FMlH定点F叫做抛物线的焦点定直线l叫做抛物线的准线
抛物线基础知识
抛物线
1.抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
6.直线与抛物线的位置关系
当a=0时,直线与抛物线对称轴平行(重合),有一个公共点,是相交
练习：
1． 2(0)y ax a =≠的焦点坐标是
2． 24y x =的焦点坐标是 准线方程是
3． 顶点在原点，焦点为（0，-2）的抛物线的方程为
4． 抛物线22(0)y px p =>点()23-，到其焦点的距离是5，则p=_______ 5.根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1） 焦点是F （3，0）
（2） 准线方程是1
4
x =-
（3） 焦点到准线距离是2
6.求顶点在原点，对称轴为坐标轴，过点（2，-8）的抛物线方程，并指出焦点和准线。
7.垂直于x 轴的直线交抛物线24y x =点A,B,且⎜AB ⎜=AB 的方程
8.抛物线的顶点在原点，焦点在直线240x y --=上，求抛物线的标准方程
9．过抛物线2
20y x =的焦点作倾角为
34
π
的弦，此弦的长度是
10.已知动点M 到定点A （1，0）与定直线x=3的距离之和等于4，求点M 的轨迹方程。
《抛物线及其标准方程》 讲义
《抛物线及其标准方程》讲义一、抛物线的定义在平面内，到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
我们可以通过一个简单的实验来直观地理解抛物线的定义。
拿一根绳子，一端固定在一个点上（这个点就是焦点 F），另一端系一个小球，然后让小球沿着一个平面运动，并且始终保持绳子绷紧。
小球运动的轨迹就是一条抛物线。
需要注意的是，抛物线的定义中，定点不能在定直线上，否则轨迹就不是抛物线了。
二、抛物线的标准方程1、焦点在 x 轴正半轴上设抛物线的焦点为 F(p, 0)，准线方程为 x ＝ p，其中 p 为正数。
对于抛物线上任意一点 M(x, y)，根据抛物线的定义，点 M 到焦点F 的距离等于点 M 到准线的距离。
点 M 到焦点 F 的距离为：√（x p)²＋ y²点 M 到准线的距离为：x ＋ p所以有：√（x p)²＋ y²＝ x ＋ p两边平方并化简可得：y²＝ 2px这就是焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程。
2、焦点在 x 轴负半轴上设抛物线的焦点为 F(p, 0)，准线方程为 x ＝ p，其中 p 为正数。
同样根据抛物线的定义，可得：√（x ＋ p)²＋ y²＝｜x p|两边平方并化简可得：y²＝－2px这是焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程。
3、焦点在 y 轴正半轴上设抛物线的焦点为 F(0, p)，准线方程为 y ＝ p，其中 p 为正数。
对于抛物线上任意一点 M(x, y)，有：√x² ＋（y p)²＝｜y ＋ p|两边平方并化简可得：x²＝ 2py这是焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程。
4、焦点在 y 轴负半轴上设抛物线的焦点为 F(0, p)，准线方程为 y ＝ p，其中 p 为正数。
同理可得：√x² ＋（y ＋ p)²＝｜y p|两边平方并化简可得：x²＝－2py这是焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程。
抛物线 标准方程、几何性质、经典大题归纳总结
一、定义：在平面内,与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点的点的轨迹叫抛物线.即： 的轨迹是抛物线。
则点若M MNMF,1 (定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。
)二、标准方程：设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0)．取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 交于K ，以线段KF 的垂直平分线为立直角坐标系方程是，则准线方得补充：2. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形22(0)y px p =>的边长，并求该三角形外接圆的方程。
．若是定直线外的一定点，则过与相切圆的圆心轨迹是（ ）．若点到点的距离比它到直线，则．．．．已知点，是抛物线点在抛物线上移动时，取得最小值时（0．． ）与抛物线（，则线点则．已知抛物线（）上一点到焦点的距离等于，则，．抛物线的焦点弦的端点为，，且，则．．在抛物线上有一点，则．抛物线． ． ． ．．焦点在直线．抛物线．．．．．抛物线2.5 B．抛物线．．．．．抛物线（．．．．时为，．抛物线． ． ． ．．已知原点为顶点，轴为对称轴的抛物线的焦点在直线． ． ． ．2．与椭圆． ． ． ．以其上各点与直线．动直线．已知点和抛物线上的动点，点分线段为，求点）作直线，使它与抛物线．设抛物线（）与直线（分别是、，而是直线与轴交点的横坐标，则、、． ．． ．．在抛物线．；．或 [．依题设可设抛物线方程为（ 此抛物线上各点与直线，此抛物线在直线的直线 由有，所求抛物线方程为：．设，，， ， 即，，而点在抛物线上， ，即所求点的轨迹方程为．；。
2020年高三理科数学一轮讲义案第九章9.7《抛物线》附答案解析
【训练 2】 (1)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C， 若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
(2)已知点 A(3，0)，过抛物线 y2＝4x 上一点 P 的直线与直线 x＝－1 垂直相交于点 B，若|PB|＝|PA|，则 P 的横坐标为( )
y＝ax2(a≠0)可化为
x2＝1y，是焦点在 a
y
轴上的抛物线，且其焦点坐标是
0， 1 4a
，准线方程是
y
＝－41a.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(选修 2－1P72A1 改编)顶点在原点，且过点 P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2 ＝－2ay(a>0)的通径长为 2a.( )
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程
A.1
B.32
C.2
D.52
解析 (1)设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1，
由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线的斜率为 3，
故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故 p ＝|CF|＝1，即 p＝3，从而抛物线的方程为 y2＝3x.
高中数学抛物线知识点归纳总结
高中数学抛物线知识点归纳总结抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。
点F叫做焦点，直线l叫做准线。
抛物线有对称性，关于x轴对称、关于y轴对称、焦点在对称轴上。
抛物线的顶点是与准线相交的最高点，离心率是焦点到顶点距离与顶点到准线距离的比值。
抛物线的方程有标准式和一般式，可以通过顶点、焦点、准线等信息求出。
焦点弦是抛物线上两点与焦点所组成的线段，焦点弦长等于两点间的距离加上焦距的两倍。
以焦点弦为直径的圆必与准线相切。
若以焦点为圆心作圆，则准线与圆相切。
关于直线与抛物线的位置关系，可以通过联立方程和判别式来求解。
当直线与抛物线有一个交点时，需要判断是否相切。
若直线与抛物线只有一个公共点，则不一定相切。
给定抛物线方程y=2px(p≠0)，设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则可以求得斜率k和中点M的坐标(x,y)。
同时，还可以利用点差法来求解相关问题。
对于交点坐标，代入抛物线方程可得y1=2px1，y2=2px2.将两式相减，可以得到(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)。
进一步化简，得到(y1-y2)/(x1-x2)=2p/(y1+y2)。
这个公式在涉及斜率问题时非常有用，因为可以直接求出两个点的斜率kAB=2p/(y1+y2)。
对于中点M，设线段AB的中点为M(x,y)，则有x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.将这两个式子代入抛物线方程，可以得到y=2p(x1+x2)/2=px1+px2.进一步化简，得到2p(y-x)=2p(x1-x2)。
这个公式在涉及中点轨迹问题时非常有用，因为可以直接求出kAB=p/y。
当涉及弦长问题时，可以利用上述公式来求解。
例如，相交弦AB的弦长可以表示为AB=1+k^2(x1-x2)或AB=1+11/22Δ，其中Δ为三角形ABC的面积。
对于抛物线x^2=2py(p≠0)，同样可以利用上述公式来求解。
例如，在求解直线与抛物线相交的问题时，可以利用kAB=x1+x2/2p。
抛物线的标准方程及其几何性质
抛物线的标准方程 其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
﹒ ﹒ ﹒方程
焦点
准线
o
x
向右 向左
y 2 2 px ( p 0) y 2 px
2
p F ( , 0) 2 p F ( , 0) 2 p F (0, ) 2 p F (0, ) 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
pp （3）因为焦点在y轴的负半轴上，并且 22，p=4,所以 22 22
24 24
8y y． 所求抛物线的标准方程是 xx 8
练习1
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （3）2y2 +5x =0 （2）y=－2x2 （4）x2 －y =0
注意：求抛物线的焦点坐标一定要 先把抛物线的方程化为标准形式.
l N
M
· · F
如何建立直角 坐标系？
二、标准方程
设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， l N
y
M
由定义可知，
K o
· · F
x
p2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做
y
o
x
( p 0) x 2 2 py ( p 0) x 2 2 py ( p 0)
y
向上
o
x
﹒
o
y
x
向下
三、例题讲解： 2 2 y y 6 6x x ，求它的焦 例1 (1)已知抛物线的标准方程是 点坐标和准线方程； 2 2 6x x ，求它的焦点坐标和准 （2）已知抛物线的方程是 y 6 线方程； (3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程． 解：（1）因为焦点在x轴的正半轴上，p=3，所以焦点坐 3 3 3 3 . 0) ，准线方程是 x 标是 ( 2 ,,0) 2 2 2 1 1 2 2 （2）因为抛物线的标准方程 x y y，焦点在y轴的正 6 6 1 1 1 1 p 半轴上， ，所以焦点坐标是 (0, p 12 ( 0, ))，准线方程是 24 24 1 112 是 y y .
抛物线标准方程性质
3.以y 2 px为例，Ax1 , y1 , Bx 2 , y2
AB AF BF AM BN
y 2 4 x p 2 F (1,0)
p p x1 x2 x1 x2 p 2 2
M
y
A
直线AB方程：y 2( x 1)即y 2 x 2 代入抛物线得：（ 2 x 2) 2 4 x 化简得：x 2 3 x 1 0 则x1 x2 3 AB x1 x2 p 3 2 5
请同学们观察这样一个小实验？
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线L
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 L
（注意：F不在L上）
N
M
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线L叫做抛物线的准线。
· F ·
即:
MF ︳ ︳ 若 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ ︳ MN
抛物线标准方程的推导
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 L 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F（ 2 ，0），L：x =2 设动点M的坐标为（x，y） K o 由抛物线的定义可知， F
焦点
准线
x
向右
o
x 向左
y
向上
o
x
y
﹒
o
向下
x
抛物线的几何性质
1、范围 2、对称性 3、顶点 4、准线 5、离心率： e=1
抛物线的几何性质
有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点. y kx 1 [解]由 2 , 得k 2 x 2 2k 2 x 1 0, y 2x 1 当k 0时, 方程为 2x 1 0, x , y 1, 2 1 直线l与C只有一个公共点( ,1). 2
当k 0时, 2k 2 4k 2 8k 4.
2
1 当 0时, 即k 时, l与C有一个公共点. 2
专题二
直线与抛物线的位置关系
[规律技巧] 在判断直线与抛物线只有一个交点时,有两种情 况:①直线与抛物线的对称轴平行;②利用Δ=0,此时直线与 抛物线相切.
直线与抛物线的位置关系:最值的求法
拓展拔高： 在抛物线 2x-y-4=0的距离最小. 上求一点，使它到直线
解：设P(x,y)为抛物线 则P到直线2x-y-4=0的距离
2 2
上任意一点，
| 2x y 4 | | 2x x 4 | | (x 1) 3 | d 5 5 5
| AB | 2[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ] 2(36 4) 8.
专题二
直线与抛物线的位置关系
方法2 : 设A x1 , y1 , B x 2 , y 2 由抛物线的定义知, AF 等于点A到准线x 1的距离 | AA |, 即 AF AA x1 1,同理 BF x 2 1 AB AF BF x1 x 2 2 6 2 8.
抛物线的几何性质
复习
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l 叫做抛物线的准线.
N
抛物线的概念
题型一抛物线的定义及应用
例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
答案4
解析如图，
过点B作BQ垂直准线于点Q，
交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
C．x2＝8yD．x2＝16y
答案D
解析∵ － ＝1的离心率为2，
∴ ＝2，即 ＝ ＝4，∴ ＝3， ＝ .
x2＝2py(p>0)的焦点坐标为 ， － ＝1的渐近线方程为y＝± x，即y＝± x.由题意得 ＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.
3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
【知识拓展】
1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|＝x0＋ ，也称为抛物线的焦半径．
抛物线的性质
平面内与一个定点F和一条
定直线l(l不经过点F)的距
Hd
离相等的点的轨迹叫抛物
线. 点F叫抛物线的焦点,
准线
l
M·
焦点
·F
直线l 叫抛物线的准线
即:若 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. d
【四种形式抛物线的对比】
P：
焦 点 到 准 线 的
图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程 抛物线标准方程
|AB|=2p
利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.
2p越大，抛物线张口越大.
y
y2=2px
A p , p
2
2p
OF
x
B
p ,- p 2
6、 焦半径
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物
线的焦半径。
y
P
焦半径公式：
|PF|=x0+ p 2
OF
x
7、 焦点弦
4、 离心率
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比，叫做抛物线
的离心率。
y l
OF
x
由定义知， 抛物线y2 = 2px
(p>0)的离心率为e=1.
图形
方程
焦点
准线
范围
顶点
对称 轴
e
y
l
OF
y2 = 2px x （p>0）
F ( p ,0) 2
x- p 2
x≥0 y∈R
x轴
y
FO
l
y2 = -2px （p>0）
通过焦点的直线，与抛物 线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的焦点弦。
抛物线的定义和标准方程2
2 y1 2 3 y1 3
A
代入x12 y12 4 得 x1 1
0
x
A 1, 3 代入 y 2 2 px 得p 3 B 2
故抛物线方程为 y 2 3x
( 2 ) ：一次项的系数决定了开口 方向。
例1、与点A（1，0）和直线x-y-1=0距离相等 的点的轨迹是（） A、椭圆 B、双曲线、C、抛物线 D、直线
例2、点P到点F（0，3）的距离比它到直 线a：y=-4的距离小1，则点p的轨迹是( )
例3：填空：
（1）抛物线y=2x2的焦点坐标为_____，
抛物线及其标准方程
一、定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点 F 叫做抛物线的焦点。
定直线 l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
﹒ 图 形 y
焦点
ox
﹒y
﹒o x y
ox
﹒y o x
准线
标准方程
( 1 ) ： 一次项的变量如果为X（或 Y），则X轴（或Y轴）为抛物线 的对称轴，焦点就在对称轴上。
准线方程为
。
（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴且 过 (3,-2)的抛物线方程为：
_____原点，对
称轴为x轴且与圆 x2+y2=4相交的公共弦
长等于2 3，求抛物线的方程。
解：设抛物线方程为y2=2px或y2=-2px
(p>0),A(x1,y1),B(x2,-y1),(x1>0,y1>0) y
高三数学空间向量及立体几何-抛物线
抛物线1．抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l（l不过F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程的四种形式一条抛物线，由于它在平面直角坐标系内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程除220（）外还有其他几种形式：y px p=>222=-==->，，，．这四种抛物线的图形，标准方程，y px x py x py p2220焦点坐标以及准线方程如下表：对于抛物线的四种不同形式的标准形式的标准方程进行分析归纳，不难发现它们的异同点如下：（1）共同点：①定点都在原点；②焦点都在坐标轴上，开口方向都由一次项系数的符号来确定；③准线与焦点所在的坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，他们与原点的距离都等于一次项系数绝对值的14，即242p p =； （2）不同点：焦点在x 轴上时，方程左边为二次项2y ，右边为一次项2px ±，一次项系数为正数时，焦点在x 轴正半轴上，开口向右；一次项系数为负数时，焦点在x 轴负半轴上，开口向左．焦点在y 轴上时，方程左边为二次项2x ，右边为一次项2py ±．一次项系数为正数时，焦点在y 轴正半轴上，开口向上；一次项系数为负数时，焦点在y 轴负半轴上，开口向下． 3．求抛物线标准方程常用以下方法：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）定义法．4．抛物线的焦半径公式设点M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．由抛物线的定义可知：若点00()M x y ，在抛物线22(0)y px p =>上，则02p MF x =+； 若点00()M x y ，在抛物线22(0)y px p =->上，则02pMF x =-； 若点00()M x y ，在抛物线22(0)x py p =>上，则02p MF y =+；若点00()M x y ，在抛物线22(0)x py p =->上，则02p MF y =-．我们可以把抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离，这样解题方便、快捷．一般来说，涉及过焦点的直线与抛物线的焦点问题，利用焦半径公式来解较简单． 5．弦长公式若直线y kx b =+与抛物线相交于两点A 、B ，且12x x ，分别为A 、B 的横坐标，则AB =，12AB x =-=若12y y ，分别为A 、B 的纵坐标，则12AB y -=．考点一 抛物线及其标准方程例1.（2010·四川文）抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ）A ．1B ．2C ．D ．8例2．抛物线2x ay =的准线方程是x = 2，则a 的值为（ ）A ．-8B ．18-C ．18D ．8 例3．抛物线2104y x a a=≠（）的焦点坐标是（ ）A ．0a >时是(0)a ，，0a <时是(0)a -，B ．0a >时是02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，0a <时是02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(0)a ，D ．10a⎛⎫ ⎪⎝⎭，例4．已知抛物线的焦点坐标是(0，-3)，则该抛物线的标准方程为（ ）A ．212x y =-B ．212x y =C ．212y x =-D ．212y x =例5．（2011·广东文）设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为（ ） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆例6．抛物线2y x =-的焦点坐标为 ．例7．已知抛物线2y ax =过点114A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 ．例8．根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点到准线的距离是5；（2）焦点为直线240x y --=与坐标轴的交点；（3）焦点F 在y 轴上，(2)A m -，在抛物线上，且3AF =．例9．已知抛物线216x y =上的点M 到焦点的距离等于8，求点M 的坐标．10．已知P 是抛物线24y x =上一点，则点P 到直线230l x y -+=：和y 轴的距离之和的最小值是（ ）A B ．C ．2D 1例11．已知抛物线220y px p =>（）的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）A ．123||||||FP FP FP +=B ．222123||||||FP FP FP +=C ．2132||||||FP FP FP =+D ．2213|||||FP FP FP =⋅例12．已知点M 为抛物线24y x =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点N (2，3)，则||||MN MF + 的最小值为例13．已知点F 是抛物线26y x =的焦点，抛物线内有一定点A （2，3），P 是抛物线上的一动点，要使△P AF 的周长最小，则点P 的坐标是例14．已知点M 与点F （4，0）的距离比它到直线50l x +=：的距离小1，求点M 满足的方程．考点二 抛物线的简单性质例15．过点（0．1）且与抛物线2y x =只有一个公共点的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条例16．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 在抛物线准线上的投影分别为11A B ，，则11A FB ∠等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°例17．过抛物线220y px p =>（）的焦点作一条直线交抛物线于点1122()()A x y B x y ，，，，则1212y y x x =（ ）A ．4B ．-4C ．2pD ．2p -例18．已知直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，若||4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离为（ ） A ．74B ．2C ．94D ．4例19．若抛物线24y x =的焦点为F ，则经过点F ，M (4，4)，且与抛物线的准线相切的圆的个数为 ．例20．已知斜率为2的直线l 过抛物线20y ax a =>（）的焦点为F ，且与y 轴相较于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为 ．例21．已知焦点在x 轴上的抛物线，其通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）的长为8，求此抛物线的标准方程，并写出它的焦点坐标和准线方程．例22．已知抛物线220y px p =>（）有一内接△OAB ，O 为坐标原点，0OA OB ⋅=，直线OA 的方程为y = 2x ，且||AB =例23．已知抛物线220y px p =>（），过点E (0)0m m ≠，（）的直线交抛物线于点M ，N ，交y 轴于点P ，若PM ME PN NE λμ==，，则λμ+=（ ）A ．1B ．12- C ．-1D ．-2例24．已知直线()y k x m =-与抛物线220y px p =>（）交于A ，B 两点，且OA OB OD AB ⊥⊥，于点D ，若动点D 的坐标满足方程2240x y x +-=，则m =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例25．已知平面内一动点P 到点F (0，1)的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 做两条斜率存在且相互垂直的直线12l l ，，设1l 与轨迹C 相较于点A ，B ，2l 与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD EB ⋅的最小值．。
抛物线
（3） 开口方向不确定的抛物线方程的设法：焦点在 x 轴上，
y 2 mx(m 0) ；焦点在 y 轴上， x 2 my(m 0) 。
方程
y 2 2 px( p 0)
y
y 2 2 px( p 0)
y
x2 2 py( p 0)
y
x 2 2 py( p 0)
y 0, x R
p (0, ) 2 p y 2 | PF | y0 p 2
| PF | x0
对称轴 定点 离心率
x轴
(0,0)
e 1
y轴
焦点弦
p2 y1 y2 p , x1 x2 4
2
y
A'
A
| AB | x1 x2 p,
焦点弦长
x1 x2 2 x1 x2 p
1、 利用椭圆第一定义
x2 y2 1 上任意一点，F1 是椭圆的左焦点， 例1、 已知点 M 是椭圆 9 5
定点 A(1,1) ，求 | MF1 | | MA | 的最值。
y
M A F1
o
F2
x
1、 利用双曲线第一定义
x2 y 2 1 上任意一点（ M 在 例 2：已知 A(2,0), B(3,1), M 是双曲线 3
性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
证明：设 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，M 为弦 AB 中点，则过 A 的切线 方程为 y1 y p( x x1 ) ，过 B 的切线方程为 y2 y p( x x2 ) ，联立方 程组得
y1 y p( x x1 ) y y p( x x ) 2 2 2 y1 2 px1 y 2 2 px 2 2
第三讲 抛物线
第三讲抛物线2018.10.23一、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（F不属于l）的距离相等点的轨迹叫抛物线.定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫抛物线的准线。
注意：若定点F∈l，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为F.二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：①焦点在x轴正半轴上；②焦点在x轴负半轴上；标准方程：y2=2px(p>0)标准方程：y2=−2px(p>0)图形：图形：对称轴：x轴对称轴：x轴顶点：原点（0，0）顶点：原点（0，0）焦点坐标：(p2,0)焦点坐标：(−p2,0)准线方程：x=−p2准线方程：x=p2③焦点在y轴正半轴上；④焦点在y轴负半轴上；标准方程：标准方程：图形：图形：对称轴：对称轴：顶点：顶点：焦点坐标：焦点坐标：在此处键入公式。
准线方程：准线方程：三、抛物线中常用的结论：1.点P x0,y0与抛物线y2=2px p>0的关系；(以焦点在x轴正半轴为例)(1)点p在抛物线内（含焦点）y02<2px0.(2)点P、在抛物线上y02=2p x0.，(3)点P在抛物线外y02>2px0.2.焦半径抛物线上的点P x0,y0到焦点的距离称为焦半径.若y2=2px p>0,则焦半径PF=x0+p2，PF min=p2.3.p(p>0)的几何意义P为焦点到准线的距离，即焦准距，P越大，抛物线的开口越大.4.焦点弦若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，A x1，y1，B（x2，y2），则有一下结论：（1）x1∙x2=p24.（2）y1∙y2=−p2.（3）焦点弦长公式1：AB=x1+x2+p,x1+x2≥2x1∙x2=p，当x1= x2，焦点弦取最小值2p，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p.焦点弦长公式2：AB=2psinα（α为直线AB与对称轴的夹角）（4）。
抛物线知识点及相关题型
抛物线知识点1、掌握的定义 :平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。
定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线2、方程、图形、性质标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x pyp =-> 图形统一方程焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p (0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0)(0,0) (0,0) (0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =焦半径3、 通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为 ；4、 抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；5、 注意强调p 的几何意义： 。
方程及性质1、抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是x 轴,抛物线过点(5-,25),则抛物线的标准方程是( )=-2x =2x C. y 2=-4x =-6x2、抛物线的焦点到准线的距离是（ ）(A) 1 (B)2 (C)4 (D)83、抛物线的焦点坐标是_______4、抛物线的准线方程是_____________;5、设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。
6、过点(2,2)P 的抛物线的标准方程是____________.7、对于抛物线x y 42=上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是 A ．)0,(-∞ B ．]2,(-∞ C ．[0，2] D ．（0，2）o F x y lo x y F l x y o Fl8、设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若4-=⋅AF OA ，则点A 的坐标是（ ）A ．)22,2(),22,2(-B ．（1，2），（1，－2）C ．（1，2）D ．)22,2( 9、在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲大致是( )A ．B ．C ．D ．10、已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，双曲线22221x y a b-=和抛物线22y px = (p ＞0 )的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则（ ） A. e 1e 2＜e 3 ＝e 3 C. e 1e 2＞e 3 ≥e 3 抛物线曲线几何意义11、动点到点的距离与它到直线的距离相等,则的轨迹方程为____.12、已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切,则p 的值为 (A)12(B) 1 (C)2 (D)4 13、以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=014、点P 到点1(,0)2A ，(,2)B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．21或23D ．12-或2115、点与点的距离比它到直线的距离小1,求点的轨迹方程。
2.4.2抛物线的简单几何性质
（4）x2 +8y =0 准线方程
焦点坐标
（ 1） （ 2） （ 3）
（ 5， 0）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
（ 4）
（0，-2）
y=2
前面我们已经学习了椭圆,双曲线的性 质,你能说出抛物线的性质与它们的性质有 什么区别吗？
分析:经过上面的学习我们知道,抛物线只有 一个焦点、一个顶点一条对称轴、一条准线;它 没有中心.通常抛物线称为无心圆锥曲线，而椭
四.离心率：
同样 ，抛物线上的点M到其焦点的距离 和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率, 用e表示.由定义可知,抛物线的离心率为e=1.
例1：
已知抛物线关于x轴对称,它的顶点 在坐标原点,并且经过点M（2，-2 2 ）, 求它的标准方程.
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在 原点,并且经过点M（2,-2 2）,所以,可以设它的 标准方程为 y2=2px（p>0） 因为点M在抛物线上，所以（-2 2）2=2p· 2， 即 p=2. 因此,所求的抛物线的标准方程为y2=4x
3x2-10x+3=0，
M
例3：
如图,直线y=x-2与抛物 线y2=2x相交于A,B两点,求 证:OA⊥OB.
O
y
●
B
F
x
A
（x-2）2=2x. 证明：将y=x-2代入y2=2x中，得 则 y=3± 5 -2=1± 化简得 x2-6x+4=0， 解得x=3± 5 ， 5
1+ 5 1因为k OB= ，k OA= 3+ 5 31 + 5 1所以k OB ·k OA= × 3+ 5 3所以OA⊥OB.
抛物线
抛物线复习知识清单：1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
即│MF│= d (其中的d为M到准线l 的距离)注：定点F必须在定直线l外，否则轨迹为过点F且垂直于l的直线。
2. 抛物线的标准方程与几何性质：设|KF|=p（p>0）（即p为焦点到准线的距离，叫做焦准距），则抛物线的标准方程及焦注：对比以上四种形式的标准方程，易得出记忆四种类型抛物线的标准方程的方法：（1）方程中含有两项，一项为二次项，另一项为一次项；（2）若一次项为x，则焦点在x轴上；若一次项为y，则焦点在y轴上；（3）若一次项的系数为正数，则焦点在相应的正半轴上；若一次项的系数为负数，则焦点在相应的负半轴上。
（4）设抛物线方程为y2=mx (m不等于0)，则焦点为（m/4 ，0），准线为x=－m/4其它方程形式相似3. 通径：过焦点且与对称轴垂直的弦，长度为2p4. 关于抛物线的焦点弦：设抛物线的焦点，是过的抛物线的一条弦（称之为焦点弦），y px p F AB F 220=>()设（，），（，）。
A x y B x y 1122则|AB|=x 1+x 2+p ，且通径是所有焦点弦中最短的一条。
一、选择题1. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点（1，-1）的抛物线方程是（ ）A. y x 2= B. y x 2=- C. y x x y 22==-或 D. x y 2=-2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点（m ，-2）到焦点的距离为4，则m 等于（ ） A. 4 B. -2 C. 4或-4 D. 2或-23. 抛物线y m x=21的焦点坐标为（ ）A. 04，m ⎛⎝⎫⎭⎪B. 04，-⎛⎝ ⎫⎭⎪mC. 014，m ⎛⎝ ⎫⎭⎪D.014，-⎛⎝ ⎫⎭⎪m 4. 过抛物线y x 24=的焦点F 作弦AB ，若AB 坐标为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）且x x 126+=，则|AB|=（ ） A. 4B. 6C. 8D. 105. 已知A （3，2），F 为抛物线y x 22=的焦点，点P 在抛物线上移动，为使||||PA PF +取得最小值，则P 的坐标（ ）A. （0，0）B. 121，⎛⎝ ⎫⎭⎪C. ()12， D.()22，6. 直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且线段AB 的中点横坐标为2，则k 的值是（ ）A. 1-B. 2C. 1-或2D. 以上都不是7. 动圆M 经过点A （3，0）且与直线l ：3-=x 相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（ ）A. x y 122=B. x y 62= C. x y 32= D.x y 242= 8. 已知直线l 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为（8，8），则线段AB 的中点到准线的距离是（ ）A. 425B. 225C. 825D. 259过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，若线段，的长分y x =142F P Q PF FQ别为、，则等于（）m n m n11+A.14 B. 12 C. 1 D. 210. 抛物线y px p 220=>()上一点的横坐标为6，这点的焦半径为10，则焦点到准线的距离为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 3211. AB 是过抛物线y px p 220=>()的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A. p 2B. pC. 2pD. 4p12. 过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A B 11、，则∠A FB 11等于（ ） A. 23πB. π2C. π3D. π413. 已知AB 是抛物线x y 42=的焦点弦，其坐标A （1x ，1y ）B （2x ，2y ）满足21x x +=6，则直线AB 的斜率是（ C ）A.21±B.22±C. 1±D. 2± 14. 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A （1x ，1y ）B （2x ，2y ），则2121x x y y 的值一定是（ ）A. 4B. 4-C. 2pD. 2p -15. 抛物线x y 42-=关于直线02=-+y x 对称的曲线的顶点坐标是（ ） A.（0，0） B.（2-，－2） C.（2，2-） D.（2，0） 16. 抛物线x y =2上的点到直线042=+-y x 的距离最小的点是（ ）A.（21,41）B.（23,49） C.（1，1） D.（4，2）17. 已知抛物线)0(22>=p px y 上有一点M （4，y ），它到焦点F 的距离为5，则OF M ∆的面积（O 为原点）为（ ） A. 1 B.2 C. 2 D. 22二、填空题18. 抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，它上面的点（m ，-3）到焦点的距离为5，则m=________，抛物线方程为___________。
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抛物线的焦点到准线的距离（p>0）
思考2：方程的特点？
(1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点所在的轴. p前面的正负号决定开口方向.
知识应用：
例题： （1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它 3 的焦点坐标及准线方程； 3 x
F ( ,0 ) 2
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
课堂小结：
1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式; 3.p的几何意义是:
焦点到准线的距离
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
2
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求 抛物线的标准方程. 2
x 8 y
变式训练： 若抛物线的标准方程是 x = 6y 2 ，求它的焦 点坐标及准线方程
巩固练习：
根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）； y2
（2）准线方程 是x = ；
=12x y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。
M
· ·F
探究点二：抛物线标准方程
问题二
设点F到直线l的距离为p （p>0)， 如何建立坐标系， 才能使抛物线的方程更简单？
l H
y
M
K
p的几 何意义
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
· · F
x
问题三
（1）若定点F在定直线的l左侧呢？
（2）若定点F在定直线的l上方呢？
（3）若定点F在定直线的l下方呢？
l
F
·
l
﹒
F
﹒
F
l
探究点三：四种抛物线的对比
问题引入：
如图，你能在平面内找到一个点，使 得它到定点F和定直线l 的距离相等吗？
l
M F
学习目标：
1、掌握抛物线的定义及焦点、准线 的概念与其标准方程；
2、会求简单的抛物线的方程.
探究点一：抛物线定义
问题一
抛物线的定义是什么？ 平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。 焦点 H l 准线