多项式回归

（0 z） 1
1(z)
zz
z
7 2
2
( z)
(
z
z
)2
N 2 1 12
(z
7)2 2
35 12
k 1
( z)
1 ( z )
k
k（2 N 2 k 2 )
4(4k 2 1)
k 1 ( z )
可见， j (z)一般为非整数
八章 多项式回归设计
若：x1(z) 11(z) 21(z)
编码，正交性
解出bj , 得回归方程
yˆ b0 b1x（1 z） b2 x（2 z） bp x（p z）
（一次项）（二次项） （p次项） 试验，求解，回代
解出bj , 得回归方程
八章 多项式回归设计
例8-1 寻找合金膨胀系数Y与成分a,b含量之和 Z（z = 37－43%）的关系方程。
1、确定Z水平间隔 1
j 系数，使x j (z)取整数值
八章 多项式回归设计
注：（1） z取值与z起点及水平间隔无关
（2）z取等水平间隔，但（j z）不一定为整数， 故令：x j (z) j (z) 合理选取 j ,可使x j (z)取整数
例：z取等间隔＝1时，设N＝6
八章 多项式回归设计
由Fisher递推公式：
10 3
3
1
4
3
1
j (z)
x1 ( z ) x2 (z) x3 (z) x4 (z)
20 4 20
八章 多项式回归设计
注：（1）表中N 2时，11z 21,1 2
（2）2S x j2
（3）满足正交性
xj xh
xj
0
0
八章 多项式回归设计
8.2 单元多项式回归 回归模型
E( y) 0 1z p 2z p1 p z
1
1
1
36 6 1.9
0
2
1
39 9
1
1
八章 多项式回归设计
2、回归系数的个数
q b1 b2 b3 3 3 2 18( 项 ) N 18
3、试验方案
b1 ,b2,b3全面试验 x j ( z ) 试验方案计算表
见表8-4
八章 多项式回归设计
试验方案
N0 z1 z2 z3
1
1
1
1
2
1
3、方案设计
(1)第1列安排x0( z )
(2)将11，
2
，
2
33
2、3、4列，
得表8 -1
(3)安排零点试验m0 4 Se、S lf
不能进行整体设计
八章 多项式回归设计
八章 多项式回归设计
4、数据处理
（1）计算可在表上进行
（2）若不便做m0重复试验
SR Se
fR
fe
(3)用R
SR S
100%,估计失拟误差
1 -1 1 -1 1 1
1 -1 1 -1 1 1
1 -1
1
0 -2 0
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
-1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 -2 -2 -2 -2 -2 -2 1 1 1 1 1 1
0 1 1 -1 -1 0 0 1 1 -1 -1 0 0 1 1
1
2
3
1
2
1
4
1
2
2
5
1
3
1
6
1
3
2
7
2
1
1
8
2wk.baidu.com
1
2
9
2
2
1
10 2
2
2
11 2
3
1
12 2
3
2
13 3
1
1
14 3
1
2
15 3
2
1
16 3
2
2
17 3
3
1
18 3
3
2
x1( z1 )x1( z2 ) x1( z1 )x2( z2 )
ψ 0 x1( z1 ) x2( z1 ) x1( z2 ) x2( z2 )
（0 z） 1
1(z)
z
z
2
( z)
(
z
z
)2
N 2 1 12
( z)
k 1
1(z) k
k（2 N 2 k 2 4(4k 2 1)
)
k
1
(
z)
八章 多项式回归设计
式中：
z 自然因素水平 z z的各水平均值 z z1 z p
2 j z的水平间隔，一般取等间隔
j zi1 zi N 试验次数，N p 1 p 因次数
满足正交条件：
x j (zij ) 0 xh (zij )x j (zij ) 0
则称该多项式为正交多项式组 其中：
a10 , a20 , a21 ap0 , ap( p1) 待定系数 p－p次多项式
八章 多项式回归设计
常用多项式组： 1、Fisher递推公式
令 x j (z) j j (z)
x2 (z)
2 1 ( z )
3 2
1
(
z
)
即：1 2
2
3 2
则x j (z)将变为整数
计算得各次
列于正交多项式表中
j
八章 多项式回归设计
2、正交多项式表（附录五）
N 2 N 3
N 0 21 1 3 2
1 1 21 3 4
2S 2
1 1 0 2 11
26
N 4
N
21 2
3 1 1 1
1 1 31
八章 多项式回归设计
设计步骤：
1、 按回归关系p, 划分z j水平b, x j(z)
b p 1
2、 由回归系数q个数 N
N q bC ( 全部回归系数) 由b,N 全面试验 3、 x j(z) 全面试验 试验方案
八章 多项式回归设计
例8-2 求合金膨胀系数y与成分z1,z2,z3的关系，其 中z3为线性关系，且与其它因素间无交互作用。
5、回归方程转换 方程回代：如何回代？
八章 多项式回归设计
xj( z ) λjψ j( z )
λ0 1
(1
)λλ12
1 1
λ3 1 / 6
由N 7, 1,z 40
ψ0 1
(2
)ψ1 ψ2
z z
40 2 80
z
1596
ψ3
代入式（8-9）,得回归方程。
八章 多项式回归设计
8.3 多元正交多项式回归设计 对p元多项式回归 关键：如何构建正交多项式计算表？ 方法：若求全部回归系数 正交多项式+全面试验=正交多项式计算表
N z2 z1 1 43 37 1 7
1
2、 选正交多项式组x j z 选 x j z j z 时
1)设定y ~ x关系， 回归模型为p次 2） N x j( z j )
八章 多项式回归设计
如本例最多可回归 P= N-1 =6 次 设回归三次关系，P=3
则：N
11，
2
，
2
33，
见附录五
-2 0 1 -1 1 -1 10 10 -2 0 -2 0 10 10 1 -1 1 -1 -2 0 -2 0 11 11
1、z
、z
1
做二次回归
2
b1 b2 2 1 3
z3做一次回归
b3 11 2
由此确定z及xj(z),见表8-3
八章 多项式回归设计
表8-3, z及xj(z)水平,
N 3
N 2
z1% z2 % z3 % x1(z1), x1(z2 ) x2 (z1), x2 (z2 ) x1(z3 )
33 3 0