等比数列的前n项和说课课件
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和公式说课课件-标版
变式练习：
1 ,1 ,1 , 1 ,前多少项的和是 63 ? 1、 等比数列 2 4 8 16 64
2、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , , 求第5项到第10项的和. 2 4 8 16
设计意图:
• 选用公式
• 变用公式
• 理解内化
（六）循序渐进、延伸拓展
例2：求和 1+a+a +a ++a .
《等比数列的前n项和公式》
湖北省黄石第四中学 唐永红
一、教材分析
教材地位、作用 教学目标 教学重点、难点
教材地位与作用
• 《等比数列的前n项和》，是在学生学习了等差数 列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n 项和公式的基础上进行的。是进一步学习数列知 识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储 蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过 程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换 和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中 必备的数学素养．
为什么？
等比数列的求和公式
一般地，设有等比数列： a1 , a2 , a3 ,
an
Sn a1 a2 a3 an1 an qSn a2 a3 a4 an1 an an q
1 qSn a1 anq
a1 a1q a1q 2 a 1 q 3 a1q n 2 a1q n 1 Sn
a1 a a a2 2 1 b1 b2 b1 b2
n为奇数，q为 1 时不适用
Sn a a q
na1
1 n
q 1
1 q
q 1
设计意图 ：
• 自主探究，体验成就
等比数列及其前n项和课件
③当 aq110, 时，{an}为_常__数列； ④当q<0时，{an}为摆动数列.
3．等比数列及前n项和的性质
(1)若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则 am.an=ap·aq=ak2;
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，… 仍是等比数列.
“等差数列”与“等比数列”
一
等差数列的首项和公差可以为零，且等差中项唯
个 一；而等比数列首项和公比均不为零，等比中项可以
区 有两个值．如(1)的错因是“常数”，应为“同一非零常 别 数”；(2)中，若 b2＝ac，则不能推出 a，b，c 成等比
数列，因为 a，b，c 为 0 时，不成立．
一是在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须
所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，
S
n＝1＋3＋…＋(2n
－1)＝n
（a1＋an 2
）
＝n（1＋2n－1）＝n2. 2
所以 a4＝7，S4＝16. 因为 q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即 q2－8q＋16＝0， 所以(q－4)2＝0，从而 q＝4. 又因为 b1＝2，{bn}是公比 q＝4 的等比数列， 所以 bn ＝b1qn －1＝2·4n－1＝22n－1. 从而{bn}的前 n 项和 Tn＝b1（11－－qqn）＝23(4n－1)．
则 xyz 的值为( Ｃ )．A．－3 B．±3 C．－3 3 D．±3 3
(2)(2014·昆明模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝ 2－1，
a5＝ 2＋1，则 a23＋2a2a6＋a3a7＝( Ｃ )．
A．4 B．6 C．8 D．8－4 2
解（1）
等比数列的前n项和说课课件
品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证
唯物主义观点．培养学生勇于探索、创新的精神。
设计意图： ： 体现了数学教学的首要环节----基础知识的落实、 、 基本技能的形成，数学教学的最终目的 -----通过思想方法的渗 透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展．
一. 教材分析（3）
（三）.重点和难点
1 S n =a1q-1+ a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2 q
q2Sn= a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn+a1qn+1
(4)
(1)–(2)
(1) –(3)
(1) –(4)
效果如何 有何启发
四.教学过程（9）
第三环节：发散思维
第二方面 :集思广益
设计意图：①更加有趣又贴近生活
②蕴涵公比分别为ｑ＝１与q ≠1两个等比数列， 开门见山，体现分类讨论思想,直击学生易错点
四.教学过程（3）
第一环节 创设情境、提出问题（2）
（二）、数学建模(应用问题数学化) {an}：100 ，100 ，100……100 q=1 {bn}： 1 ， 2 ， 22 …… 229 q=2 S30 = 100+100+……+100 与 T30 = 1+2+ 22 +…… +229 比较大小 ，求和问题如何化简？ （三）、给出课题：等比数列的前n项和（具体问题一般化） 等比数列{an} 当 q=1时 ，Sn= a1+a2+a3+……+an-1+an= na1 当 q≠1时，Sn= a1+a2+a3+……+an-1+an =？如何化简？
等比数列前n项和说课课件
Page 8
教材分析
学情分析
教学目站标长素材 S教C法.C分HIN析AZ.CO学M法分析 教学过程
六.教学过程
情境引入
探究新知
巩固练习
归纳小结
Page 9
布置作业
教材分析 学情分析
教学目标站长素教材法SC分.C析HINAZ.学CO法M分析 教学过程
1、引入情境
国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他 想要什么，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦子，第2个格 子里放上2颗麦子，第3个格子里放上4颗麦子，以此类推，每个格子里放 的麦粒数都是前一个格子的2倍，直到第64个格子，请给我足够的麦粒以 实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了，假定千粒麦子 的质量为40克，据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据上述数据， 判断国王能否实现他的诺言。
设计意图:层层递进，从特殊到一般，提高学生
的模仿能力、归纳能力
Page 13
教材分析 学情分析
教学目标站长素教材法SC分.C析HINAZ.学CO法M分析 教学过程
Sna1(1 1 q qn)或a 者 1 1 a qnq(q1)
Snna1(q1)
让学生自己通过公式解决引例中的问题，并告知以后凡是等比数列的求 和都能够运用公式。
设计意图:利用学生的好奇心，调动学生的学
习积极性，也增加趣味性。并且一个实际的例 子让学生利用已有的知识与经验，同化和索引 出当前的新知识。并且问题的内容紧扣本节的 主题与重点。
Page 10
教材分析 学情分析
教学目标站长素教材法SC分.C析HINAZ.学CO法M分析 教学过程
2.探求新知
让学生S6计 41 算 22223263的结果，并给 定与学 的思考，同时 用提 已示 有学 的生 知识 列（ 的等 求差 和数 ）考
数列等比数列及其前n项和课件文ppt
构成要素
通常用符号“{ a_n }”或“a_n”表示。
表示方法
有穷数列和无穷数列
递增数列、递减数列和常数列
等差数列和等比数列
数列的分类
数列的应用
描述数量变化规律
解决实际问题
数学分析、统计学等领域
02
等比数列的定义及性质
等比数列的定义
数学符号表示
等比数列的首项和公比
等比数列的定义
当公比q>1时，数列为递增数列；当0<q<1时，数列为递减数列
前n项和公式的证明
实际应用：等比数列的前n项和公式在实际生活中有广泛的应用。例如，在投资理财中，如果将本金按照一定的年利率进行复利计算，就可以使用等比数列的前n项和公式来计算未来的本金和利息之和。
前n项和公式的应用
04
等比数列的前n项和的实际应用
简单利息
等比数列可以用来计算简单利息，即只考虑本金和利率的情况下，利息随时间线性增长。
等比数列与指数函数的联系
等比数列的通项公式和求和公式与指数函数有密切的联系，可以帮助我们更好地理解指数函数的性质和应用。
等比数列与三角函数的联系
等比数列的项数公式和求和公式与三角函数有一定的联系，可以帮助我们更好地理解三角函数的性质和应用。
与其他数学知识的交叉应用
THANKS
感谢观看
等比数列在金融领域的应用
01
等比数列可以用于计算复利、折旧等金融问题，帮助我们更好地理解金融市场的运行规律。
拓展应用介绍
等比数列在物理领域的应用
02
等比数列可以用于描述指数衰变、放射性衰变等物理现象，帮助我们更好地理解自然界中的规律。
等比数列在计算机领域的应用
03
等比数列可以用于计算机算法设计、数据结构等方面，提高计算机程序的效率和性能。
通常用符号“{ a_n }”或“a_n”表示。
表示方法
有穷数列和无穷数列
递增数列、递减数列和常数列
等差数列和等比数列
数列的分类
数列的应用
描述数量变化规律
解决实际问题
数学分析、统计学等领域
02
等比数列的定义及性质
等比数列的定义
数学符号表示
等比数列的首项和公比
等比数列的定义
当公比q>1时，数列为递增数列；当0<q<1时，数列为递减数列
前n项和公式的证明
实际应用：等比数列的前n项和公式在实际生活中有广泛的应用。例如，在投资理财中，如果将本金按照一定的年利率进行复利计算，就可以使用等比数列的前n项和公式来计算未来的本金和利息之和。
前n项和公式的应用
04
等比数列的前n项和的实际应用
简单利息
等比数列可以用来计算简单利息，即只考虑本金和利率的情况下，利息随时间线性增长。
等比数列与指数函数的联系
等比数列的通项公式和求和公式与指数函数有密切的联系，可以帮助我们更好地理解指数函数的性质和应用。
等比数列与三角函数的联系
等比数列的项数公式和求和公式与三角函数有一定的联系，可以帮助我们更好地理解三角函数的性质和应用。
与其他数学知识的交叉应用
THANKS
感谢观看
等比数列在金融领域的应用
01
等比数列可以用于计算复利、折旧等金融问题，帮助我们更好地理解金融市场的运行规律。
拓展应用介绍
等比数列在物理领域的应用
02
等比数列可以用于描述指数衰变、放射性衰变等物理现象，帮助我们更好地理解自然界中的规律。
等比数列在计算机领域的应用
03
等比数列可以用于计算机算法设计、数据结构等方面，提高计算机程序的效率和性能。
等比数列前n项和说课课件
例1：已知等比数列{a n }，首项为a1，公比为q,Sn为前n项和
(1)若a 2
2, a5
16,
求S 5
（2）若a 1
an
66, a3an2
128,
S
n =126,求q, n
(3)若a1 1, S6 4S3, 求a4
变式练习：求和：x+x2 ... xn
解：Sn x x2 … xn. x 0时，Sn 0 ;
Sn= a1 + a2 + a3 +… + an-2 + an-1 + an Sn= an + an-1+ an-2 +… + a3 + a2 + a1
a1 an a2 an1 a3 an2 ......
算 法
两式相加得: 2Sn = (a1+an )×n
：
倒
S n(a a ) 1
n
思考：两式相加行吗？ 两式相减呢？
由 ① － ②得: – S64= 1 – 264
即 S64= 264 – 1. （错位相减法）
问题2：Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
=?
解：
Sn
1 2
1 22
1 23
1 2n
①
1 2
Sn
1 22
1 23
1 2n
1 2n1
②
由 ① － ②得:
1 11 2 Sn 2 2n1
课后作业，分层练习
必做：教材的练习第1,2题 补充：求和：
=
课后思考： 已知等差数列{an},Sn为其前n项和
则Sk ,S2k -Sk ,S3k -S2k (k N)成等差数列 你能否以类比的方法探究：已知等比数列 {an},Sn为其前n项和
第6章第3节等比数列及其前n项和课件共66张PPT
等比数列基本量的运算 等比数列的判定与证明 等比数列性质的应用
第三节 等比数列及其前n项和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
考点一 等比数列基本量的运算 等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q， n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
∴{an＋bn}是首项为32，公比为34的等比数列，
两式相减，得an＋1－bn＋1＝14(an－bn)． 又∵a1－b1＝12≠0，
∴{an－bn}是首项为12，公比为14的等比数列．
第三节 等比数列及其前n项和
1
2
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4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
(2)由(1)得，an＋bn＝3234n－1，①
a11－qn
2142＝2，所以q＝2，所以Sann＝
1－q a1qn－1
＝22n－n－11＝2－21－n，故选B.]
第三节 等比数列及其前n项和
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. [解] (1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，
第三节 等比数列及其前n项和
1
2
3
4
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 数学文化 课后限时集训
2．在等比数列{an}中，a3＝32，S3＝92，则a2的值为(
等比数列前n项和 说课ppt
三
教学目标
知识与技 能
目标
过程与方 法
情感态度 与价值观
知识与技能
理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程 、公式的特点，在此基 础上，并能初步应用公 式解决与之有关的问题 。
过程与方法
通过对公式推导方法的 探索与发现，向学生渗 透特殊到一般、类比与 转化、分类讨论等数学 思想。
情感态度与价值观
3.得出结论
* 引出求等比数列前n项和的方法——错位相减 法：等式左右各项乘以公比q，两式相减去掉相 同项，得求和公式 。
*
Sn = ɑ1+ ɑ1q+ɑ1q2+...+ɑ1qn-1 qSn = ɑ1q+ɑ1q2+...+ɑ1qn-1 +ɑ1qn ③-④ ， (1-q)Sn=ɑ1-ɑ1qn
a1 (1 q n ) S n= （q≠1） 1 q
(三)实践应用
练习: 1.在等比数列{an}中， 1 (1)已知a1=-4,q=2 ,求S10。 (2)已知a1=1，ak=243，q=3，求Sk。 2.某制糖厂第一年制糖5万吨，如果平均每年的产 量比上一年增加10 %，那么从第一年起，约几年 内能使总产量达到30万吨（保留到万位）？
设计意图：第一题是对求和公式的直接运 用，第二题是对求和公式的实际运用，在 与实际生活息息相关的利率付款问题中， 既考察学生把实际问题建立成数学模型的 能力，也检验了学生对求和公式的掌握情 况。练习的设计由易到难，由理论到实际 ，符合学生认知规律。
通过对公式推导方法的 探索与发现，优化学生 的思维品质，渗透事物 之间等价转化和理论联 系实际的辩证唯物主义 观点。
四
教学重难点
教学重点：等比数列前n项和公式的推导、 公式的特点和公式的运用。
等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
等比数列的前n项和(1)ppt课件
1
等比数列的定义:
an1 an
q
(q 0)
等比数列通项公式 : an a1qn1 (a1 0, q 0)
或an am qnm
等比数列的性质 : 若an是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N)
则有am an ap aq
2
国王能否满足发明者的要求？
各个格子里的麦粒数依次 是
8
例题：
例1、求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 16 1
(2) a1 27 , a9 243 , q 0
9
课堂练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应
等比数列 an的前n项和 Sn
( 1 ) a1 3, q 2, n 6
(2)
a1
8,
(1)- (2)得 (1 x)Sn 1 x x2 xn1 nxn
(1
x)Sn
1 (1 xn ) 1 x
nxn
又x
1, 所以
Sn
1 (1
xn x)2
nxn 1 x
14
错位相减法实际上是把一个数列求 和问题转化为等比数列求和的问题.
练习、求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n. 2n
12
例2.某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总 销售量达到30000台(保留到各位)?
解: 根据题意,每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 ,
所以从第一年起 ,每年的销售量组成一个 等比数列an,
a1 5000 q 110 % 1.1 Sn 30000
等比数列的定义:
an1 an
q
(q 0)
等比数列通项公式 : an a1qn1 (a1 0, q 0)
或an am qnm
等比数列的性质 : 若an是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N)
则有am an ap aq
2
国王能否满足发明者的要求？
各个格子里的麦粒数依次 是
8
例题：
例1、求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 16 1
(2) a1 27 , a9 243 , q 0
9
课堂练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应
等比数列 an的前n项和 Sn
( 1 ) a1 3, q 2, n 6
(2)
a1
8,
(1)- (2)得 (1 x)Sn 1 x x2 xn1 nxn
(1
x)Sn
1 (1 xn ) 1 x
nxn
又x
1, 所以
Sn
1 (1
xn x)2
nxn 1 x
14
错位相减法实际上是把一个数列求 和问题转化为等比数列求和的问题.
练习、求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n. 2n
12
例2.某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总 销售量达到30000台(保留到各位)?
解: 根据题意,每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 ,
所以从第一年起 ,每年的销售量组成一个 等比数列an,
a1 5000 q 110 % 1.1 Sn 30000
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
( 1) (1 q )
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
等比数列前项和说课 PPT
设计意图:不仅锻炼学生得文学思维,更就是对 数学公式得一个很好得掌握方式。因为学生只 有把已知条件弄清楚,公式中得各个变量弄清楚, 才有可能把诗歌完整得改编与求解。
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
巩固练习
1.求等比数列
1 2
,1 4
,1 8
,116 ，的前n项和
2.求数列
这就回到了数列得本质上,紧紧围绕着等比数列这个中心。
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
改动数字,让学生模仿数学方法,加深这种思维得理解
Sn 1 2 22 23 2n
Sn 1 5 52 53 5n
最后引出公比为q得等比数列得求与
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1
让学生计算S64 1 2 22 23 263的结果，并给与学生一定 的思考，同时提示学生用已有的知识（等差数列的求和）考虑
设计意图:引导学生用已有得知识进行解题,这本身就就是一
种数学思维。当学生发现行不通得时候就为我得下一步得引入 奠定基础。
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
小结本堂课内容,从两个方面 1、本节课掌握了什么内容 2、当我们碰到未知得问题怎么办
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
重点: 等比数列前n项与公式及其应 难点: 等比数列前n项与公式推导得思路
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
二、学情分析
学生在这节课之前已经学过了数列得定义,等差 数列及其前n项与、等比数列得知识,对等比数列得 前n项与已经有初步得求知欲望与准备。
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
巩固练习
1.求等比数列
1 2
,1 4
,1 8
,116 ，的前n项和
2.求数列
这就回到了数列得本质上,紧紧围绕着等比数列这个中心。
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
改动数字,让学生模仿数学方法,加深这种思维得理解
Sn 1 2 22 23 2n
Sn 1 5 52 53 5n
最后引出公比为q得等比数列得求与
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1
让学生计算S64 1 2 22 23 263的结果，并给与学生一定 的思考，同时提示学生用已有的知识（等差数列的求和）考虑
设计意图:引导学生用已有得知识进行解题,这本身就就是一
种数学思维。当学生发现行不通得时候就为我得下一步得引入 奠定基础。
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
小结本堂课内容,从两个方面 1、本节课掌握了什么内容 2、当我们碰到未知得问题怎么办
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
重点: 等比数列前n项与公式及其应 难点: 等比数列前n项与公式推导得思路
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
二、学情分析
学生在这节课之前已经学过了数列得定义,等差 数列及其前n项与、等比数列得知识,对等比数列得 前n项与已经有初步得求知欲望与准备。
教材分析 学情分析 教学目标 教法分析 学法分析 教学过程
《等比数列的前n项和》精品说课课件
❖ 过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建 模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式 探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、 分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．
❖ 情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的 求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨 练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、 结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．
【教师提问】
(1)假如你是高老庄集团企划部的高参，请你 帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天 后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多 少钱？
(2) S30 1 2 22 23 229
(观察数字特征，引是什么数列？有何特征？应
归结为什么数学问题呢？
v 探讨1：s30 1 2 22 23 229
❖ 教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容 授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比 数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公 式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联
三、教学目标分析
❖ 依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定 本节课的教学目标如下：
❖ 知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导 方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决 一些简单问题．
位相减法等→转化、方程思想； ❖ （三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力
→灵活运用能力及严谨态度.
❖ 难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水 平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有 待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的 推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比 性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概 念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生 来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到， 对学生来说是个新鲜事物.
❖ 情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的 求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨 练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、 结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．
【教师提问】
(1)假如你是高老庄集团企划部的高参，请你 帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天 后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多 少钱？
(2) S30 1 2 22 23 229
(观察数字特征，引是什么数列？有何特征？应
归结为什么数学问题呢？
v 探讨1：s30 1 2 22 23 229
❖ 教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容 授课时间2课时，本节课作为第一课时，重在研究等比 数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公 式的形成推导过程并充分揭示公式的结构特征和内在联
三、教学目标分析
❖ 依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定 本节课的教学目标如下：
❖ 知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导 方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决 一些简单问题．
位相减法等→转化、方程思想； ❖ （三）能力线：观察能力→数学思想解决问题能力
→灵活运用能力及严谨态度.
❖ 难点：等比数列的前n项和公式的推导．从学生认知水 平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有 待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的 推导方法和等差数列的的前n项和公式的推导方法可比 性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的概 念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生 来说恰又是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到， 对学生来说是个新鲜事物.
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S64 264 1
2S
2 4 8 ... 2 2 .
② － ①，得
(这样可以使学生对此类求和,有一个很浅的意识,为下面的公式的 推导起到一些铺垫的作用.)
设计说明
通过实例创设情境 ，调动学生学 习积极性。 通过特殊式子求和，为公式的推导 做好铺垫。
探索发现
设等比数列 它的前n项和是 即S n
教学目标及重、难点的确定
本课题是高一上的内容，教学对象是高一学生。现有的知识 结构有已学习的函数的有关知识、本节前面的数列的概念、等 差数列的定义、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念和通 项公式等。因而学生学习本节知识有一定的基础。从学生的思维 特点看，很容易把本节的等比数列前n项和的公式与已学过的等 差数列前n项和公式，从公式的形成、公式的特点等方面进行类 比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节的“错位 相减求和法”，与等差数列前n项和公式的推导方法有着本质的 不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊 情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出 错。在公式的推导过程中，这也是一个不利因素。鉴于上述因 素，确定教学目标及重、难点如下：
教学重点、难点
•等比数列前n项和公式是重点。 •获得等比数列前n项和公式推导的思路是难点。
二、教法分析
教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、公式应 用阶段。 探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介 绍“错位相减法”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳 出来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫， 从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。 应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式， 可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“公式 简单的综合应用”两个层次来促进学生新的认知结构的形成。
问题呈现
棋盘与麦粒
国际象棋起源于古代印度 , 棋盘 有 8 行 8 列 , 关于国际象棋有这么一个 传说.国王要奖赏国际象棋的发明者, 问他有什么要求 , 发明者说 :“ 请在棋 盘的第１个格子里放１颗麦粒，在第 ２个格子里放２颗麦粒，在第３格子 里放４颗麦粒，在第４格子里放８颗 麦粒，依此类推，每个格子里放的都 是前一个格子里放的麦粒数的２倍直 到第 64 个格子 . 请给我足够的粮食来 完成上述要求”.国王觉得不难办到. 就欣然同意了! 你认为国王能满足发明者的要 求吗?
探索发现
三、学法分析
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知 识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中， 让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、 操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理 解数学知识，学会学习，发展能力。
四、教学过程
•问题呈现阶段 •探索发现阶段 •公式应用阶段
a1 1 q Sn 1 q
由此得q≠1时，
nຫໍສະໝຸດ 探索发现当q≠1时，
a1 1 q n Sn 1 q
∵
∴
a1q n a1q n1 q an q,
a1 an q Sn 1 q
显然，当q=1时，
Sn na1
说明：这种求和方法称为错位相减求和法
等比数列的前n项和 （第一课时）
钟祥市胡集高中 高兵
等比数列的前n项和
一 教材分析
二
三 四
教法分析
学法分析 教学过程分析
一、教材分析
•教材内容、地位及作用 •教学目标及重、难点的确定 •教学目标 •教学重点、难点
教材内容、地位及作用
数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模 型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要 研究数列。 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。 本节课的教学内容是等比数列前n项和公式的推导及其简 单应用。 在推导等比数列前n项和公式的过程中，采用了错位 相减求和，不仅得出了等比数列前n项和公式，也是一种 常用的数学思想方法是进一步学习数列知识和解决一类求 和问题的重要基础和有力工具。
问题２等比数列的前n项和
a1 , a2 , a3 ...an ...
S n a1 a2 a3 ... an
2 n 2
a1 a1q a1q ... a1q
a1q
n1
.
⑴
⑴×q, 得
qSn
⑴－⑵，得
a1q a1q 2 ... a1q n2 a1q n1 a1q n . ⑵ n 1 q Sn a1 a1q ,
2S64 2 4 8 16 ... 2 2 .
63 64
探索发现
问题1：求以1为首项,2为公比的等比数列的前 64项的和
(将前面两式放在一起，进行比较学生就很容易发现错位的数均相等， 可以想到两式相减可能会得到想要的结果.) ① 63 64 63 64 ② 64
S
1 2 4 8 ... 2 ,
教学目标
① 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公 式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问 题。 ② 通过“错位相减求和法”的使用和例题的分析，培 养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力。
③ 通过规范的解题步骤，培养学生一丝不苟的严谨态 度，通过由浅入深的练习，培养学生积极参与的主动精神
设计说明
•源于历史，富有人文气息. •图中算数，激发学习兴趣.
探索发现
由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子的麦粒的2 倍.且共有64个格子.各个格子的麦粒数依次是:
1,2,2 ,2 ,...,2 ,
学生不难分析出发明者要求的麦粒总数就是以1为首 项,2为公比的等比数列的前64项的和
2
3
63
1 2 2 2 ... 2
2 3
62
2 .
63
探索发现
问题1：求以1为首项,2为公比的等比数列的 62 63 S64 1 2 4 8 ... 2 2 . 前64项的和
然后引导学生观察上式的特点，采用 适当的方法求和，学生可能很快采用 “倒序相加” 求和，通过尝试，显然无 法求和．若此时两边同乘公比２，得
2S
2 4 8 ... 2 2 .
② － ①，得
(这样可以使学生对此类求和,有一个很浅的意识,为下面的公式的 推导起到一些铺垫的作用.)
设计说明
通过实例创设情境 ，调动学生学 习积极性。 通过特殊式子求和，为公式的推导 做好铺垫。
探索发现
设等比数列 它的前n项和是 即S n
教学目标及重、难点的确定
本课题是高一上的内容，教学对象是高一学生。现有的知识 结构有已学习的函数的有关知识、本节前面的数列的概念、等 差数列的定义、通项公式及前n项和公式、等比数列的概念和通 项公式等。因而学生学习本节知识有一定的基础。从学生的思维 特点看，很容易把本节的等比数列前n项和的公式与已学过的等 差数列前n项和公式，从公式的形成、公式的特点等方面进行类 比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节的“错位 相减求和法”，与等差数列前n项和公式的推导方法有着本质的 不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊 情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出 错。在公式的推导过程中，这也是一个不利因素。鉴于上述因 素，确定教学目标及重、难点如下：
教学重点、难点
•等比数列前n项和公式是重点。 •获得等比数列前n项和公式推导的思路是难点。
二、教法分析
教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、公式应 用阶段。 探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介 绍“错位相减法”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳 出来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫， 从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。 应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式， 可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“公式 简单的综合应用”两个层次来促进学生新的认知结构的形成。
问题呈现
棋盘与麦粒
国际象棋起源于古代印度 , 棋盘 有 8 行 8 列 , 关于国际象棋有这么一个 传说.国王要奖赏国际象棋的发明者, 问他有什么要求 , 发明者说 :“ 请在棋 盘的第１个格子里放１颗麦粒，在第 ２个格子里放２颗麦粒，在第３格子 里放４颗麦粒，在第４格子里放８颗 麦粒，依此类推，每个格子里放的都 是前一个格子里放的麦粒数的２倍直 到第 64 个格子 . 请给我足够的粮食来 完成上述要求”.国王觉得不难办到. 就欣然同意了! 你认为国王能满足发明者的要 求吗?
探索发现
三、学法分析
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知 识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中， 让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、 操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理 解数学知识，学会学习，发展能力。
四、教学过程
•问题呈现阶段 •探索发现阶段 •公式应用阶段
a1 1 q Sn 1 q
由此得q≠1时，
nຫໍສະໝຸດ 探索发现当q≠1时，
a1 1 q n Sn 1 q
∵
∴
a1q n a1q n1 q an q,
a1 an q Sn 1 q
显然，当q=1时，
Sn na1
说明：这种求和方法称为错位相减求和法
等比数列的前n项和 （第一课时）
钟祥市胡集高中 高兵
等比数列的前n项和
一 教材分析
二
三 四
教法分析
学法分析 教学过程分析
一、教材分析
•教材内容、地位及作用 •教学目标及重、难点的确定 •教学目标 •教学重点、难点
教材内容、地位及作用
数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模 型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要 研究数列。 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。 本节课的教学内容是等比数列前n项和公式的推导及其简 单应用。 在推导等比数列前n项和公式的过程中，采用了错位 相减求和，不仅得出了等比数列前n项和公式，也是一种 常用的数学思想方法是进一步学习数列知识和解决一类求 和问题的重要基础和有力工具。
问题２等比数列的前n项和
a1 , a2 , a3 ...an ...
S n a1 a2 a3 ... an
2 n 2
a1 a1q a1q ... a1q
a1q
n1
.
⑴
⑴×q, 得
qSn
⑴－⑵，得
a1q a1q 2 ... a1q n2 a1q n1 a1q n . ⑵ n 1 q Sn a1 a1q ,
2S64 2 4 8 16 ... 2 2 .
63 64
探索发现
问题1：求以1为首项,2为公比的等比数列的前 64项的和
(将前面两式放在一起，进行比较学生就很容易发现错位的数均相等， 可以想到两式相减可能会得到想要的结果.) ① 63 64 63 64 ② 64
S
1 2 4 8 ... 2 ,
教学目标
① 理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公 式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问 题。 ② 通过“错位相减求和法”的使用和例题的分析，培 养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力。
③ 通过规范的解题步骤，培养学生一丝不苟的严谨态 度，通过由浅入深的练习，培养学生积极参与的主动精神
设计说明
•源于历史，富有人文气息. •图中算数，激发学习兴趣.
探索发现
由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子的麦粒的2 倍.且共有64个格子.各个格子的麦粒数依次是:
1,2,2 ,2 ,...,2 ,
学生不难分析出发明者要求的麦粒总数就是以1为首 项,2为公比的等比数列的前64项的和
2
3
63
1 2 2 2 ... 2
2 3
62
2 .
63
探索发现
问题1：求以1为首项,2为公比的等比数列的 62 63 S64 1 2 4 8 ... 2 2 . 前64项的和
然后引导学生观察上式的特点，采用 适当的方法求和，学生可能很快采用 “倒序相加” 求和，通过尝试，显然无 法求和．若此时两边同乘公比２，得