第五章 相似理论与量纲分析

第五章相似原理与量纲分析仅仅依靠理论知识，一般是很难确定与流体流动相关的所有参变量是如何相互联系的。在确定函数、关系式、以及某些参变量与自变量的关系时，常常采用实验研究的方法。鉴于完整描述流体流动的变量数较多，需要进行的实验数目将是相当惊人的。然而，利用量纲分析与相似原理，可以大大减少需要进行实验的数目。

涉及到流体力学的大多数工程问题的求解，都依赖于实验所获得的数据。在很多情况下，经验数据已经足够满足工程师们的一般设计需求，这些数据，例如管道的阻力系数与钝头体的阻力系数，可以通过学术期刊及教科书查到。然而，在许多问题中，要么是引导流动的几何结构太特殊、要么是流动本身太稀少，需要对结构不同尺度的复制品进行专门的实验，以预测流态与压强的变化。在进行这样的实验时，在实际工程设计中所采用的结构称为原型，复制品称为模型。基于经济的原因，模型一般比原型小很多。

5.1 相似原理与模型实验

5.1.1 几何相似、运动相似、动力相似

相似最基本的、或许也是最明显的要求，就是在几何上模型是原型精确的复制品，如图5-1所示。

.

Fig.5-1 Prototype and Model 原型与模型

定义：所谓几何相似，就是模型与原型有完全相同的形状，它们只是尺寸不同。

用下标m表示模型，下标p表示原型，定义长度比尺为

(5.1)

模型与原型之间对应的面积和体积有如下的比例关系

A

m

V

定义：所谓运动相似，指的是除了满足几何相似，在流动中所有对应点的速度之比相等。

速度比尺为

v (5.2)

由于时间在尺度上等于长度除以速度，所以时间比尺为

按同样的方法，加速度比尺为

流量比尺为

运动粘度比尺为

注：矢量相似要求：1）所涉及的矢量大小成比例，2）各矢量的方向相同。

定义：除运动相似外，如果两流动中对应的力成同一比例，则称该两流动动力相似。

即力比尺为

(5.3)

密度比尺可表示为

由于原型及模型流场的密度比尺是已知的，所以通常将密度比尺k ρ作为动力相似的基本比尺。按照惯例，常用比尺k l 、 k v 和 k ρ 来其他的动力学变量，称为基本相似比尺。例如，力比尺可以表示为k F =k ρ k l 2k v 2。

一般作用在流体上的力包括粘性力、压力（压差）、重力、弹性力、表面张力与惯性力等。其中，直接影响流动的力是惯性力，它是力图保持原有流动状态的力。而其它力是力图改变原有流动状态的力，称主动力，是流体受到的外力。流动的变化就是惯性力与主动力之间相互作用的结果。相似准则实际就是惯性力与某单项主动力成比例的动力相似。它是模型设计和试验的基本依据。前五种力与惯性力的比尺分别表示如下：

惯性力与粘性力比尺

(5.4a)

惯性力与压力比尺m(5.4b) 惯性力与重力比尺(5.4c) 惯性力与弹性力比尺(5.4d) 惯性力与表面张力比尺(5.4e) 上述五个方程中，每个方程都代表了一个动力相似准则。5.1.2 动力相似准则根据牛顿第二定律，可以建立各比尺间的关系。由于(5.5) 其可表示为' 将外力合力与惯性力之比定义为牛顿数(5.6) 要使模型与原型流动相似，就要求模型与原型的牛顿数必须相等。这称为牛顿相似准则，即

(N(5.7) 1.粘性力相似准则仅考虑粘性力时，由于惯性力ma 与ρVv/t，也就是ρl2v2成正比，而粘性力与μl2v/l=μlv成正比，得即ρ或

v(5.8) 定义一个称为雷诺数的无量纲量为(5.9) 式中l由主要影响流动的线性尺寸确定，如管道的直径、板的长度等。雷诺数表征了惯性力与粘性力之比。在粘性力是主导因素的情况下，当(Re)m=(Re)p时，就达到动力相似。2.压力相似准则由方程(5.4b)，得简化上述方程，得(5.10) 定义一个称为欧拉数的无量纲量为(5.11) 欧拉数表征了惯性力与压力之比。在压力是主导因素的情况下，当(Eu)m=(Eu)p时，就达到动力相似。在大多数的工程应用中，经常用压差来取代压力。因此，欧拉数变为

此外，工程中有时还采用压强系数C p( )，它也具有欧拉数的

意义。

3.重力相似准则

同样，由方程(5.4c)，得

(5.12)

定义一个称为佛雷德数的无量纲量为

(5.13)

佛雷德数表征了惯性力与重力之比。在重力是主导因素的情况下，当(Fr)m=(Fr)p时，就达到动力相似。

4.弹性力相似准则

当可压缩性比较重要时，就要考虑惯性力与弹性力的比值。由方程(5.4d)，得

或(5.14)

式中K为体积弹性模量。定义一个称为柯西数的无量纲量为

(5.15)

柯西数表征了惯性力与弹性力之比。在弹性力是主要考虑因素的情况下，当(Ca)m=(Ca)p时，就达到动力相似。

在处理气体流动问题时，常用马赫数取代柯西数。用c表示音速，体积弹性模量可表示为

(5.16)

代入方程(5.14)，得

定义一称为马赫数的无量纲量为

(5.17)

马赫数是流体速度与在同一介质内声波速度的比值。在速度接近或超过当地

音速时（常常出现在气体动力学分析中），马赫数是最重要的参数。

5.表面张力相似准则

在某些流动中，表面张力比较重要。在这些情况下，由方程(5.4e)，得 (5.18) 定义一称为韦伯数的无量纲量为(5.19) 韦伯数表征了惯性力与表面张力之比。在表面张力是主要考虑因素的情况下，当(We)m =( We)p时，就达到动力相似。5. l. 3 相似条件相似条件是实现动力相似的充分必要条件。有三种相似条件：1.动力相似的流动满足相同的微分方程。2. 动力相似必须满足“单值”条件。单值条件将一个流动与其它流动区分开来，其包括几何条件、边界条件、物理性质条件与初始条件。3. 由各种变量构成的模型与原型的无量纲量是相等的。总之，当由关于单值条件的变量所组成的无量纲量相等时，对于同一种流态，将满足动力相似。5. l. 4 近似模型实验在工程中应力求做到完全相似，但实际上要做到这点是比较困难的，故一般可做到近似相似，即起主要作用的力相似，满足一定的精度要求即可。当两流动动力相似时，对各相似比尺存在某些限制。例如，由重力相似准则，对重力场中的流动，有k v=k l0.5如果在模型及原型中使用同样的流体，粘性力相似准则则要求k v=k l-1显然，这两个相似准则产生了冲突。随着所考虑的相似准则越多，产生的冲突也就越厉害。有时，这些矛盾使得根本就不可能进行有意义的模型实验。因而，在工程应用中，人们经常进行近似模型实验。这些近似实验是基于仅仅考虑主要的相似准则。Example 5.1 The dimensions of a workshop are l=30m, w=15m and h=10m respectively. The diameter of the ventilation inlet to the workshop is 0.6m, where the velocity of air is 0.8m/s. If the length scale ratio is 1/5, try to determine the size of a proposed model and its velocity of air at the inlet.

例5.1 一车间的尺寸分别为l=30m, w=15m 与h=10m。通风设备到车间的入口