三等分角问题

三等分角问题
一、研究动机：
古代数学几何作图有三大难题，一是化圆为方，一是倍立方体，另一个则是三等
分角，其中又以三等分角看起来最为容易。

可是这三大难题难倒了数学家好几个世纪，
现代数学证明了用几何原本所规定的标尺作图法，是无法解出这三道难题，但是如果
不限于标尺作图的话，是否可以把这三道问题解决呢？于是便开始了我们的研究路
程。

二、研究目的：
在这三道问题中，我们选择三等分角来进行研究。

三等分角顾名思义是把一个任
意角分成三个相等的角，虽然有些特殊角很容易，比如直角，但其他的角度就无法适
用。

现在我们利用所有可以采用的工具来作图，以便把我们想要的角分成三个等分，
其中包括我们常用可以量刻度的直尺和圆规。

三、研究设备器材：
直尺、圆规、三角板、木板、雕刻刀
四、研究过程或方法：
我们分三个方向来进行：
1.拜近来科技的发达，透过因特网，寻找所有别人已经发
现三等分角的方法，再重新整理一遍。

2.利用学校及附近的图书馆，找寻有关于三等分角的几何书
籍，以资参考。

3.将国中所教到的几何观念以及所找到的数据，做出三等分
角的方法。

最后将所有找到以及做出的八种方法详细整理与证明。

五、研究结果：
这次研究总共找出了八种将一个角分成三分之一的方法，兹将这八种方法详列如
后：
∫是任意數
1.标度尺(一)
在一根直尺上，标出P、R两点，两点间距离是2∫，在∠AOB的一边上截取一点B，使OB =2∫，再从OB的中点C做两条直线，一线垂直OA，另一线则平行OA，移动尺使
O 点在尺的边上，而P 、R 两点分别在所做的垂直及并行线上，沿着尺画线，就可把角AOB 三
等分。

证明:
以M 表PR 的中点，则
∵∠PCR 为直角 ∴OC MC MR PM ====∫ ∵CR 平行OA
∴∠AOR =∠MRC = ∠MCR = 2
1∠PMC
=
2
1∠MOC
∴∠AOR =3
1
∠AOB
2.标度尺(二)
做一半圆，圆心O ，A 、B 在圆周上，使得∠AOB 为圆心角，在直尺上标记P 、R 两点，距离与半径等长，现移动直尺，让P 、R 分别落在BO 及圆周上，而A 在直尺边上，则 ∠RPO =31
∠AOB
证明：
A B
O
C P
R
M
B
A
P
R
O
∠RPO = ∠ROP =
2
1∠ARO =
2
1∠RAO
又∠AOB = ∠RAO + ∠RPO ∴ ∠RPO =31
∠AOB
3.三连器
利用上面的方法可做出种简单的三等分角的工具，如下图：OE 、OF 、CD 代表三根木条，OE = OF ，F 可沿着CD 中的沟槽移动。

使用时，把O 对准所要分的角的顶点，移动F 使得OF 落在OB 上，C 点落在AO 上，则 ∠OCF = 31
∠AOB
4.伸缩尺
伸缩尺是由两长两短的四根木条连成一个菱形。

以角O 为圆心,菱形边长为半径,画出一圆,把角顶放在圆心,伸缩R 、S 使两长木条通过A 、B 。

∵ ∠APO = 31
∠AOT,
而且 ∠BPO = 3
1
∠BOT
∴ ∠APB = 3
1∠AOB
B
A
O
C
E
F
5. 曲尺:
两边宽度相同皆为k 的L 型曲尺,也可作为三等分角的工具，其中底长是宽度的两倍。

使用时先画一条与OB 平行的线CD ，且与OB 的距离为k ，接下来移动尺，让O 在一股的内边上，一个顶点P 在OA 上，另一个顶点R 在CD 上，若PR 的中点为T ，则∠AOT 即为所求之三等分角。

证明:
由R 做线垂直于OB 交OB 于K , 则 △POT △ROT ( SAS )
B
A
P
T
B
A
O
D
C
P R
T k
k
k
2k
△ROT ≅ △ROK ( 斜股 ) ∴∠POT = ∠TOR = ∠ROB = 31
∠AOB
6. 斧形器:
如图中所示,一半圆的半径为r ， 圆心E ，将其直径接到丁字尺的一边,另一边取C 点，使得 ET EF DE CD ===。

使用时,使角顶O 点于DG 上, C 点于角的一边,并让半圆与另一边相切于T 点，
∵ △COD ≅ △EOD ≅ △EOT ∴ ∠COD = ∠DOE = ∠EOT = 31
∠AOB
7. 三等分角器:
由下图所示，由八根木条连结而成的工具就是三等分角器，其中
DG FO = ，CE OD FG == ，JK OC DE == ，JC OK = FO FG DE OK 842===
使用时,只需将三等分角器收张,使角AOB 和另外两角相符,则OH 及OI 这两条直线,即可分成三等分角线。

B
A
O F
E
D
C
T
B
A
H
I
证明:
由SSS 定理知 △OFG ≅ △GDO ,
故 ∠F =∠D , ∠FGO =∠DOG . 同理, ∠DEO =∠COE .
∵ OF/FG = 1/2 , OD/DE = FG/DE = 1/2 , 故 OF/FG = OD/DE
又∵∠F = ∠D , 故由 SAS 相似定理 , 得 △OFG ~△ODE 由此得 ∠FOG =∠DOE 而 ∠FOG －∠DOG = ∠DOE －∠DOG 故得
∠FOD = ∠GOE……………………( 1 ) 又 ∠DOG =∠FGO =∠DEO =∠COE 而 ∠DOG ＋∠GOC = ∠COE ＋∠GOC 故得
∠DOC =∠GOE………………..( 2 ) 由 ( 1 ) , ( 2 ) 得 ∠FOD = ∠DOC 同理可证 ∠DOC = ∠COK
所以不论怎样伸缩，恒有∠FOD = ∠DOC = ∠COK = 31
∠AOB
8.折扇形三等分器
此三等分角器由十四根木条所连接而成，且A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点与O 点之距离均相同
如下图NF EN LD CL HB AH ===== PG FP ME DM KC BK =====
使用的时候将AO 和GO 对齐想量的角，那OC 和OE 就是三等分角线。

证明:
△OBK ≅ △OCK （SSS ），∠OBK ≅ ∠OCK ，
∴∠OBH = ∠OCL 。

四边形OAHB 与四边形OCLD 全等，
故∠ABO = ∠COD ，∠ODL = ∠OBH ,∠ODM = ∠OCK ， △OCK ≅ △ODM （SAS ），△ODM ≅ △OEM （SSS ）， ∴∠BOK = ∠KOC = ∠DOM = ∠MOE ，故∠BOC = ∠DOE. 同理可证
∠COD = ∠EOF ,∠DOE = ∠FOG ， ∠AOB = ∠COD = ∠EOF 故∠BOC = ∠DOE = ∠FOG
∴ ∠AOC ＝∠COE ＝∠EOG ＝3
1
∠AOG.
六、讨论：
在讨论三等分角的过程中，我们发现很多用具都可以利用三角形全等，使三个角无论如何张开都还是会相等，如此便可以很轻易的把一个角三等分。

另一方面，也可以利用做出三个全等的三角形，把我们要分的角三等分。

七、结论：
虽然标尺做图的限制下，无法把一个任意角三等分，但如果稍稍改变一下做图的限制，比如说直尺可以量刻度，或利用标尺之外的工具，便可轻易的把一般角三等分，也就达到我们所要的目的了，于是我们讨论收集出了八种三等分任意角的方法，供各
G
A
H
B
K
C L
D
M
E
N
F
P
O
位参考。

参考数据：国中数学课本
国中数学教师手册三等分角问题
数学谜题入门
数学天才100。