第三章动量矩定理

◆质点系对轴的动量矩
Lx Ly Lz
M M M
x ( mi vi ) y ( mi vi ) z ( mi vi )
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O动量矩的矢量和，一般用Lo表示。 质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
例 已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不计， 直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕轴AB以 匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。 解：vC rC l sin vD 质点C对点O的动量矩为：
M o (mv) mvCl ml sin
2
方向垂直CD
J mrL2
L γ B r LA A β O α
x
r (OA) (OB )
2 L 2
2
y
由矢量投影定理得
OB x cos y cos z cos
因 ( OA ) x y z ，故
2 2 2 2
r ( x y z ) ( x cos y cos z cos )
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等 于作用于质点上的力对同一点的力矩。
B 固定轴
d M O (mv ) M O ( F ) dt
将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和 对轴动量矩公式可得 d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv) M y (F ) dt d M z (mv) M z (F ) dt 质点对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用
2 在工程中，常将转动惯量表示为 J z m z
z 称为回转半径或惯性半 径
其物理意义：相当于将质量集中与一点， 该点距轴的距离为ρz 影响转动惯量大小的因素 ● 整个刚体质量的大小。 ● 刚体各部分的质量分布。 ● 转轴的位置。
简单形状匀质刚体的转动惯量
A 匀质细杆对z轴的转动惯量：
同样质点D对点O的动量矩为：
Lo
2
M o (mv) ml sin
方向同上
故有：
Lo 2ml sin
2
若考虑杆子的质量，则需要进行积分。
3.平动刚体对固定点的动量矩 设刚体以速度 v平动，刚体内任一点 A的矢径
是 ri ,该点的质量为mi，速度大小是 vi 。
该质点对点O 的动量矩为 MO(mivi) = ri ×mivi LO =∑ MO(mivi) = ∑ ri ×mivi 因为刚体平动 v i= v = v C
mi ri mi rri rc rc 0 M M 定系 动系 Mvc mi vi mi vri 0
rC
C
x'
rr
O
质点系内任一质点A的绝对速度 v=ve+vr=vc+vr ,则 质点系对固定点O的动量矩
x

ห้องสมุดไป่ตู้
(r
LO
C
mi vi )
(r m v ) [(r
§3-1 动 量 矩 §3-2 动量矩定理
动 量 矩 定 理
§3-3 刚体的定轴转动微分方程
§3-4 相对于质心的动量矩定理 §3-5 刚体的平面运动微分方程
§3-1 动量矩
1.质点动量矩的计算
◆质点对点的动量矩：
M O ( mv ) r ( mv )
◆质点对轴的动量矩
M x (m v) [ M O (m v)]x y (m vz ) z (m vy ) M y (m v) [ M O (m v)]y z (m vx ) x(m vz ) M z (m v) [ M O (m v)]z x(m vy ) y (m vx )
ri mi v C )

(m r ) v
i ri

0
rC
0 则上式可以写为
x
C
vC
y'
O
y
rC mi vC (rri mi vri ) rC mi vC LC
LC —— 质点系相对质心C 的动量矩
LO rC mvC LC
只适用于质心
那么LC如 何求解？
Jz

m
0
R 2 dm mR2
z R
J z mR2
C 匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：
mi 2π ri dri A m 式中： A 2
J z r 2 dm r 2 2rdr


0
R
πR
1 1 4 1 2 J mR 2 2 R MR z 2 4 2
质点对点的动量矩是矢量，大小为 DOMD 面积 的两倍，矢量从矩心 O 画出，其方位垂直于质点矢 径 r 和动量 mv 所组成的平面，指向按右手规则确定 ；质点对轴的动量矩等于对点的动量矩矢量在相应 轴上的投影，对轴的动量矩是代数量。
2.质点系动量矩的计算
◆质点系对点的动量矩：
LO = ∑MO(mivi) =∑r mivi
于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数和。
质点对定点的动量矩定理在三个坐 标轴的投影方程不独立
质点在有心力作用下的运动 若质点在运动过程中始终只受到指向某固定 点的力的作用，称该质点在有心力作用下运动。
d M O (mv ) M O ( F ) dt
（行星）绕太阳，月亮绕地球运动等，都属 于这种情况。 力的作用线恒通过定点，因此力F对于该点 的矩恒等于0，于是质点动量矩守恒，即动量矩 大小和方向不发生变化，方向不变说明mv和r始 终在一个平面内且质点绕相同的方向运行； mvr大小不变，说明vr若大小不变，若r小则v大。
对通过杆端O并与曲杆面垂直的轴Oz的转动惯量。
解： J z J OA J AB
1 m 2 J OA ( a )a 3 a b
O a
C A
2 1 m mb b J AB ( b) b 2 ( )( a 2 ) 12 a b ab 4
b
B
刚体对任意轴的转动惯量· 惯性积和惯性主轴 设Oxyz是固连在刚体上的坐标系，轴线OL与坐标 轴x，y，z的夹角用，β，γ表示 。 z 刚体对轴OL的转动惯量
例 试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。
把单摆看成一个在圆弧上运动 解： 的质点 A ， 设其质量为 m ，摆线长 l 。
i
(r
i i
C
rri ) mi vi ]
ri mi v C )
(r
ri mi v ri )
LO
(r
C
mi vi )
(r
mi vC
C
ri mi v C )
z
(r
z' A rr x' vC
ri mi v ri )
vr
v
(r
(rC mi vi ) rC
解: LO rC mvC LC ω θ
B A
O
1 LO ml mR2 2 2
2
LO l mvA LA LO l ml J A A
ω
LO m( R 2 l 2 )
若轮B有相对杆OA的角速 度－ω 。求圆盘对轴O的 动量矩。
解: 匀质圆盘B平移
D 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量：
圆板对于 x与y轴的转动惯量相等： Jx J y
J z mri m ( x i yi ) mx i my i
2 2 2 2 2
1 1 2 即： J z J x J y mR , J x J z 2 2
E 转动惯量的平行轴定理
O
A
mivi
ri
LO =∑ MO(mivi) = ∑(miri )×vC 又因为 (∑mi )rC = ∑miri 所以 LO = ∑mi rC ×vC=rC× ∑mi vC
4.定轴转动刚体对转轴的动量矩 由动量矩定义得：
Lz M z (mi vi ) mi vi ri miri ri mi ri J z

2
mi ( x i2 yi2 ) 2d mi yi d 2 mi
mi yi myC 0
J z J zC md
（1）简单—查表 转动惯量的计算： （2）规则形状组合—叠加 （3）形状复杂—实验 例：图示为一简化钟摆，已知均质细杆和均质圆盘 的质量分别为m1和m2，杆长l，圆盘直径为d。求摆对 经过悬挂点O的水平轴的转动惯量。 解：
J zC mi ri2 mi ( xi2 yi2 )
2 J z mi ri2 mi ( x'2 y i i )
xi xi , yi yi d
J z mi x i2 ( yi d ) 2
i 2 i
m x

yi2 2dyi d 2
rO1O mvO mr 2ω
LO1 3 mr 2 ω 2
思考题
行星齿轮机构在水平面内运动。质量为 m1 的均质曲
柄 OA 带动齿轮 II 在固定齿轮I 上纯滚动。齿轮 II 的质 量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴 O的动量矩。 解: v A ( r 1 r 2 ) O r 22
2
A
Ⅱ
0
r1
O
P
α Ⅰ
r2
r1 r2 2 0 r2
LO rC mvC LC
LO (r1 r2 ) m2v A J A 2
思考题
长度为l，质量不计的杆OA与半径为R、质量为m的 均质圆盘B在A处铰结，杆OA有角速度ω ，轮B有相对杆 OA的角速度（逆时针向）。求圆盘对轴O的动量矩。
2
其中 ,Jz=∑miri2 称为刚体对转 轴的转动惯量。即：定轴转 动刚体对转轴的动量矩等于 刚体对于该轴的转动惯量与 角速度乘积。 只适用于定轴,不是转轴及点都不成立
常见刚体对轴的转动惯量
J z —刚体转动惯性的度量,是刚体内所有各点的质量 与其对该轴的转动半径的平方的乘积的总和。
J z mi ri2
思考题
如图所示一半径为 r的匀质圆盘在水平面上纯滚动 , 已 知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，质心O点 的速度为vO。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。 解: LO1 LO rO1O mvO
1 2 LO J O ω mr 2
y

vO
vO rω
r
O
x
O1
rO1O
O
ω
θ
B
A
LO l mvA 2 LO l ml ml
O
ω
若圆盘与杆固结
ω θ
B A
1 LO ( mR2 ml 2 ) 2
§3-2 动量矩定理
1. 质点动量矩定理 A 对固定点
MO (mv) r mv
d dr d M O (m v) mv r (mv ) dt dt dt r F M O (F )
2 L
2
2
2
2
5. 平面运动刚体对固定点O的动量矩 过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质
心C为原点，建立平动坐标系Cx y z, 质点系对固定
点O的动量矩为
z z' A vr v vC y'
LO rC mvC LC
LC (rri mi vri )
x
rC
C x'
J o ( J o1 J o 2 )
1 l 2 2 [ m1l m1 ( ) ] 12 2
1 d 2 d 2 [ m2 ( ) m2 ( l ) ] 2 2 2 1 3 2 2 2 m1l m2 ( d l ld ) 3 8
匀质曲杆OAB如图所示 。已知质量是m，求曲杆
rr
O
vC
y
LC —— 质点系相对质心C的动量矩 质点系对固定点O的动量矩计算公式
证明 过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心C为
原点，取平动坐标系Cxy z ,它以质心的速度vC 运动。
z
ri rc rri 质心的性质 vi vc vri
z' A
vr v vC vC y y'
z
l/2 l/2
C
x
x
dx
单位长度质量为 , m l dm dx
Jz
l/2
l / 2
x dm
2
l/2
l / 2
x 2 dx
1 3 1 l ml 2 12 12
1 J z ml 2 12
1 2 3 z l l 12 6
B 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：