高中数学定积分的概念

Oa
b
c
b
f (x)dx S f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
bx
b
c
b
a f (x)dx aS f (x)dxc f (x
yf (x)
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分
的面积?
y
yf (x)
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
例2：计算定积分 1 (2x - x2 ) dx 0
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所 围成的图形面积
3 x + 3 dx - 3 x2 - x + 3 dx 3 -x2 + 3x dx
n i 1
ba n
f (i )
如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区
间[a,b] 上的定积分。记为： S
b
f (x)dx
a
定积分的定义：
即
b a
f
(x)dx

lim
n
n i1
b
n
n
i 1
f (i )xi
被
被
积
积分下限
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
b
f(x)dx
b
b
f (t)dt
f(u)du。
a
a
a
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
b
a
(3) f(x)dx - f (x)dx
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割---近似代替----求和------取极限得到解决.
n
小矩形面积和S=
i1
f (i )x
n i1
f
(i
)

a
a
a
三: 定积分的基本性质 性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
c
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx
y
y=f(x)
思考：从定积分的几何
意义解释性质⑶
b
f
b
(xf)(dxx)dx
c

c
f
(fx)(xd)bxdfx(bx)bdfx(fx()xdc)xdf。 x(。 x)dx
a
b
(二)、定积分的几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
bx
特别地，当 ab 时，有b a
f (x)dx0。
a

f
(i )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
f(x) ——叫做被积函数，
y f (x)
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限，
O
a
bx
[a, b] —叫做积分区间。
积分上限
n
b
f ( x)dx I
a

lim
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义．
二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义．
b
f (x)dx。
aa
aa
a cc
a
c
Oa
c
bx
b f ( x )dx
c1 f ( x )dx
c2 f ( x )dx
b
f ( x )dx
a
a
c1
c2
例 1：利用定积分的定义，计算 1 x3dx 的值。 0
解：1 分割：在区间0 ,1上等间隔地插入 n 1个点，
g(x)dx
a
b
S1

ya
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
（三）、定积分的基本性质 性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
将 区 间 0 ,1 等 分 成 n 个 小 区 间 ， 记 第 i 个 区 间 为

i
n
1
,
i n

(i 1, 2 ,L
, n) ，其长度为 x
i i 1 nn
1 n
。
2 近似代替，求和
取 i
i (i 1, 2,...n) 则 n
1 0
x3dx
b
n
a
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b
a
f
(x)dx，即 b b aa
ff
n
((xx))ddxxlimlim n0 i1i
n
f
1
b(ni)axfi。(i
)
定积分的概念
一般地，设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，用分点
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
上述曲边梯形面积的负值。
yf (x)
b
S a[ f (x)]dx
b
S a[ f (x)]dx
b f (x)dx ．， a
a x0 x1 x2 L xi1 xi L xn b 将区间[a,b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x
（
x

b
n
a
），在每个小区间 xi1
,
xi
上取一点
i i 1,2,L ,n ，作和式：
Sn

百度文库
n i 1
f (i )x

Sn

n i 1
f ( i ) x n

n ( i )3 1 i1 n n

1 n4
n
i3
i 1

1 n4
1 n2 (n 1)2 4

1 (1 1 )2 4n
3 取极限
1 x3dx
0

lim
n
Sn

lim
n
1 (1 4
1 )2 n

1 4
练习：利用定积分计算： 2 x3 dx 0