西工大高数(2)考题解答

高等数学（Ⅱ）期末自测题参考答案

（选自西北工业大学2005级高数考题）

一、填空题（每小题3分，共36分） 1.=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞

→∞→x

y x xy 11lim ==⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+∞

→∞

→∞→∞→⋅

∞

→∞→0

1lim

111lim 11lim e xy xy y

xy

y x y

xy y x y x 1 .

2.函数),(y x z z =由方程0sin

=+x

y e xz 确定，则

=-

=-

=∂∂xz

z

y xe

x y x

F F y

z cos 1

xz

e

x x y

2

cos -

.

3.设函数2

22ln z

y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为

3

3.

4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.

5.空间曲线

x z

x y

-==1,22

2

在点)2

2,

1,2

1

(处的切线方程为

2

1221

1121

-

-=-=-

z y x .

6.改变积分次序：==

⎰

⎰-dy y x f dx I x x 2

20

20

),(

dx y x f dy y

y

⎰

⎰

-+--2

2

11111

),( .

7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=⋅=

+⎰

⎰π2

2

2

12

11)(L

L

ds ds y x π .

8.设∑为曲面2

2y x z +=在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑

=xdS 0 .

9.设,0,

10,

)(⎩⎨

⎧<≤<≤-=-π

πx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于

)1(2

1π

e + .

10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3

221y y y y 常

数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .

11.函数x x f -=

21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2

10

1

-∈∑

∞

=+x x n

n n .

12.微分方程x

xe y x

y =-'1的通解为 x

xe Cx + .

二、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设),(

xy

e

x y f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dx

dz .

解：

)(22

1y x y e f x

y

x y f dx

dz xy

'+⋅'+-'⋅

'=

))()(()

()(22

1x x x e f x

x x x f xy

ϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'=

2.求曲面)(2

142

2

y x z +-

=与平面2=z 所围立体的体积.

解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积

d x d y y x d x d y d x d y y x V D

D

D

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

+-

=⎭⎬⎫

⎩

⎨

⎧-+-=

)(2122)](214[2

22

2

πππθ

ππ

4482

1

222

2

20

2

=-=-

⨯=⎰

⎰r d r r d

3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面

1=++z y x 平行.

解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令

=),,(z y x F 66322

2

2

-++z y x ，

则切平面的法向量

)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==

, 已知平面1=++z y x 的法向量

)1,1,1(1=n

依题意1//n n

，即

令

t z y x ==

=

1

61

41

2

代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面2

2y

x z +=

与半球面2

21y

x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个