φ1,hv )e −τm ∆z Φ(φ1,hv )m ∆z E (φ1,hv )φ1其中 表示非单能射线光子注量的衰减规律,表示期望质量衰减系数, 表示水模体表面z = 0处光子与物质相互作用产生的电子注量,与 的乘积表示深度为 的薄层C 内的光子与物质相互作用产生的电子注量.表示电子的能量, 积分的上下限为电子的最大能量和最小能量. 的表达式为Φ(φ1,hv )其中x 和y 是微元K 的坐标. 表达式为ρ(φ1,hv )其中 表示二次电子的微分截面(光子与物质相互作用的概率相对方向角的微分). n (hv )表示入射光子的注量, 表达式为ρ(φ1,hv )ρ(φ1,hv )其中A 1, A 2, t 1和t 2为一般参数, 没有物理含义.电子的微分截面 是一个重要的参数, 决定了电子在不同方向的运动特性. 的表达式为[16]β=hv ′/hv hv ′θ1βθ1其中r e表示电子的经典半径, [16]表示二次光子的能量 与入射光子能量hv 的比值, 表示二次光子运动方向与入射光子方向的夹角. 是关于 的函数:θ1φ1而为关于 的函数:α其中 的表达式为m e c 2其中 为单个电子的静止能量.E (φ1,hv )是基于康普顿效应的能量守恒原则的函数, 其表达的电子能量可以通过入射光子能量与散射光子能量做差得到, 函数表达式为hv ′其中 表示二次光子的能量.k (r kp )在(3)式中的 可通过研究窄电子束条件下能量注量在单一方向的变化规律得到. 从电子束的百分深度剂量(percent depth dose, PDD)曲线随射野的变化规律可以得出, 当射野足够小(窄电子束)时, 电子的能量注量将遵循下列指数衰减规律[17]:r kp 根据图1中的几何关系, 其中的 的表达式为µ2φ1µ2φ1而 表示单能电子的衰减系数, 可以通过射线产生的二次电子的最大穿透深度推导, 该深度在数值上与最大剂量点对应的深度相等[17], 电子的能量随着反冲角 增大而减小(见第3.3节分析), 因此是关于反冲角 的函数. 不妨设两者关系为线性:µ0φ1µ0其中 表示反冲角 为0时电子的衰减系数. 根据不同能量的电子对应不同射程, 这里 取值4,k ρ 取值3.D ′p (m,z )根据(5)式和(14)式, (3)式中的可写作D ′s2.3 二次射线产生的剂量 D ′s D ′p θ1D ′s 表达式 的推导过程与 相似, 只是能量注量来自二次光子产生的三级电子. 由于二次光子的散射角 的范围是0—π,将 分为前向散射和后向散射, 如图2所示. 在下列计算中, 微元K 到二次射线作用点之间的距离(图2带箭头的黑色实线长度)被忽略. 二次射线产生的剂量表示为D ′sb D ′sf 其中 表示散射光子方向向上(π/2 < q 1 ≤ π)带来的能量注量, 表示散射光子方向向下(0 ≤q 1 ≤ π/2)带来的能量注量.D ′sf D ′sb图 2 (a)和 (b)算法模型示意图D ′sf D ′sbFig. 2. Schematic diagram of (a) and (b) al-gorithm model.D ′sf 根据首次散射角、二次反冲角及二次散射角之间的关系, 在 的计算中参考(8)式可得到前向散射的三级电子的微分截面为hv ′′θ2φ2其中 表示三级光子的能量, 表示二次光子散射角, 表示二次电子反冲角.β′f 三级光子的能量与二次光子的能量比例 为θ2φ1θ1其中二次散射角 是一个关于 和 的函数:D ′sb 在 的计算中, 三级电子的微分截面写成如下式子β′b 三级光子与二次光子的能量比例 为θ2φ1θ1二次散射角 是关于 和 的函数:D ′sf 来自所有方向的二次光子所产生的电子到达点P , 所有电子在此过程中的运动轨迹形成“圆锥”(图2红色线和黑色虚线组成). 由该“圆锥”造成的能量注量需要针对其体积作积分运算, 但是根据(16)式的运算, 需要对该能量注量计算“圆锥”体积积分的均值以得到前向散射 的式子D ′sb 同理后向散射的式子为(24)式与(25)式计算的是二维积分的均值,但在数值上与“圆锥”积分的均值相等.τ2.4 射线的期望线性衰减系数 任意单能的线性衰减系数µ为[16]ρn eσe σe 其中 表示物质的密度, 单位为g/cm -3, 表示物质的每克电子数, 表示康普顿效应截面. 是一个关于光子能量的表达式[16].µ(hv )因此线性衰减系数µ是一个关于光子能量hv 的函数, 在深度为z 处的非单能射线强度表示为hv max n (hv )其中 表示能谱函数 里射线能量的最大值.τI (z )将(7)式代入(28)式, 得出光子强度关于深度的函数关系, 发现其仍然遵循指数衰减规律. 期望质量衰减系数 用(29)式拟合 的函数曲线得到y 0其中 表示组织深度为0时的光子强度. 这个指数衰减表示了原射线的光强的变化规律.3 结果与分析3.1 蒙特卡罗对绝对剂量的仿真与计算图3所示为真实加速器(型号为Varian IX 3937)测量PDD 实验数据(experiment data)与基于蒙特卡罗仿真出来PDD 数据(Monte Carlo simulation)的对比, 纵坐标为以最大剂量值为单位的归一化剂量(normalized dose), 横坐标为水模体深度(depth). 实验条件为6 MV 的X 射线、照射野面积为10 cm × 10 cm, 源皮距为100 cm. 在每个深度处两组数据的差异小于 ± 3.6%.n (hv )n (hv )图4为上述仿真的加速器结构下6 MV 的X 射线能谱(6 MV X-ray spectrum)及来自(7)式的仿真函数 (fitting function ), 纵坐标为光子通量(photon flux), 横坐标为粒子能量(energy hv ).两者的相关系数R 2大于0.993, 能谱数据采集于射野中心轴距离射线源100 cm 处.µ0=4k ρ=3D (z )D (z )将该蒙特卡罗仿真出的加速器的射线能谱、期望质量衰减系数t = 0.701以及 和 分别代入(6)式、(4)式与(15)式, 计算得到原射线和二次射线产生的绝对剂量, 并将其与蒙特卡罗仿真剂量做对比来验证算法的正确性, 图5为经过上述算法得到的绝对剂量 (calculation of D (z ))与仿真的绝对剂量(simulated by Monte Carlo,MC)的对比, 其中算法耗时约为5 min, 蒙特卡罗软件Egsnrc 耗时约为30 min, 本方法的计算效率明显高于蒙特卡罗仿真方法. 的计算没有考虑以下因素: 1)原射线入射前的各种散射X 光子和污染电子; 2)由原射线在水模体中产生的多次(大于二次)散射X 光子. 这两个因素是仿真与计算数据在剂量建成区和指数衰减区存在差异的原因, 两者的差异曲线如图5中黑色虚线所示. 由于原射线中含有的散射X 光子和电子的能量低、数目少, 因素1造成的剂量差异在建成区中快速衰减[18]. 随着深度z 增大, 射线被水模体的散射程度增加, 由此造成的剂量差异在指数衰减区缓慢增加, 此外, 因素2造成的剂量差异还与散射校正因子(S cp )[19]相关. 对差异曲线利用补偿函数f d 进行拟合, 其表达式如下拟合线性度(R 2)好于0.95, 通过该函数补偿保证了上述算法计算的剂量与仿真的一致性.3.2 原射线与二次射线D ′p D ′sf D ′sb D ′p D ′pD ′sfD ′p D ′sb D ′p D ′sf D ′sb在上述实验条件下计算射野薄层m = 1的能量注量, 得到该射野层原射线剂量贡献 (primary ray)、前向散射剂量贡献 (forward ray)和后向散射剂量贡献 (backward ray)三者随深度z 的关系, 如图6所示. 是由原射线与水模体表面作用产生的电子造成的, 可类比成以深度为0处的零射野为电子源的电子束造成的吸收剂量, 所以 不存在表面剂量, 剂量建成区从剂量为0开始.也可以类比成电子束造成的剂量, 它与 的不同在于电子是由来自任意散射角的二次光子产生的, 这意味着一定数量的电子可以到达深度为0处的位置, 因此其存在表面剂量. 代表的电子运动方向与 和 的相反, 为了方便比较, 将 的图像也放在z 轴的位置.D ′sb D ′sf D ′sf D ′sbD ′p 对深度从0—10 cm 的剂量积分可知, 约占 的34%, 和 分别占 的16%和5%,这主要是因为只有部分原射线参与康普顿效应并产生散射线, 而由散射线产生的电子能量注量小于N o r m a l i z e d d o s e /%Depth/cm图 3 蒙特卡罗PDD 与真实测量数据的对比Fig. 3. Comparison of PDD between Monte Carlo simula-tion and experimental data.P h o t o n f l u x /10-5 c m -2S M e V -1Energy /MeV图 4 6 MV 射线能谱及其仿真函数Fig. 4. 6 MV X-ray spectrum and its fitting function.Depth /cmD o s e /10-16 G yD (z )图 5 蒙特卡罗仿真的绝对剂量和计算绝对剂量 的比较D (z )Fig. 5. Comparison of absolute dose between Monte Carlo simulation and calculation of .原射线产生的. 从图6也可以看出, 原射线的电子的最大穿透深度大于散射线电子的最大穿透深度.D ′sb D ′s 利用前向散射与后向散射的关系, 将图6中曲线 以纵坐标轴为对称轴进行翻折, 得到一条如图7所示的连续曲线 (scattered ray). 在深度为0.4 cm 处存在一个剂量峰, 值约为1 × 10–5 Gy,这主要由能量注量在该处聚集造成. 从图7中可以看出该剂量分布的半高宽约为1 cm.3.3 二次电子与二次光子的能谱φ1φ1,E Φ(φ1,E )利用(9)式—(12)式之间的转换可得到hv 关于 和E 的函数关系hv ( ), 并将其代入(6)式中, 得到图4所示的6 MV X 射线产生的二次电子的能谱 , 如图8所示.φ1图8中横坐标为电子反冲角(recoil angle,Ra )j 1, 其范围为0 < j 1 < π/2, 纵坐标为电子的能量E , 竖坐标为粒子注量(particle flux, Pf ), 图中的二维图为三维能谱图的三视图. 当反冲角接近0时, 电子的数目达到最大值, 此时, 电子的能量为0.44 MeV. 从图8中还可以看出二次电子分布在 与E 的数量乘积小于1的范围内.θ1n ′(hv ′,θ1)二次射线的能谱不同于原射线的能谱, 且其在不同散射角(scattered angle) 上也不尽相同. 根据(7)式以及二次光子的微分截面, 可以得到二次光子关于每个散射角下的能谱 , 其表达式如下Depth /cm02468101.02.03.04.05.0D o s e /10-5 G yPrimary ray 'p Forward ray 's f Backward ray 's bD ′pD ′sf D ′sb图 6 比较由原射线产生的剂量 、前向散射产生的剂量 、后向散射产生的剂量 随深度的变化D ′pD ′sf D ′sbFig. 6. Comparison of dose caused by primary ray , for-ward scatter and backscatter with depth.Depth /cm-10-8-6-4-202468100.20.40.60.81.0D o s e /10-5 G ySecondary ray 's 图 7 向前和向后的二次射线产生的剂量随深度的变化Fig. 7. Dose caused by scattered ray in forward and back directions with depth.E ne r g y/M e VR e c oi l a ng l e1/r adP a r t i c l e f l u x /10-6 c m 2S M e V -1061520.434430.8526 1.211.61.53.04.56.0T 10-664 T 10-62654321000.80.41.201234561.664 T 10-6200.40.8 1.21.60φ1图 8 二次电子的粒子注量随能量E 和反冲角 的变化φ1Fig. 8. Particle flux of secondary electron with energy E and recoil angle .σhv ′,θ1其中 表示的是二次光子的微分截面, 其表达式[16]为hv hv ′根据(9)式, (32)式中的 是关于 的函数.n ′(hv ′,θ1)θ1hv ′图9为图4所示的6 MV X 射线产生的二次光子的三维能谱 , 横坐标为光子的散射角(scattered angle, Sa )q 1, 其范围为0 < q 1 < π,图中二维图为三维能谱的三视图. 当散射角为0时, 光子的数目达到最大值, 此时光子的能量为0.46 MeV. 二次光子分布在 与 的乘积小于1.1的范围内.对比两种粒子的能谱可以发现, 当电子的反冲角j 1 = 0时, 光子的散射角q 1 = π, 此时, 入射的光子与电子发生对心碰撞, 光子的能量范围在0—0.25 MeV, 光子注量峰值约为0.55 × 10–6 cm 2·MeV –1,电子的能量范围在0—5.75 MeV, 电子注量峰值约为6 × 10–6 cm 2·MeV –1. 当电子的反冲角j 1 =π/2时, 光子的散射角q 1 = 0, 此时, 入射的光子从电子旁边掠过, 光子没有能量损失, 电子注量为0.当散射角q 1 = π/2时, 光子三维能谱图中“山脊”中有一个最低点, 其代表的粒子注量为0.5 × 10–6cm 2·MeV –1, 该点对应的光子能量为0.17 MeV, 而此时的电子反冲角j 1 = 0.75, 对应电子三维能谱图“山脊”曲线斜率绝对值的最小值.3.4 PDD 的计算与仿真D (z )%D (z )图10为通过蒙特卡罗仿真得到的不同射野PDD 与算法计算得到PDD (以 最大剂量为单位)的对比, 其中源皮距为100 cm, 射线源为图4所示的6 MV X 射线. 在射野3 cm × 3 cm 范围内, 计算与仿真PDD 最大误差剂量约为2%(表面剂量例外). 两者在剂量建成区及指数衰减区的差异原因在第3.1节中已指出. 在大多数文献中[20−22], 都认为表面剂量来自原射线中的散射线及污染电子, 部分来自于组织中的后向散射[21].En e r gy'/M e VS c a tt e r e da n g l e1/r a dP a r t i c l e f l u x /10-6 c m 2S M e V -10651.00.5432.01.522.513.00.51.01.52.0T 10-62.11.50.90.3T 10-665432101231253462.11.50.90.3T 10-60123hv ′θ1图 9 二次光子的粒子注量随能量 和散射角 的变化hv ′θ1Fig. 9. Particle flux of secondary photon with energy and scattered angle .Depth /cm0510********MC data of 4 cm T 4 cm MC data of 3 cm T 3 cm ( )% of 3 cm T 3 cm20406080100N o r m a l i z e d d o s e /%D MC D (z )%图 10 比较随不同射野(射野大小3 cm × 3 cm 和4 cm ×4 cm)变化的蒙特卡罗仿真数据 与计算的 (射野大小3 cm × 3 cm)D (z )%Fig. 10. Comparison of Monte Carlo simulation PDD with different fields (field size 3 cm × 3 cm and 4 cm × 4 cm)and calculation PDD (field size 3 cm × 3 cm).D (z )%D (z )D (z )%而后向散射贡献的这一部分可由(25)式计算得到,为相对最大剂量的5%, 如图10中 与y 轴的交点. 在指数衰减区, 射野3 cm × 3 cm 下的蒙特卡罗仿真数据与 的计算数据的差异和4 cm ×4 cm 射野与3 cm × 3 cm 射野蒙特卡罗仿真数据差异相似, 后者主要是因为当射野面积增加时,散射体积的增加导致了更多的散射线, 这从侧面验证了计算与仿真的差异在于仿真的剂量会有更多来自散射线的贡献. 不难得出, 当照射野接近0 × 0时, 的计算值将和真实的PDD 非常接近.3.5 非均匀模体剂量计算D (z )非均匀模体由三层物质组成, 分别为水、肺、水, 厚度均为5 cm. 利用图4所示的6 MV 射线,射野为3 cm × 3 cm, 模体中的肺密度r 设置为0.1, 0.2, 0.4和1 g/cm 3. 不同密度物质的剂量 的计算差异在于光子注量的衰减和电子能量注量的衰减的不同, 对应参数分别为t 和µ2, 其中t 可以根据2.4节计算. µ2的取值过程则取决于横向电子平衡.µ2=k ρ·φ1+µ0φ1φ1如果射野的尺寸不能满足横向电子平衡, 电子会将部分能量带到射野外, 同时物质的密度变化会改变电子的射程, 也会导致横向电子不平衡. 6 MV 射线在射野为3 cm × 3 cm 刚好达到横向电子平衡时的肺密度为r T , 当r ≥ r T 时, 肺模体内达到横向电子平衡, (15)式( )中k r 与µ0仍保持不变, 此时肺密度的改变只改变光子强度的衰减程度. 当肺模体的密度r < r T 时, 不满足横向电子平衡, 在 接近π/2时, 肺模体密度越低,从射野边缘逃逸的电子射程越大, 此时µ2越小; 在接近0时, 电子的能量注量都在模体内沉积, 当模体密度变小时, 能量注量的沉积变少, 此时的µ2越大. 不同肺模体密度r 对应的参数k r 与µ0关系如表1所列, k r 与µ0均关于r 呈等差变化, 公差数与射野大小和射线能量相关.图11所示为4种不同肺密度的PDD 曲线,对比肺模体密度为0.1, 0.2与1 g/cm 3时的结果发现, 横向电子不平衡带来的剂量跌落随着密度的降低而增大. 肺模体密度0.1 g/cm 3的PDD 在第一个水肺交界处(如图11中深度为5 cm 处曲线所示)相对深度为10 cm 的剂量跌幅约为17%, 密度0.2 g/cm 3的剂量跌幅约为5%, 肺模体密度0.4g/cm 3的PDD 曲线在10 cm 后剂量增长约为4.5%,这一结果与文献[23]一致. 但在深度6—10 cm 处的计算剂量偏低, 与文献[23]差别最大为3%, 这主要是因为算法未考虑到从第一层水模体中进入肺模体的多次散射带来的剂量贡献, 而更小射野散射带来的剂量贡献会更小, 因此图11的计算结果与更小射野的非均匀模体PDD 更加接近[24].20406080100N o r m a l i z e d d o s e /%02468101214161.0 g/cm 30.4 g/cm 30.2 g/cm 30.1 g/cm 3WaterLungDepth/cmWater图 11 不同肺密度的水肺水模体的射野中心轴百分深度剂量Fig. 11. Percentage depth dose of the central axis of the field of radiation in water-lung-water phantom with differ-ent lung densities.在第二个肺水的交界面(如图11中深度为10 cm 处曲线所示), 低密度肺模体PDD 相对于1 g/cm 3肺模体PDD 出现明显的剂量增长, 这主要是因为光子强度在低密度肺模体中衰减较少, 在达到第二个肺水交界处后光子强度相对较高. 此处与射线从空气入射到水模体中类似, 会在水下出现第二个最大剂量点, 而这个最大剂量点相对深度低于第一层水模体的最大剂量点深度1.5 cm, 这是由于6 MV 射线在第二个最大剂量点处由于射线的衰减能谱发生变化, 低能射线的成分增加, 次级电子的射程变短.图12所示为在深度为7和11 cm 处采集的离轴比曲线, 所有离轴比剂量均以肺密度为1 g/cm 3的水肺水模体在离轴0 cm 处剂量为单位. 在深度表 1 不同肺模体密度r 对应参数k r 和µ0Table 1. Parameters k r and µ0 of lung phantom densities r .r /g·cm –30.10.20.4≥ r T k r –6–3.750.753µ06.86.14.747 cm 处, 密度为1 g/cm 3肺模体对应的离轴比曲线在射野边缘剂量跌落幅度最大, 跌落幅度随着密度的减小而减小, 与高密度的离轴剂量相比, 较低密度的离轴剂量在射野边缘会更快进入剂量跌落状态, 因为较低密度模体的射野内电子会因为横向电子不平衡将部分能量带离射野. 同时还可以发现, 在射野外, 低密度的肺模体剂量明显高于1 g/cm 3肺模体对应的剂量, 这是由于低密度肺模体的电子能量注量流失到射野外, 流失的这部分能量注量随着密度的降低而增加. 在深度为11 cm 水模体处,来自较低密度肺模体的剂量因为光子强度衰减较少明显高于较高密度的剂量, 此时电子横向平衡被恢复, 来自各个密度肺模体的射野外剂量变化规律保持一致.4 结 论本文通过构建放疗过程中剂量形成的物理模型来得到吸收剂量的数学算法. 加入补偿函数后,该算法计算得到的吸收剂量与蒙特卡罗仿真的结果相符, 利用该算法计算了在一定射野范围内不同组织深度处的吸收剂量, 在计算中考虑了非单能射线的能谱及二次散射线. 其中补偿函数在剂量建成区呈现快速衰减, 在指数衰减区呈缓慢上升趋势,前者是一个与原射线中的散射线和电子相关的变量, 后者是一个与康普顿效应产生多次(大于二次)散射射线相关的变量. 因此该算法能保证与仿真结果的一致性, 且相比蒙特卡罗仿真耗时更短.讨论了每一深度处由原射线及二次散射线对射野中心轴产生的剂量贡献, 并分别讨论了前向散射和后向散射. 其中后向散射的剂量贡献呈指数衰减规律, 前向散射的剂量贡献是一个先上升后下降的函数, 发现模体表面剂量部分来自组织中的后向散射, 并计算出这部分所占比例. 发现了二次散射. 在此研究, 得到了医用6 MV X 射线产生的二次光子和二, 该能谱是粒子注量与粒子能量. 对比两种粒子的能谱, 发现两, 并分析了三种散射角或反冲角下.对非均匀模体的剂量计算中发现, 电子在低密, 因此电子的能量注量衰减系数相比密度较高的更小, 本研究在计算中考虑到了该系数随着密度和电子运动方向角变化, 同时调整不同密度模体中光子强度衰减系数, 准确计算了由于不同密度肺模体带来横向电子不平衡的PDD 曲线和离轴比曲线. 通过对比MC 仿真PDD 数据和对比他人研究非均匀模体剂量分布发现, 本算法在小射野PDD 的计算上有更小的误差.参考文献Y amamoto T, Mizowaki T, Miyabe Y, Takegawa H, NaritaY, Yano S, Nagata Y, Teshima T, Hiraoka M 2007 Phys.Med. Biol. 52 1991[1]E instein A J, Henzlova M J, Rajagopalan S 2007 JAMA 298317[2]D elaney G, Jacob S, Featherstone C, Barton M 2005 Cancers104 1129[3]D as I J, Cheng C W, Watts R J, Ahnesjo A, Gibbons J, Li XA, Lowenstein J, Mitra R K, Simon W E, Zhu T C 2008 Med.Phys. 35 4186[4]v an't Veld A A, van Luijk P, Praamstra F, van der Hulst P C2001 Med. Phys. 28 738[5]v an't Veld A A, van Luijk P, Praamstra F, van der Hulst P C[6]Transverse axis/cmN o r m a l i z e d d o s e /%N o r m al i z e d d o s e /%Transverse axis/cm图 12 不同模体深度处的离轴比曲线 (a) 7 cm; (b) 11 cm Fig. 12. Off-axis ratio curves at different phantom depths:(a) 7 cm; (b) 11 cm.。
逆康普顿散射计算
逆康普顿散射计算一、逆康普顿散射的基本原理逆康普顿散射的基本原理可以通过能量守恒和动量守恒来解释。
在碰撞前，电子和光子的能量、动量分别为E_e，E_g和p_e，p_g，碰撞后，电子和光子的能量、动量分别为E'_e，E'_g和p'_e，p'_g。
能量守恒：E_e+E_g=E'_e+E'_g动量守恒：p_e+p_g=p'_e+p'_gcosθ_max = 1 - (m_e c^2 / E_g)其中，θ_max是最大散射角，m_e是电子质量，c是光速，E_g是入射光子的能量。
当θ_max = 0时，表示最大散射能量。
二、逆康普顿散射的计算方法1. Monte Carlo方法Monte Carlo方法是一种常用的数值计算方法，可以模拟大量随机事件，通过统计平均值来计算物理量。
对于逆康普顿散射，可以通过生成大量的光子和电子，模拟碰撞过程，然后统计散射光子的能量和角度分布来计算散射截面。
2.解析或近似表达式方法解析或近似表达式方法是将逆康普顿散射过程转化为数学方程，并通过求解方程得到散射结果。
常用的方法有微分截面法、级数展开法等。
微分截面法是通过求解逆康普顿散射微分截面的表达式来计算散射结果。
微分截面是指散射光子在单位立体角内的散射概率。
微分截面可以通过经典电动力学（classical electrodynamics）或量子电动力学（quantum electrodynamics）推导得到。
级数展开法是将逆康普顿散射微分截面进行级数展开，然后通过计算级数的前几项来近似散射结果。
级数展开方法可以将逆康普顿散射过程简化为更容易计算的形式，适用于一些简化的模型和近似情况。
三、逆康普顿散射的应用1.天体物理学中的应用2.量子电动力学中的应用3.粒子物理学中的应用总之，逆康普顿散射是一种重要的物理过程，在天体物理学、量子电动力学和粒子物理学中有广泛的应用。
2.3蒙特—卡罗
2.3 蒙特—卡罗（M-C ）模拟模型2.3.1蒙特-卡罗模拟的概要介绍A. 用M-C 方法求解确定性问题用统计试验方法去解决具有统计性质的数学 — 物理问题是理所当然的，然而能否用统计试验法或者叫做随机模拟方法去解决确定性的数学 — 物理问题呢？答案是肯定的。
蒙特-卡罗（Monte-Carlo ）方法就是一种通过随机变量的统计试验去求解数学 — 物理问题或者工程问题的一种数值计算方法，下面我们举几个简单的例子，予以说明。
（1）问题一，求圆周率（π）的问题。
众所周知，半径为R 的圆，其面积S 与半径R 之间存在如下关系式。
S=πR 2 则π=S R 2外接圆的方形面积为S ＇= 4R 2442ππ=='∴R R s s ，这样求取 π 值的问题，便转化为求取两个面积比例（s s '）的问题，而这个面积比例值是可以通过随机试验获得。
圆周的方程为２２２＝＋R y x ，经标准化后x y 221+=。
我们可以在（-1，1）区间内随机地取值（x i , y i ），如果x y i i 221+<，则取随机变量n i =1，否则取“0”。
这样，41lim 1π='⇒∑=∞→s s n N N i iN （2）问题二，求取任意函数f(x) 的积分值问题。
设为f （x ）为定义在（0，1）区间的任意函数，如右图所示，求取其积分值。
)1)(0()(12<<=⎰x f dx x f θ右图曲线下的面积即为f(x) 的积分值θ2如果在正方形内随机投点（x i , y i ），则（x i , y i ）位于曲线f(x)下面的概率P （y<f(x)）就是积分值θ2⎰⎰=<1)(0))((x f dy dxx f y P设随机变量η⎩⎨⎧≤=叫投点失败叫投点成功)(0)(1i i i i i x f y ifx f y if η经过大量的相互统计独立的随机投点试验，则根据统计理论中的中心极限定律：∑=∞→==Ni i N N 121l i m ηηθ 样本的标准差，就是积分值θ2的统计无偏估计。