高中数学人教B版高二数学选修2-1检测 4二面角及其度量

一、选择题

1．直线l 与平面α成45°角，若直线l 在α内的射影与α内的直线m 成45°角，则l 与m 所成的角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

【解析】 由最小角定理知，设l 与m 成θ角，则cos θ＝cos 45°·cos 45°， ∴cos θ＝1

2，∴θ＝60°.故选C. 【答案】 C

2．已知A ∈α，P ∉α，PA →＝(－32，1

2，2)，平面α的一个法向量n ＝(0，－1

2，－2)，则直线PA 与平面α所成的角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．150°

【解析】 设直线PA 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →

，n 〉|

＝

|0×(－32)－12×1

2－2×2|(－32)2＋(12)2＋(2)2·(－1

2)2＋(－2)2

＝3

2.∴θ＝60°. 【答案】 C

3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 的夹角为( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

【解】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD →

＝(0,1,0)．

取PD 中点为E ， 则E (0，12，1

2)， ∴AE →＝(0，12，12)，

易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →

是平面PCD 的法向量， ∴cos

AD →，AE

→＝22，

∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B

4．(2013·西安高二检测)一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )

A ．相等

B ．互补

C ．相等或互补

D ．无法确定

【解析】 举例说明，如图所示两个二面角的半平面分别垂直，则半平面γ绕轴l 旋转时，总有γ⊥β，故两个二面角大小无法确定关系．

【答案】 D

5．已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )

A ．60°

B ．90°

C ．45°

D ．以上都不对

【解析】 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．

由题意知，A 1(1,0,2)，E (1,1,1)，D 1(0,0,2)，A (1,0,0)，所以A 1E →

＝(0,1，－1)，D 1E →＝(1,1，－1)，EA →

＝(0，－1，－1)．

设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

y －z ＝0，

x ＋y －z ＝0.

令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0,1,1)， cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA

→

|n ||EA →|＝－22·2＝－1.

所以〈n ，EA →

〉＝180°.

所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°. 【答案】 B 二、填空题

6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正切值为______．

【解析】 连接B 1D 1，

∴B 1D 1为BD 1在平面A 1B 1C 1D 1内的射影，

∴∠BD 1B 1为BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角， 设正方体棱长为a ，则tan ∠BD 1B 1＝a 2a

＝22. 【答案】 2

2

图3－2－24

7．如图3－2－24，在三棱锥O －ABC 中，OA ＝OB ＝OC ＝1，∠AOB ＝90°，OC ⊥平面AOB ，D 为AB 的中点，则OD 与平面OBC 的夹角为________．

【解析】 ∵OA ⊥平面OBC ， ∴OA →

是平面OBC 的一个法向量． 而D 为AB 的中点，OA ＝OB ， ∴∠AOD ＝〈OD →，OA →

〉＝45°.

∴OD 与平面OBC 所成的角θ＝90°－45°＝45°. 【答案】 45°

8．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.

【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧

－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，

即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝(a 3，a

4，1)． 而cos 〈n ，u 〉＝

1a 29＋a 2

16＋1

＝22，

又∵a ＞0，∴a ＝12

5. 【答案】 12

5 三、解答题

图3－2－25

9．在底面为平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ，E 是PD 的中点，

求：二面角E －AC －D 的大小．

【解】 如图以A 为原点，以AC 、AB 、AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．

设PA ＝AB ＝a ，AC ＝b .

连接BD 与AC 交于O ，取AD 中点F ， 连接OE ，OF ，EF ，

则C (b,0,0)，B (0，a,0)，BA →＝CD →. ∴D (b ，－a,0)，P (0,0，a )． ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，－a 2，a 2，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫

b 2，0，0，

OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，AC →

＝(b,0,0)，

∵OE →·AC →＝0，

∴OE →⊥AC →，OF →＝12BA →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，－a 2，0，OF →·AC →＝0，∴OF →⊥AC →.