数学建模比赛(新)

第六届安庆师范学院校内选拔赛

承诺书

我们仔细阅读了安庆师范学院校内选拔赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：B

我们的参赛队号为（务必填写准确）：14009

“大球时代”乒乓球直径与赛事观赏性

摘要

2000年，国际乒乓球联合会（简称国际乒联）将国际乒乓球职业赛事中的官方用球直径由38mm增加至40mm。其宗旨在于进一步增加球在空中运行中的空气阻力，减缓比赛中球运行的速度，从而达到进一步增加和丰富乒乓球职业运动员击球技术和技巧的目的，最终增加乒乓球赛事的整体观赏性。然而自乒乓球“大球时代”到来迄今为止，关于用球直径的争议始终未有停止。国内外各界教练和运动员褒贬不一。值得注意的事，由于职业运动员身高，打球习惯，握拍习惯的不同，其对球直径变化的敏感度也颇有差异。

本问题要求我们讨论乒乓球直径对赛事观赏性，关于乒乓球直径选择对赛事观赏性是否有很大关系，将乒乓球直径由38mm增加至40mm，进一步增加球在空中运行中的空气阻力，减缓比赛中球运行的速度，从而达到进一步增加和丰富乒乓球职业运动员击球技术和技巧的目的，又因职业运动员身高，打球习惯，握拍习惯的不同，其对球直径变化的敏感度也颇有差异。所以综上问题要求我们对乒乓球直径产生的各种问题进行综合分析，讨论乒乓球直径与赛事观赏性是否有关系。当前的比赛用球直径是否较之“小球时代”提升了运动员的体验质量和观众的观赏质量？并提出自己通过专业软件得出的最佳乒乓球直径的长度。

关键字：运动员身高、打球习惯、握拍习惯、空气阻力、；落点分布、击球力度、乒乓

球角速度大小。

问题重述

1．问题分析

乒乓球的直径由以前的38mm改为现在的40mm，质量、体积变大了，使得球速变慢，旋转减缓，增多了比赛的回合，带来了更丰富的技术展现，本题主要在乒乓球运动受力、空中运动曲线、以及乒乓球在球台落地点分布区、击打乒乓球在不同直径情况下对球角速度及旋转数四种情况下研究问题，联系实际，主要考虑因素有空气阻力、受力大小等因素。为达到最佳观赏性，主要按照球员对乒乓球运动速度所带来的拍球回合增多，确定出最佳乒乓球直径。利用matlab、spss、lingo做出相应模型可以初步推断出乒乓球不同直径对球员以及比赛观赏性影响。

2．定义、假设和符号说明

定义：粘滞系数：又称“内摩擦系数”。流体粘滞性大小的量度。...不同流体的粘滞系数的差异很大，气体的粘滞系数随温度升高而增大，液体则相反。其SI单位是帕斯卡·秒：

雷诺数：雷诺数是流体惯性力与黏性力比值的量度，它是一个无量纲量。

马格努斯力：以他的发现者马格努斯命名，是一个流体力学当中的现象，是一个在流体中转动的物体(如圆柱体）受到的力。

升力就是向上的力，也就是向上的力大于向下的力，其合力可以使物体上升。这个力就是升

力。

阻力妨碍物体运动的作用力，称为“阻力”，又称后曳力。侧压力侧向受到的压力

假设：

1、击球角度引起的乒乓球落脚点分布。

2、击球力度对球速的影响。

3、直径不同产生的空气阻力不同，引起的球速大小不同。

4、球速不同引起运动员反应能力的判断产生不同。

5、旋转角速度不同对运动员的击球判断产生误差。

符号说明：

ρ为空气密度

A为乒乓球的横截面积

表示乒乓球所受马格努斯力

C为与乒乓球集合形状有关的阻力系数

D:乒乓球直径、

ω旋转角速度

ρ空气密度

ν相对球而言的流速

G表示乒乓球所受重力

R空气阻力

η空气粘直系数

v球体向前平动速度

Rg雷诺数

2）模型建立

（1）模型一

乒乓球运动分析

乒乓球在空气中受到三个力作用。如图：

（1）重力G=mg。

在乒乓球飞行的过程中，将始终受到重力的影响，方向竖直向下；

（2）空气阻力R。

因为乒乓球的直径为D旋转速度为ψ，空气粘直系数为η（如表1），空气密度ρ，

球体向前平动速度为v，球体受到空气阻力与平动速度的关系取决于雷诺数Rg。

表1不同温度下空气粘滞系数

作为估计，取η=18.1×0.000006Pa

所以，雷诺数：

故阻力的大小与平动速度v的平方成反比。

令

其中，ρ为空气密度，A为乒乓球的横截面积，C为与乒乓球集合形状有关的阻力系数，取C=0.2.

因此，以上公式可以简写为：

（3）乒乓球旋转造成的马格努斯力

乒乓球在空气运动过程，可以看做在分布均匀的球体在流体中的运动过程。一般来说，在流体中的物体运动要受到升力、阻力和侧压力等作用。具体来说，就是当乒乓球旋转时，在其周围大附面层内产生了环流，前方来流和环流共同作用的结果就是在来流和环流同向的一侧流速加快，在反方向的另一侧，流速减慢。根据伯努利原理，流速加快的一侧毅力下降，流速减慢的一侧压力升高，两侧的压力差对乒乓球产生侧向作用称为马努斯力，该力作用方向与乒乓球的瞬间转轴垂直，且与乒乓球的运动方向垂直（如图1）。

因为乒乓球直径、旋转角速度、空气密度及相对球而言的流速分别为，由罗柯夫斯基环流理论，可求出马格努斯力：

因此