离散数学(一阶逻辑)

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用量词时的注意点
在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 如果事先没有给出个体域， 如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体 域； 个体域和谓词的含义确定之后， 元谓词要转化为命题 个体域和谓词的含义确定之后，n元谓词要转化为命题 至少需要n个量词 此点以后再讨论)； 个量词(此点以后再讨论 至少需要 个量词 此点以后再讨论 ； 当个体域为有限集时，如果D={a1,a2,…an},由量词的意 当个体域为有限集时，如果 由量词的意 义可以看出，对于任意的谓词A(x), 都有： 都有： 义可以看出，对于任意的谓词
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项的递归定义 定义2.2 定义 个体常项和变项是项 个体常项和变项是项； 是任意的n元函数 元函数， 若ϕ（x1 ,x2 , …. , xn ）是任意的 元函数， t1 ,t2 , …. , tn是项，则 ϕ（t1 ,t2 , …. , tn ）是项。 只有有限次地使用① 只有有限次地使用①、②生成的符号串才 是项。 个体常项、变项是项， 个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数 和复合函数还是项
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第二章 一阶逻辑
苏格拉底三段论 判断下面推理的正确性
凡人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。
表示三个命题， 用p,q,r表示三个命题，则（p∧q）→r 并不 表示三个命题 ∧ ） 重言式。 是重言式。 原因缺少命题内在的联系的反映。 原因缺少命题内在的联系的反映。
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第二章 一阶逻辑
第2章 一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念 2.2 一阶逻辑合式公式及解释 2.3 一阶逻辑等值式
3源自文库
§1 一阶逻辑基本概念
一、基本概念 二、一阶逻辑中命题符号化
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一、基本概念
简单的命题被分解成个体词与 简单的命题被分解成个体词与谓词. 个体词
6是合数； 王宏是程序员； 小李比小赵高2厘米。
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解释I如下 解释 如下: 如下 2. 解 (1),(2),(3)中公式分别 中公式分别 为A,B,C,则 则 D1={2,3}; A=(F(2)∧G(2,2))∧(F(3) D1中特定元素 中特定元素a=2; 中特定元素 ∧G(3,2)) 函数f(x)为f(2)=3, f(3)=2; 函数 为 谓词F(x)为 谓词 为 (0∧1) ∧(1 ∧1) 0 F(2)=0,F(3)=1; B=(F(f(2)) ∧G(2,f(2))) G(x,y)为G(i, j) =1, i, 为 ∨(F(f(3))∧G(3,f(3)) j=2,3; (F(3) ∧ G(2,3))∨(F(2) L(x,y)为 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1; ∧G(3,2)) L(2,3)=L(3,2)=0 (1∧1)∨(0 ∧1) 1 在解释I下 求下列各式的 在解释 下,求下列各式的 真值. 真值 C=(L(2,2)∨L(2,3)) (1)∀x(F(x)∧G(x,a)) ∀ ∧ (2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ∃ ∧ (3) ∀ x ∃ yL(x,y)
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三、公式的解释与分类
给定公式 A=∀x(F(x)→G(x)) 成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1 代入得A=∀x(x>2→x>1) 真命题 成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=∀x(x>1→x>2) 假命题 问: ∀xF(x)∧∃x¬F(x) 有成真解释吗？ ∃xF(x)∨∀x¬F(x) 有成假解释吗？
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原子公式 定义2 定义2.3 设R(x1, x2, …, xn)是任意的n元谓 , 词，t1,t2,…,tn是任意的n个项， , 是任意的n个项， 原子公式. 则称R(t1, t2, …, tn)是原子公式. , 元谓词. 原子公式是由项组成的n元谓词. ))等均为 例如， 例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为 原子公式
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解释I 解释
定义2.7 一个解释I由下面 部分组成 定义 一个解释 由下面4部分组成 由下面
非空个体域D; 非空个体域D; 中一部分特定元素; D中一部分特定元素; 上一些特定的函数; D上一些特定的函数; 上一些特定的谓词; D上一些特定的谓词 在使用一个解释I解释一个公式 解释一个公式A时 将 在使用一个解释 解释一个公式 时,将 A中的个体常项用 中特定常项代替 函数 中的个体常项用I中特定常项代替 中的个体常项用 中特定常项代替,函数 和谓词用I中的特定函数和谓词代替 中的特定函数和谓词代替. 和谓词用 中的特定函数和谓词代替
∀xA(x) ⇔ A(a1)∧A(a2) ∧…∧A(an); ∃xA(x) ⇔ A(a1)∨A(a2) ∨…∨A(an).
多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。 多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。
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例题
对任意的x，存在着y，使得 x+y=5. 对任意的 ，存在着 ，
P37. 例题 、2.3、2.4、2.5 例题2.2、 、 、
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代替规则 代替规则:对某自由出现的个体变项用与原 代替规则:对某自由出现的个体变项用与原 自由 公式中所有个体变项符号不同的变项符号 去代替,且处处代替. 去代替,且处处代替. 利用代替规则,将 如：在∃xF(x)∧G(x,y)中,利用代替规则 将 ∧ 中 利用代替规则 自由出现的x用 代替 代替,得 自由出现的 用z代替 得 ∃xF(x)∧G(z,y) ∧
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合式公式
定义2.4: 定义2.4: 合式公式
原子公式是合式公式； 原子公式是合式公式； 合式公式 是合式公式， ┐ 是合式公式； 若A是合式公式，则(┐A)是合式公式； 是合式公式 若A,B是合式公式，则(A∧B),(A∨B), 是合式公式， ∧ ∨ (A→B), (A↔B)也是合式公式； 也是合式公式 ↔ 也是合式公式； 是合式公式， 若A是合式公式，则∀xA，∃xA也是合式公 是合式公式 ， 也 式； 只有有限次地应用 － 构成的符号串才 合式公式。 是合式公式。
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明确个体域
例2.（1） 凡人都要死的。（ 2） 有人活百岁以上 （ ） 凡人都要死的。（ ） 考虑个体域D为 考虑个体域 为人类集合 ∀xF(x), 其中F(x)：x是要死的。 ∃xG(x), 其中G(x)：x活百岁以上。 考虑个体域为全总个体域 考虑个体域为全总个体域 对于所有个体而言，如果它是人，则它是要死 的。引入新谓词M(x): x是人。
∀x(M(x)→F(x))
存在着个体，它是人并且活百岁以上。 • ∃x(M(x)∧G(x))
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一阶逻辑中命题符号化(续)
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解 注意 题目中没给个体域 一律用全总个体域 注意: 题目中没给个体域, (1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y ∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y))) 或 ∀x∀y(F(x)∧G(y)→L(x,y)) 两者等值 (2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数, L(x,y)：x>y ∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧L(x,y))) 或 ∃x∃y(F(x)∧G(y)∧L(x,y)) 两者等值
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一阶逻辑合式公式采用字母表 定义2.1字母表 字母表 定义
个体常项： 个体常项：a,b,c,…,ai,bi,ci,…., i≥1; 个体变项： 个体变项：x,y,z,…,xi,yi,zi,…., i≥1; 函数符号： 函数符号：f,g,h,…,fi,gi,hi,…., i≥1; 谓词符号： 谓词符号：F,G,H, …,Fi,Gi,Hi, i≥1; 量词符号： 量词符号：∀，∃； 联结词： 联结词：┐，∧，∨，→，↔； ； 括号和逗号: ( , ). 括号和逗号
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1.个体词相关的基本概念 个体词相关的基本概念
个体词:是可以独立存在的客体. 个体常项:用小写的英文字母 a,b,c,d…. 个体变项:用小写的英文字母 x,y,z…. 个体域:个体的取值范围. 全总个体域:指宇宙中的一切事物.
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2.谓词的相关概念
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n 元谓词, n≥2): 表示事物之 间 的 关 系 如 L(x,y) ： x 与 y 有 关 系 L ， L(x,y)：x≥y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题 常项或命题变项
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二、一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 (1) 墨西哥位于南美洲 F(x)：x位于南美洲 a：墨西哥 ： F(a) )
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二、一阶逻辑中命题符号化
是素数且是偶数. （2）2是素数且是偶数 ） 是素数且是偶数
F(x): x是素数; G(x): x是偶数; a:2 符号化为F(a) ∧ G(a)
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二、个体变项的自由出现与约束出现
定义2 在公式∀ 指导变元， 定义2.5 在公式∀xA和∃xA中，称x为指导变元，A为 相应量词的辖域 辖域. 辖域中 相应量词的 辖域 . 在 ∀ x 和 ∃ x 的 辖域 中 ， x 的所有 出现都称为约束出现 约束出现， 出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变 自由出现的. 项均称为是自由出现的 项均称为是自由出现的. 例如, 例如, 在公式 ∀x(F(x,y)→G(x,z)) 中, A=(F(x,y)→G(x,z))为∀x的辖域， ))为 的辖域， x为指导变元, 为指导变元, A中x的两次出现均为约束出现， 的两次出现均为约束出现， y与z均为自由出现. 均为自由出现.
H(x,y)表示x+y=5 可符号化成：∀x ∃y H(x,y) 不可符号化成： ∃y ∀x H(x,y)
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第二章 一阶逻辑
第2章 一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念 2.2 一阶逻辑合式公式及解释 2.3 一阶逻辑等值式
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2.2 一阶逻辑公式及解释
合式公式(简称公式) 合式公式(简称公式) 个体变项的自由出现和约束出现 解释与分类
大于3,则 大于 大于4. （3）如果 大于 则2大于 ）如果2大于
L(x,y): x大于y. a:2; b:3; c:4 符号化为L(a,b) → L(a,c)
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例2.（1） 凡人都要死的。（ 2） 有人活百岁以上 （ ） 凡人都要死的。（ ）
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3.量 词
量词: 表示数量的词 量词: 全称量词∀ 表示任意的, 所有的, 一切的， 全称量词∀: 表示任意的, 所有的, 一切的，不存 在一个… 在一个…不…” 如 ∀x 表示对个体域中所有的x ∀x F(x) 表示个体域中的所有个体具有属性 F。 。 存在量词∃ 表示存在, 有的, 存在量词∃: 表示存在, 有的, 至少有一个 如 ∃x 表示在个体域中存在x ∃x F(x) 表示存在个体域中的个体具有属性 F。 。
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∧(L(3,2) ∨L(3,3)) 1∧1 1
例题2.8 解释 解释N 例题
在解释N下 公式分别化 解:在解释 下,公式分别化 在解释 为: 个体域为自然数集合Dn; ∀x(x·0=x) Dn中特定元素 a=0; 假命题; 假命题 Dn上特定函数 (2) ∀x∀y(F(f(x,0),y) ∀ f(x,y)=x+y,g(x,y)=x·y; →F(f(y,0),x)) Dn上特定谓词F(x,y)为x=y. ∀x∀y(x+0=y→y+0=x) ∀ 真命题; 真命题 在解释N下,下面那些公式为 (3) x+y=y+z 真?那些公式为假? 真值不确定,不是命题 不是命题. 真值不确定 不是命题 (1)∀xF(g(x,a),x); 解释N 解释
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封闭的合式公式 闭式：不含自由出现的个体变项的公式. 闭式：不含自由出现的个体变项的公式.
∀x(F(x)→G(x)), ∃x∀y(F(x)∨G(x,y)) 是闭式。 ∀x(F(x)→G(x,y)), ∃z∀yL(x,y,z) 不是闭式。 ∀xF(x)∨G(x) 不是闭式。
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换名规则 换名规则：将量词辖域中出现的某个约束 换名规则：将量词辖域中出现的某个约束 出现的个体变项及对应的指导变项,改成另 出现的个体变项及对应的指导变项 改成另 一个辖域中未曾出现的个体变项符号,公式 一个辖域中未曾出现的个体变项符号 公式 其余部分不变. 其余部分不变 将约束出现的x改 如：在∃xF(x)∧G(x,y)中,将约束出现的 改 ∧ 中 将约束出现的 得到的公式为: 成z,得到的公式为 得到的公式为 ∃zF(z)∧G(x,y) ∧