图像法解决直线运动问题 (基础)

图像法解决直线运动问题【学习目标】1、掌握x-t、v -t图象的特点并理解其意义2、会应用x-t图象和v -t图象解决质点运动的有关问题【要点梳理】要点一、x-t图象1、图象的物理意义在x-t图象中，横坐标表示从计时开始的各个时刻，纵坐标表示从计时开始的任一时刻的位置，即从运动开始的这一段时时间内，物体相对于参考点的位移，整个图象反映了物体的位置随时间的变化规律。

2、匀速直线运动的图像要点诠释：物体做直线运动，如果在任意时刻的速度都相等，即在任意相等的时间内通过的位移都相等，则物体做的是匀速直线运动做匀速直线运动的物体的位移-时间图象是一条倾斜的直线。

如图1：图象上的一个点对应着物体在某时刻的位置。

如图中P点表示在第2s末，物体的位置为距参考点正方向2m，Q点表示在第3s末，物体的位置为距参考点正方向3m。

从图中也可确定物体在任意时间内的位移。

如图中第3s内物体发生的位移为正方向的1m。

图上各点切线斜率k=tanxtα∆=∆表示速度v，即图线的倾斜程度反映物体运动的快慢，其倾斜程度越大，速度越快。

斜率的大小表示做匀速直线运动物体的速度的大小，斜率的正负即为速度的正负。

从图1可知，物体的速度为v=1m/s。

几点说明：(1)物体的x－t图象和物体的运动轨迹不同。

(2)若图象不过原点，有两种情况：①图象在纵轴上截距表示开始计时物体相对于参考点的位移；②图象在横轴上的截距表示物体过一段时间再从参考点出发。

如图2，图线①开始时相对参考点的位移为x0，图线②经过t0才从参考点出发。

(3)两图线相交说明两物体相遇，其交点A的横坐标表示相遇的时刻，纵坐标表示相遇处对参考点的位移。

如图2中，图线①和图线②相交于A 点，表示两物体在t 1时刻相遇，其中x 1表示相遇处对参考点的位移。

(4)图象是倾斜直线表示物体做匀速直线运动，图象是曲线则表示物体做变速运动，如图3中的②、③图线表示物体做匀速直线运动，①表示物体做变速运动。

(5)图象平行于t 轴，即斜率为零，说明物体的速度为零，表示物体静止如图3中④图线；图象斜率为正值，表示物体沿与规定方向相同的方向运动，如图3中图线②；图象斜率为负值，表示物体沿与规定方向相反的方向运动，如图3中图线③。

(6)图象与横轴交叉，表示物体从参考点的一边运动到另一边，如图3中的图线③表示相距参考点x 0一边运动到参考点。

要点二、速度－时间图象（v-t 图象） 要点诠释： 1、图象的物理意义在v-t 图象中，横坐标表示从计时开始的各个时刻，纵坐标表示物体某时刻的速度，整个图象反映了物体的速度随时间的变化规律。

由于t v a ∆∆=，而v-t 图象中的斜率k=tv ∆∆=αtan ，所以αtan =a ，斜率的大小即为加速度的大小，斜率的正负即为加速度的正负。

2、匀速直线运动的v －t 图象匀速直线运动的速度v 是恒定的，不随时间发生变化，所以v －t 图象是一条与横轴平行的直线，如图所示。

图中，A 的速度为正值表示其速度方向与规定的正方向相同，B 的速度为负值，表示它的速度方向与规定的正方向相反。

在比较A 、B 速度的大小时，应该有：A B v v ＜。

3、变速直线运动的v－t图象在变速直线运动中，如果在任意相等的时间内速度的改变都相等，这种运动叫匀变速直线运动，它的v－t图象是一条倾斜直线，如图所示，A表示匀加速直线运动的v－t图象，B表示匀减速直线运动的图象。

4、v－t图象的应用(1)可求出任一时刻的速度。

(2)可求出达到某一速度所需的时间。

(3)可求出某段时间内发生的位移。

运动质点在某段时间t内发生位移的大小是v－t图象与坐标轴及t的始、末时刻线段所围面积的数值，如图：要点三、x-t图象与v-t图象的比较要点诠释：要点四、运用图象时的注意问题要点诠释：1．首先明确所给的图象是什么图象，即认清图中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系。

特别是那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。

2．要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。

（1）点：图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往往对应一个特殊状态。

（2）线：表示研究对象的变化过程和规律，如v t-图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动。

（3）斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应。

用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。

如x t-图象的斜率表示速度大小，v t-图象的斜率表示加速度大小。

（4）面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。

如v t-图象与横轴包围的“面积”大小表示位移大小。

（5）截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。

由此往往能得到一个很有意义的物理量。

【典型例题】类型一、关于位移图象的理解例1、某物体的位移图象如图所示，若规定向东为位移的正方向，试求；物体在OA、AB、BC、CD、DE各阶段的速度。

【思路点拨】要理解位移图像所表示的物理意义。

【解析】物体在t ＝0开始从原点出发向东行做匀速直线运动，历时2s ；接着在第3s ～5s 内静止；第6s 内继续向东做匀速直线运动；在第7s ～8s 内匀速反向西行，至第8s 末回到出发点；在第9s ～12s 内从原点向西行做匀速直线运动。

由x －t 图得各阶段的速度如下： OA 段：1116/3/2===x v m s m s t ，向东 AB 段：物体静止，速度为0 BC 段：333126/6/1-===x v m s m s t ，向东 CD 段：444012/6/2-===-x v m s m s t ，负号说明方向向西 DE 段：55540/1/4--===-x v m s m s t ，向西 【点评】位移图象的斜率表示速度的大小和方向（斜率的正负表示速度的方向）。

图象平行于t 轴，说明物体的速度为零，表示物体静止；图象斜率为正值，表示物体沿与规定方向相同的方向运动；图象斜率为负值，表示物体沿与规定方向相反的方向运动。

举一反三 【变式】如图所示，A 、B 两物体从O 点开始运动，从A 、B 两物体的位移图象可知，下述说法正确的是( ) A 、A 、B 两物体的运动方向相同 B 、A 物体2s 内发生的位移是l0m C 、B 物体发生l0m 的位移的时间是2sD 、A 物体的速度大小是5m/s ，B 的速度大小是2.5m/s【答案】ABD类型二、位移图象描述相遇问题例2、如图所示是做直线运动的甲、乙两物体的x-t图象，下列说法中正确的是（）A、甲启动的时刻比乙早 t1B、当 t = t2时，两物体相遇C、当t = t2时，两物体相距最远D、当t = t3时，两物体相距x1【思路点拨】要理解位移图像所表示的物理意义。

【答案】ABD【解析】由x-t图象可知甲物体是在计时起点从坐标原点x1处开始沿x负方向做匀速直线运动，乙物体是在t1时刻开始从坐标原点沿x正方向做匀速直线运动，两物体在t2时刻相遇，然后远离，t3时刻两物体相距x1，因此选项ABD正确。

【点评】x-t图象中两图线相交说明两物体相遇，其交点A的横坐标表示相遇的时刻，纵坐标表示相遇处对参考点的位移。

举一反三【变式1】如图所示，折线a是表示物体甲从A地向B地运动的位移图线，直线b是表示物体乙从B地向A地运动的位移图线，则下述说法中正确的是( )A、甲、乙两物体是相向运动B、甲物体是匀速运动，速度大小是7.5m/sC、甲、乙两物体运动8s后，在距甲的出发点60m处相遇D、甲在运动中停了4s【答案】ACD【解析】由图象知，甲、乙两物体在开始运动时相距100m，后来距离越来越小，甲向乙的出发点运动，乙向甲的出发点运动，因而它们是相向运动，选项A正确。

两图线相交点表示了甲、乙同一时刻同一位置，即相遇的时刻与位置，故选项C正确。

甲在运动中有一段图线与时间轴平行，这表示甲在4s内位置始终没变，因而是静止的，选项D正确。

甲在全过程中并不是匀速运动，故选项B是错的。

【高清课程：图像法解决直线运动问题14页例6】【变式2】甲乙两物体的速度时间图象如图所示，则A、两物体两次相遇的时刻是2s和6sB、4s后甲在乙前面C、两物体相距最远的时刻是2s末D、乙物体先向前运动2s，随后向后运动【答案】A类型三、关于速度图象的理解例3、某物体运动的速度图象如图所示，由图可知（）A、前5s内的平均速度为8.4m/sB、前8s内的位移为84mC、物体在运动过程中运动了5sD、全程的位移为零【思路点拨】要理解速度图像所表示的物理意义。

【答案】A【解析】由图象可知：物体在前3s 做初速度为零的匀加速直线运动；3s ～8s 做速度为12m/s 的匀速直线运动；最后2s 做匀减速直线运动，在运动过程中没有静止，运动了10s ，所以C 不对。

物体前5s 的平均速度等于前5s 内的速度图线和t 轴所围起梯形的面积与时间之比：1(52)1228.4m /s 5⨯+⨯==8.4m/s ，故A 正确。

物体前8s 的位移可由梯形面积，求得为78m ，全程位移为整个梯形面积，不为零，因此B 、D 选项不对，应选A 。

【点评】在v-t 图象中，平行于时间轴的直线表示匀速直线运动；和时间轴重合的直线表示静止；倾斜的直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动。

速度图象和时间轴所围成的面积表示位移的大小，且t 轴上方取正值，t 轴下方取负值，总位移为其代数和。

举一反三【变式1】一物体自t=0时开始做直线运动，其速度图线如图所示。

下列选项正确的是 （ ）A 、在0～6s 内，物体离出发点最远为30mB 、在0～6s 内，物体经过的路程为40mC 、在0～4s 内，物体的平均速率为7．5m/sD 、在5～6s 内，物体所受的合外力做负功 【答案】BC【解析】对A ，0—5s,物体向正向运动，5—6s 向负向运动，故5s 末离出发点最远，A 错；对B ，由面积法求出0—5s 的位移s １=35m, 5—6s 的位移s ２=-5m,总路程为40m,B 对 ； 对C ，由面积法求出0—4s 的位移s=30m ，平度速度为v=s/t=7.5m/s ，C 对； 对D ，由图像知5～6s 过程物体加速，合力和位移同向，合力做正功，D 错。

【高清课程：图像法解决直线运动问题 9页例4】【变式2】如图所示是某汽车的速度图像。

由图像可知，在0-4秒内汽车做 运动，平均速度是 m/s 。

4—7s 内汽车做 运动，平均速度是 m/s 。

7—10s 内汽车做 运动，平均速度是 m/s 。

【答案】匀加速直线 1.25 匀速直线 2 匀减速直线 1类型四、关于位移与速度图象的区别例4、如图中的甲、乙分别表示位移图象和速度图象，试比较两形状完全相同图象的物理意义。