2-2 连续时间信号取样及取样定理
实验四：信号的取样和取样定理
ω
E Fs(jω)
Ts
0 图4-1
t 脉冲取样的时域波形
ω 图4-2 脉冲取样的频谱
取样信号的频谱Fs(jω)与连续信号的频谱F(jω) 的关 系为 ：
Fs ( j) PnF[ j( ns )] n
上式表明，取样信号的频谱Fs(jω)是被取样信号的频谱
F(jω) 以取样频率ωs为间隔周期延拓而得到的，在周期延 拓过程中幅度被P(n)加权。当取样脉冲p(t)是周期矩形脉冲
(2)、将取样频率调为6KHZ，其他条件不变，观察恢复 后的波形；
(3)、将取样频率调为12KHZ，其他条件不变，观察恢复 后的波形；
将原理图中的开关K1，K2接2，然后重复(1)至(3)的操 作。
六、实验设备：
1、双踪示波器
1台
2、函数发生器
1台
3、稳压电源
1台
4、实验板
1块
七、实验报告要求：
时，取样信号的频谱为：
Fs (
j)
E
Ts
n
Sa( n
2
)F[
j(
ns )]
2、取样信号在一定的条件下可以恢复出原信号。由取
样定理可知，要恢复出原信号首先必须满足fs≥2fm，其中fs 为取样频率，fm为原信号的最高频率分量；在满足取样定理 的前提下，用一截止频率为fc的低通滤波器滤除取样信号中 的高频分量则可得到原信号。
fs(t)=f(t)*p(t)
若取样脉冲序列 p(t)是以Ts为周期的窄脉冲串，称为脉
冲取样，Ts的倒数fs为取样频率。 则f(t),p(t),fs(t)的波
形及其频谱图分别如图4-1,4-2所示：
1 F(jω)
f(t)
0 p(t)
采样定理
sin[ xa (nT )
(t nT )
S 2C
T (t nT ) T
]
采样内插公式
采样内插公式说明：只要满足采样频率高于两倍
信号最高截止频率，则整个连续时间信号就可以 用它的采样值来完全代表，而不会丢失任何信息。
sin[
(t nT )
T (t nT ) T
即
1 ˆ X a ( j) X a ( j) P ( j) 2
ˆa (t ) xa (t ) P (t ) , x
P ( j)
由于
[P (t )] （傅里叶变换）
是周期函数,即
P (t )
n
(t nT )
jk S t a e k
n
理想采样
T
t
(t nT )
0
xa(t)
ˆa (t ) xa (t ) P (t ) x
t
ˆa (t ) x
n
x (nT ) (t nT )
a
二、频谱的周期延拓
xa (t ) X a ( j)
即
-1
ˆ ( j) ˆa (t ) X x a
t
2 s T
称为内插函数
ˆa (t ) g (t ) ya (t ) x
n
[ xa (nT ) ( nT )]g (t )dt
ˆ ( ) g (t )dt x
a
n
由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个： 1.采样频率低 2.连续信号的频谱没有被限带
连续时间信号的时域抽样
x[k ] x(t ) t kT
2. 为什么进行信号抽样
输入
x(t)
A/ D
x[k]
离散 系统
y[k]
D/ A
用数字方式处理模拟信号
输出
y(t)
离散信号与系统的主要优点：
(1) 信号稳定性好: 数据用二进制表示，受外界影响小。 (2) 信号可靠性高: 存储无损耗，传输抗干扰。 (3) 信号处理简便: 信号压缩，信号编码，信号加密等 (4) 系统精度高: 可通过增加字长提高系统的精度。 (5) 系统灵活性强: 改变系统的系数使系统完成不同功能。
X sam(
j)
1 2π
X
( j) *sam
n
(
nsam )
1 T
n
X[ j(
nsam)]
X sam ( j) x(k T)e jkT x(k T)e jkΩ X (e j )
k
k
4. 信号抽样的理论推导
号最高频率的2倍，这就是著名的
6. 信号抽样的物理实现
x(t)
A/D
x[k]=x(kT)
T
x[k] x(t) t kT
抽样间隔(周期) 抽样角频率 抽样频率
T
(s)
wsam=2p/T (rad/s) fsam=1/T (Hz)
例1 已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号x(2t)， x(t)*x(2t)， x(t) x(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
国 典
物理学 。 1976
家 年
， 在
Texas逝世。他对信息论做出了重
连续时间信号的抽样课件
02
抽样定理与抽样方法
奈奎斯特抽样定理
定义
奈奎斯特抽样定理指出，当连续 时间信号被抽样时，为了避免混 叠失真，抽样频率必须大于或等
于信号最高频率的两倍。
重要性
奈奎斯特抽样定理是连续时间信号 数字化的基础，它保证了数字信号 能够准确地还原原始信号，避免失 真和误差。
应用
在实际应用中，奈奎斯特抽样定理 常被用于确定ADC（模数转换器） 的抽样频率，以确保数字信号的完 整性和准确性。
连续时间信号的抽样课件
目录
• 连续时间信号与抽样概述 • 抽样定理与抽样方法 • 抽样误差与信号重建 • 抽样在数字通信系统中的应用 • 连续时间信号抽样的性能评估与优化 • 连续时间信号抽样的实验与仿真
01
连续时间信号与抽样 概述
连续时间信号的定义
定义
连续时间信号是指信号在时间上 是连续的，即信号的幅度可以随 时间的连续变化而任意变化。
抽样在通信系统中的重要性
信号传输
在通信系统中，通常只有离散时 间信号能够直接进行数字处理以 及传输，因此连续时间信号必须 经过抽样处理才能得到离散时间
信号。
节省带宽
通过抽样定理，我们可以确定抽 样频率，进而避免不必要的高频
分量，节省传输带宽。
便于数字化处理
离散时间信号更便于进行数字化 处理，如编码、压缩、加密等， 这些处理能增强通信系统的抗干
样本数量，提高重建精度。
迭代重建算法：迭代重建算法 可以通过多次迭代优化信号的 重建结果，逐步减小重建误差
，提高信号的重建精度。
压缩感知技术：压缩感知技术 可以在低于Nyquist采样率的条 件下重建信号，通过利用信号 的稀疏性，实现高精度的信号 重建。
第四章连续时间信号的采样
其中ω0 = 4000πT = 2π/3, Ωs = 2π/T =12000π
信号的最高频率ΩN= 4000π，满足Nyquiest定理，没有混叠。
其傅立叶变换为： X c ( jΩ) π ( 4000π) π ( 4000π)
在Ωs = 12000π时
X
s ( jΩ)
1 T
X c ( jΩ
1
X c ( jΩ) S( jΩ)
1
2
X c ( j )S( j( ))d
X
s ( j)
1
2
X c ( j )
2
T
(
k
ks )d
X s ( j)
1
2
2
T
k
X c ( j )
(
ks )d
1 T
X c ( j
k
jks )
X s
( jΩ)
1 T
Xc(
k
jΩ
kjΩs )
数学上表示采样的两步：
第一步： xc(t) xs(t)
第二步： xs(t) x[n]
首先考虑第一步，周期冲击串
调制：
s(t) (t nT ) n
xs (t) xc (t)s(t) xc (t) (t nT ) n
由冲击函数的筛选性：
xs (t) xc (nT ) (t nT ) n
也就是用
Hc
(
j)
1, 0,
c c
ωc < π
得到
hc (t)
sin(ct) πt
h[n]
Thc (nT
)
T
sin(cnT πnT
)
sin(cn)
实验二 抽样定理
实验二抽样定理一、实验目的1. 了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2．验证抽样定理。
二、原理说明1．离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号经抽样而获得。
抽样信号f S（t）可以看成是连续信号f（t）和一组开关函数s（t）的乘积。
即：f S（t）= f（t）×s（t）如图8-1所示。
T S为抽样周期，其倒数f S =1/T S称为抽样频率。
图2-1 对连续时间信号进行的抽样对抽样信号进行傅里叶分析可知，抽样信号的频谱包含了原连续信号以及无限多个经过平移的原信号频谱。
平移后的频率等于抽样频率f S及其各次谐波频率2 f S、3f S、4f S、5f S ……。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频谱幅度按sin()axS xx规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱周期性的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2. 正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连接起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率maxf的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器的输出可以得到恢复后的原信号。
(a)连续信号的频谱(b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）(c)低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）图2-2冲激抽样信号的频谱图3. 信号得以恢复的条件是f S >2B,其中f S为抽样频率，B为原信号占有的频带宽度。
而f min =2B为最低的抽样频率，又称为“奈奎斯特抽样率”。
当f S <2B时，抽样信号的频谱会了生混叠，从发生混迭后的频谱中，我们无法用低通滤波器获胜者得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频谱的信号是极少的，因此即使f S=2B，恢复后的信号失真还是难免的。
图2-2画出了当抽样频率f S>2B（不混迭时）及f S<2B（混迭时）两种情况下冲激抽样信号的频谱图。
信号与系统 §4.9 取样定理
1
o Ts fs(t)
o Ts
F(j ) A
t (a)
－ m o
m
( )
t
－
(b)
o
A Fs(j ) Ts
t
－
－ m o
m
(c)
■
第5页
时域理想抽样的傅立叶变换
f (t)
FT
F( j )
FT
相乘
Fs (
j )
1 TS
F[ j(
n
n )]
1
2
相卷积
TS (t) (t nTS ) n
fs (t) f (t) s(t)
f(t)
• 我们一般研究均匀取样：
各脉冲间隔的时间相同，
称为均匀取样。
• Ts 称为取样周期。
0
t
• fs 称为取样频率。
• 取样信号的频谱：
Fs
j
1
2
F j
S j
■
第3页
取样
量化 编码
信道 解码 保持 滤波
连续 信号
离散 信号
数字 信号
■
第4页
f (t)
时域卷积定理：
fs (t) f (nTs ) (t nTs )
n
h(t )
m
Sa(mt )
f (t ) f s (t ) * h(t )
m n
f
(nTs )Sa[m (t
nTs )]
■
第9页
f s (t )
FT
Fs ( j ) 主频带
0 Ts
t
s m
m s
h(t) m
FT
Ts 0 Ts
§3.6--信号抽样与抽样定理(信号抽样-时域抽样定理-连续时间信号的重建--)
所以抽样信号的频谱为
其中， 为抽样角频率， 为抽样间隔 ， 为抽样频率，
在时域抽样（离散化）相当于频域周期化
频谱是原连续信号的频谱以抽样角频率为间隔周期地延拓，频谱幅度受抽样脉冲序列的傅立叶系数加权。
(1) 冲激抽样若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。
谢谢大家
二、时域抽样定理
二、时域抽样定理
时域抽样定理的图解：假定信号 f (t)的频谱只占据 的范围，若以间隔 对 f (t)进行抽样，抽样信号 fs (t)的频谱 FS(ω) 是以 ωS 为周期重复，在此情况下，只有满足条件 各频移的频谱才不会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息，完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs (t) 。
§ 3.6 信号抽样与抽样定理
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
一、信号抽样
抽样的原理方框图:
一、信号抽样
连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种现象称为频率混叠现象。
二、时域抽样定理
在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为 的理想低通滤波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原连续信号 f (t) 。
三、连续时间信号的重建
因为所以，选理想低通滤波器的频率特性为若选定 ，则有理想低通滤波器的冲激响应为若选 ，则而冲激抽样信号为
4_17 连续时间信号时域抽样定理
4. 信号时域抽样理论分析
X(j)
1
6 8
8
6
-28 -24 -0
0
0 24 28
f
fm=28 kHz
X(ejW)
1/T
-32 -28 -24 -0 -6 - -8 -4 0 4 8 6 0 24 28
36 f
fsam=8 kHz
信号时域抽样理论分析
X(j
0
m
sam
X(ej
1 T
sam m
0
m sam
X(j
1
sam 2 B
m m+B
0
m-B m
m 1000k rad/s, B 8k rad/s
4. 信号时域抽样理论分析
窄带高频信号的抽样
中心频率24kHz，带宽8kHz。 解调后语音信号
fsam=56kHz 抽样后的频谱。 解调后语音信号
下，信号x(t)可以用等间隔T的抽样值唯一表示。 抽样间隔T需满足：
T π m 1 (2 fm)
fsam 2fm （或ωsam 2ωm）
fsam= 2fm 为最小抽样频率，称为Nyquist Rate。
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4. 信号时域抽样理论分析
sam 2m
1
m
0 m
X (e jT )
X [ j( sam )]
1 X ( j)
T
X [ j( sam )]
...
...
sam m 0 m sam
4. 信号时域抽样理论分析
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
连续时间信号的抽样
s
2
的理想低通滤波器，就可得到
超过 h ，则各周期 s
2
丌失真的原信号频谱，也就是说，可以丌失真地还原出原来 的连续倍号。如果信号的最高频谱 延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象。
由此得出结论：要想抽样后能够丌失真的还原出原信号，则
抽样频率必须大于等于两倍信号谱的最高频率：
s 2h
这就是奈奎斯特(Nyquist)采样定理。即：
前者变为后者是通过“抽样”来完成的。抽样就是
利用周期抽样脉冲序列 即离散时间信号，以 即得到数字信号。
p(t ，从连续信号 )
xa (t ) 中抽取
一系列的离散值。得到抽样信号(或称抽样数据信号)
ˆ 表示。抽样是模拟信号数 xa (t )
字化处理的第一个环节。
再经幅度量化编码后 ˆ xa (t )
问题： 1.连续信号的抽样及抽样信号的频谱
4内插公式只限于使用在限带频带有限信号采样点间的值由各加权内插函数延伸叠加形成可以由无穷多个加权系数为的内插函数之和恢复序列到冲激串的转换理想低通利波采样周期t理想重构系统用宽度为的矩形周期脉冲代替冲激串不理想抽样一样抽样信号的频谱是连续信号的频谱的周期延拓同样遵循采样定理
连续时间信号的抽样不重建
• 现在讨论连续时间信号不离散时间信号的关系。由
1 Ts
Ts / 2
Ts / 2
n
(t nTs )e jk t dt
s
1 Ts / 2 (t )e jkst dt Ts Ts / 2 1 Ts
因此：
1 T ( j) FT [T (t )] FT [ Ts
1 jk s t e ] T k s
s 2 s 2
连续时间信号时域抽样定理
窄带高频信号的抽样
中心频率24kHz，带宽8kHz。 解调后语音信号
fsam=56kHz 抽样后的频谱。 解调后语音信号
fsam=8kHz 抽样后的频谱。 抽样后的语音信号(不解调)
4. 信号时域抽样理论分析
X(j)
1
-28 -24 -
0
24 28
f
fm=28 kHz
XXX((eeej))
111/TTT
1
m
0 m
X (e jT )
X [ j( sam )]
1 X ( j)
T
X [ j( sam )]
...
sam /2
...
sam
m 0 m
sam
4. 信号时域抽样理论分析
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
X (j)
sam 2m
1
m
0 m
X (e jT )
X [ j( sam )]
1 X ( j)
信号的抽样间隔T？ (4) 若抽样速率过高，如何降低已抽样信号的抽样速率？
4. 信号时域抽样理论分析
单边带信号与窄带高频信号的抽样问题
X (j
m
•••
sam
X(ej
1 T
sam m
•••
m sam
X (j
1
sam 2B
m m+B
0
m-B m
m 1000krad/s, B 8k rad/s
4. 信号时域抽样理论分析
下，信号x(t)可以用等间隔T的抽样值唯一表示。 抽样间隔T需满足：
T π m 1 (2 fm )
fsam 2fm （或ωsam 2ωm）
fsam= 2fm 为最小抽样频率，称为Nyquist Rate。
信号抽样及抽样定理
实验五 信号抽样及抽样定理一、实验目的1. 学会运用MATLAB 完成信号抽样以及对抽样信号的频谱进行分析2. 学会运用MATLAB 改变抽样时间间隔，观察抽样后信号的频谱变化3. 学会运用MATLAB 对抽样后的信号进行重建二、 实验原理 （一）信号抽样信号抽样是利用抽样脉冲序列)(t p 从连续信号)(t f 中抽取一系列的离散值，通过抽样过程得到的离散值信号称为抽样信号，记为)(t f s 。
从数学上讲，抽样过程就是信号相乘的过程，即)()()(t p t f t f s •=因此，可以使用傅里叶变换的频域卷积性质来求抽样信号)(t f s 的频谱。
常用的抽样脉冲序列有周期矩形脉冲序列和周期冲激脉冲序列。
上式表明，信号在时域被抽样后，它的频谱是原连续信号频谱以抽样角频率为间隔周期的延拓，即信号在时域抽样或离散化，相当于频域周期化。
在频谱的周期重复过程中，其频谱幅度受抽样脉冲序列的傅里叶系数加权，即被n P 加权。
可以看出，)(ωs F 是以s ω为周期等幅地重复。
（二）抽样定理如果)(t f 是带限信号，带宽为m ω，则信号)(t f 可以用等间隔的抽样值来唯一表示。
)(t f 经过抽样后的频谱()ωs F 就是将)(t f 的频谱()ωF 在频率轴上以抽样频率s ω为间隔进行周期延拓。
因此，当m s ωω2≥时，周期延拓后频谱()ωs F 不会产生频率混叠；当m s ωω2<时，周期延拓后频谱()ωs F 将产生频率混叠。
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率)2,2(2πωπωm m s s m s f f f f ===称为奈奎斯特频率，把最大允许的抽样间隔ms s f f T 211==称为奈奎斯特间隔。
（二）抽样定理如果)(t f 是带限信号，带宽为m ω，则信号)(t f 可以用等间隔的抽样值来唯一表示。
)(t f 经过抽样后的频谱()ωs F 就是将)(t f 的频谱()ωF 在频率轴上以抽样频率s ω为间隔进行周期延拓。
取样定理
S
应为多少? (3) 分别画出在奈奎斯特频率及 S 谱图 (4) 在
4m 时的抽样信号的频
FS ( j )
。 情况下，若 y(t )
S 4 m
f (t ) ，则理想低通滤波器
截止频率应为多少?幅频特性应具有何种形式?
解:
(1)画出 f(t)的频谱图.
m f 0 (t ) sa ( m t )
fs 2 fm
fs fm 5 MHZ 2
m sa ( m t ) 例4： 如图(a)所示系统。已知 f 0 ( t ) 系统 H 1 j 的频率特性如图(b)所示。H ( j ) 为一个理 2
想低通滤波器。
f (t )的频谱图。 (2) 若使 f s (t ) 包含 f (t ) 的全部信息， T (t ) 的最大间隔 TS
f (t) F(j) －m o F(j)
f (t)
o
t
带限信号及其频谱
m
（1）冲激抽样
抽样脉冲序列s(t)：冲激函数序列δTs(t) ，称为冲激抽样（理想抽 样）。时域分析： 此时： f s ( t ) f ( t ) T ( t ) f ( t ) ( t nTs )
表明： Fs(jω)， 是原信号频谱F(jω)以采样角频率Ω为间隔的周 期重复（幅度变化了）。因而抽样函数fs(t)就包含了原函数f(t)的 全部信息。
f (t) F(j) 讨论： ωs满足什么条件时， Fs(jω)相邻频移后的频谱不会发生 重叠？ 答： Ω ≥2ωm －m o (a)
o
t
×
m
=
-ω c o ωc
－ －m o
实验二 连续时间信号的采样及采样定理
实验二 连续时间信号的采样及采样定理一、实验目的1、掌握连续时间信号离散化的方法（即采样），并能利用Matlab 编程加以实现；2、掌握连续时间傅立叶变换、离散时间傅立叶变换的计算机实现方法，能够利用傅立叶变换的方法对连续时间信号、离散时间信号进行频谱的分析；3、熟悉连续时间信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解。
二、实验基本原理与方法采样是连续时间信号数字化处理的第一个关键环节。
对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性发生的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对傅立叶变换、Z 变换和序列傅立叶变换之间关系的理解。
对一个连续时间信号()a x t 进行理想采样的过程可以用下面的公式来表示： ()()()()()s a T a n x t x t t x t t nT δδ∞=-∞==-∑其中()s x t 为()a x t 的理想采样，()T t δ为周期冲激脉冲。
理想采样信号()s x t 的傅立叶变换()s X j Ω可以表示为：12()() s a k X j X j jk T Tπ∞=-∞Ω=Ω-∑ 上式表明，采样信号的频谱是连续时间信号频谱的周期延拓，其延拓周期为采样角频率。
采样前后信号的频谱示意图参看教材1.6节。
只有满足采样定理时，才不会发生频率混叠失真。
对信号进行频谱分析，从数学上讲就是进行傅立叶变换，对于连续时间信号，变换公式如下：()()j t X j x t e dt +∞-Ω-∞Ω=⎰而对于离散时间信号（序列），变换公式如下：()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑不管是连续时间信号还是离散时间信号，频谱都是关于频率的连续函数（连续谱）。
三、实验内容及步骤1、令连续时间信号1000()t a x t e -=，绘制其在-5ms 到+5ms 之间的波形，时间轴间隔为0.05ms 。
2、参考例程，编程实现()a x t 的傅立叶变换（连续时间傅立叶变换），并绘制其在-2KHz 到+2KHz 之间的幅频图，频率轴频率间隔为8Hz 。
连续时间信号的采样实验
实验一 连续时间信号的采样一、 实验目的进一步加深对采样定理和连续信号傅立叶变换的理解。
二、实验步骤1．复习采样定理和采样信号的频谱采样定理如果采样频率s F 大于有限带宽信号)(t x a 带宽0F 的两倍，即02F F s > （1）则该信号可以由它的采样值)()(s a nT x n x =重构。
否则就会在)(n x 中产生混叠。
该有限带宽模拟信号的02F 被称为乃魁斯特频率。
必须注意，在)(t x a 被采样以后，)(n x 表示的最高模拟频率为2/s F Hz （或πω=）。
2．熟悉如何用MATLAB 语言实现模拟信号表示严格地说，除了用符号处理工具箱(Symbolics)外，不可能用MATLAB 来分析模拟信号。
然而如果用时间增量足够小的很密的网格对)(t x a 采样，就可得到一根平滑的曲线和足够长的最大时间来显示所有的模态。
这样就可以进行近似分析。
令t ∆是栅网的间隔且s T t <<∆，则)()(t m x m x a G ∆=∆ （2）可以用一个数组来仿真一个模拟信号。
不要混淆采样周期s T 和栅网间隔t ∆，因为后者是MATLAB 中严格地用来表示模拟信号的。
类似地，付利叶变换关系也可根据（2）近似为：∑∑∆Ω-∆Ω-∆=∆≈Ωmt m j G m t m j G a e m x t t e m xj X )()()( （3） 现在，如果)(t x a （也就是)(m x G ）是有限长度的。
则公式（3）与离散付利叶变换关系相似，因而可以用同样的方式以MATLAB 来实现，以便分析采样现象。
3．根据提供的例子程序，按照要求编写实验用程序；三、实验内容（1）通过例一熟悉用MATLAB 语言实现描绘连续信号的频谱的过程，并在MATLAB 语言环境中验证例1的结果；例1 令t a e t x 1000)(-=，求出并绘制其付利叶变换。
解：根据傅立叶变换公式有20100001000)1000(1002.0)()(Ω+=+==ΩΩ-∞-Ω-∞-Ω-∞∞-⎰⎰⎰dt e e dt e e dt e t x j X t j t t j t t j a a （4）因为)(t x a 是一个实偶信号，所以它是一个实值函数。
§3.6 信号抽样与抽样定理(信号抽样,时域抽样定理,连续时间信号的重建 )
一、信号抽样
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号 称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
f (t)
o
t
p(t)
o TS
t
fs (t)
o TS
t
一、信号抽样
抽样的原理方框图:
Pn
E
Ts
Sa( ns
2
)
则抽样信号的频谱为
Fs ()
E
Ts
Sa( ns
n
2
)F (
ns )
在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过
程中，幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系
数 的加权。
一、信号抽样
f (t)
o
p(t)
t
E
o Ts
t
fs (t)
相
乘
o Ts
一、信号抽样
假设原连续信号 f (t)的频谱为 F(ω)，即 f (t) F ()
抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为
p(t) Pne jns t P() 2 Pn ( ns )
n
n
其中，s
2
Ts
为抽样角频率，Ts
为抽样间隔 ，
f频 谱s 谱以T是抽1s 原样为连角抽续频样信率频为号率的间，频隔
会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息， 完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs (t) 。 如果 s 2m ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频
第二章 离散时间序列与系统1
4.序列的周期性
周期序列的概念：如果对所有n存在一个 最小整数N，满足
则称x(n)为周期序列，记为
，最小周期为N。
例： x(n) sin( n) sin[ ( n 8)] 4 4 例： 因此，x(n)是周期为8的周期序列 因此，x(n)是周期为8的周期序列
现在讨论正弦序列的周期性。设
ˆ ( j ) 1 X ( j ) X a T
4.抽样信号的恢复
（a ） ＾a (t) x ya (t)
G(jΩ ) ＾ (jΩ ) Xa
T H ( j ) 0
| |
s 2 s | | 2
（b ）
Ω 0 G(jΩ )
（c ）
Ω －π / T 0 π/ T Xa (jΩ )
（d ）
Ω 0
33
滤波器值允许通过基带频谱，即原信号频谱
因此在滤波器的输出端得到了恢复的原 模拟信号 y(t)=xa(t)
5.取样内插公式
1 h a (t ) 2
H ( j ) e j t d
（a ）
＾a (t) x
G(jΩ ) ＾ (jΩ ) Xa
ya (t)
s sin t T s j t 2 2 d s e s 2 2 t 2
6）正弦序列
x(n) Asin(0n )
模拟正弦信号：
xa (t ) A sin(t )
x(n) xa (t )
t nT
A sin(nT )
：模拟域频率 f s：采样频率
0 T / f s
0：数字域频率
T：采样周期
数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率
第一节采样定理
§2.1 采样定理
采样定理：对连续时间信号x(t)进行采样时，周期采样频率fs必 须大于被采样原始信号x(t)的最大截止频率fc的两倍，才能从离散的 数字信号xs(t)中完全恢复出原始信号x(t)。也就是，当 f s > 2 f c 时，采 样信号xs(t)完全能代表原始信号x(t)，但前提是x(t)的频谱x(f)是有限 带宽(即当 f > f s / 2 时，有 x( f ) = 0 。x( f ) = 0 时的信号频率f 即为x(t) 的最大截止频率fc)。 一、连续时间信号的采样 采样数据信号xs(t) x s (t ) = x(t ).δ T (t )
fs 1 时， s ( f ) X ( f ) X 2 T
可见，这时采样信号与原始信号具有相同的频谱。我们只要将采 样信号xs(t)通过一个低通滤波器，就能够恢复原始信号x(t)。它的 频谱X(f)为： X ( f ) G( f ) X s ( f )
§2.1 采样定理
频率混叠现象
采样频率较低时，假设原始信号的最高频率成分为fmax，现 将这一频率成分的x(t)单独画出来，当fs=fmax时，采样所得的是 一直流成分，而当fs略大于fmax时，采样得到一差拍低频信号。 这就是说，一个高于fs/2的频率成分，在采样后将被错误地认为 是一个低频信号，或称高频信号“混叠”到了低频段。所以采样频 率的选择是微机继电保护硬件设计中的一个关键问题。
内插值函数
由采样值经内插值恢复x(t)
在采样时刻上，它的函数值是1，在两个采样时刻之间它的函数 值不为零，所以也称为内插值函数。可见，x(t)等于x(nT)乘以对应 的内插值函数之和。由图可见，在每一个采样点上，保证了采样信 号的不变性，而在两个采样时刻之间的信号则是由各采样值（现在 和过去）内插值函数的波形延伸叠加而生成的。
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m(t)
抽样的原理图：
× ms(t)
δT(t)
时域上： 波形和冲激序列相乘，得到一系列时间上离散的抽样点。
x'(t) xa (t) p(t)
因为 p (t) (t nT ) n
所以
x'(t) xa (t) p(t) xa (t) (t nT ) n
(t
n
nT )
1 T
e
m
jm 2 .t T
它的频域表达式为：
P ( j) F[ p (t)]
p
(t)e jt dt
1 T
m
ms
频谱图：
接下来分析理想取样信号x‘（t）的频谱： 即x‘（t）的傅里叶变换：
xa (nt) (t nT ) n
频域上：先看冲激函数序列pδ(t)的时域表达式
pδ(t)的傅氏级数展开：
jm 2 .t
p (t) (t nT ) Cme T
n
m
其中fs=1/T为取样频率；Ωs=2π/T为取样角频率 由傅氏级数定义得：
3、抽样定理的证明
Xa(t)
× X’（t）…… X’（t） LPF
Xa(t)
pδ(t)
h（t） H(ω)
发端
收 端？
入端抽样的时、频域图形
X(f)xa(t)δT(t) t0Ts 2Ts 3Ts
x‘(t)
-fH δT(f)
0 fH
－fS
0
fS
X’(f)
t
0
Ts 2Ts 3Ts
-fH
fH
公式推导：
设有一限带信号xa(t)。当|Ω|≤Ω max，它 的付氏变换为Xa(Ω)。
将xa(t)乘一取样函数p(t) 就得到x^(t)，如 图2.5所示。
设有一限带信号xa(t)。当|Ω|≤Ω max，它的 付氏变换为Xa(Ω)。 将xa(t)乘一取样函数 p(t) 就得到x^a (t)，如图2.5所示。
1 2 fH
s 2 h
上式即为香浓取样定理。其中，Ωh为原始信号 的截止频率，又称奈奎斯特频率。
它指出：取样频率必须大于原模拟信号频谱中
最高频率的两倍，则原始信号xa（t）可以由其取样 信号x（nT）来唯一表示。
所以，能够恢复原始信号的最小取样率为
Ωs = 2Ωh ，称奈奎斯特取样率。
例: 已知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图
抽样定理不仅为模拟信号的数字 化奠定了理论基础，它还是时分多路 复用及信号分析、处理的理论依据。
二、抽样定理
1、内容：一个频带限制在（0，fH）
赫内的时间连续信号xa（t） ，如果以
每秒不小于2fH的速率（或1/2fH秒的间
隔）对它进行等间隔（均匀）抽样， 则全确x定a(t。)将被所得到的抽样值xa (nT)完
X '( j) F[x'(t)]
x'(t)e jtdt
xa
(t
)
p
(t
)e
jt
dt
1
T
xa (t) e jmste jt dt
m
1 T
m
xa
(t
)e
j
(ms
)t
dt
设原信号xa(t)的频谱为Xa（jΩ），即：
所示， 试分别抽样角频率sam=2.5m, 2m , 1.6m抽样时，抽样后离散序列x[k]的频谱。
2、抽样定理的含义
低通型模拟 信号xa（t）
已抽样信 号x’（t）
Ts
当fs（=1/Ts）满足抽样定理（即：fs≥2fH）时：
收端重建的模 拟信号x’（t）
回顾：取样定理——Shannon定理
任一连续信号xa(t)，设其频谱的最高频 率分量为fh，则当对它进行取样时，只要选择 取样率等于或大于2fh ，就可以由这个取样序 列xa (nT)来唯一准确地恢复xa (t)。
图2-5 连续信号取样的数学模型
若xa(t)的频谱在某一角频率ωH以上
为零，则xa(t)中的全部信息完全包含在 其间隔不大于1/2fH秒的均匀抽样序列里。 在信号最高频率分量的每一个周期内至
少应抽样两次。即抽样速率fS （每秒内 的抽样点数）应不小于2fH ，称奈奎斯特 速率。若抽样速率小于2fH ，则会产生失 真，这种失真叫混叠失真。
第02章 连续时间信号的取样及 取样定理
张荣芬 zrfen77@
2.2 连续时间信号的取样及取样定理
一、信号的取样 抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列
时间上离散的抽样值的过程。下面用一个简单的 模拟正弦波来分析抽样过程。
(1)假设在该正弦波上取足够小的抽样间隔，直 接连接用黑点表示的采样点就可充分表现正弦波 形，如图所表示。
1
Cm T
T/2
jm 2 t
(t nT)e T dt
T / 2 n
一个积分周期内，只有一个冲激脉冲（n=0时）：
Cm
1 T
T /2
jm 2 t
t e T dt
1
T / 2
T
所以，冲激函数序列pδ(t)的时域表达式可写为：
p
(t)
图2-1 足够小采样结果
(2)若抽样间隔为正弦波信号周期T，导 致采样后的信号成为直流信号，显然抽 样间隔太宽将导致信号得不到恢复。
图2-2 周期点采样结果
(3)若取抽样间隔为正弦波信号周 期的一半，将得出全为0的数据，信 号仍然得不到恢复。
图2-3 半周期点采样结果
(4)若在正弦波信号一个周期T内 抽样三次,即抽样间隔T/3，则可以 近似地恢复原正弦波信号。
X a ( j) F[xa (t)]
xa
(t
)e
jt
dt
对比两式，发现频域的频谱变化规律如图：
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图 取 样 过 程 的 时 域 与 频 域 关 系
如果，抽样后的频谱 没有交叠，则可以用 L.P.F无失真的恢复
原始信号。
否则称：混叠现象。
间隔：2
T
2 H ,T
图2-4 1/3周期点采样结果
上面的简单过程说明，对模拟信号
的采样恢复精确程度和抽样点距，即抽 样频率的设置有着非常重要的关系。
要重建原信号，抽样速率必须要达 到一定的数值。按理论来看，抽样点距 取值越小，信号的重建度就越高。但是 抽样过程中不可能无限制的去减少抽样 点距，一方面硬件设备不支持无限制的 减少抽样点距，另一方面抽样点过多， 将导致采样信号的数字化值过大。