考研数二历年真题(2016-2002)
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2016年考研数学二真题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+
→0x 时，若)(ln x 21+α
，α1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围
是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2
10 2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）x
x y 1sin
+= （D ）x x y 12
sin +=
3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤
4．曲线⎩⎨⎧++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）
5010（Ｂ）100
10 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2
2
x
x ξlim
（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
32 （Ｃ）2
1 （Ｄ）31
6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
02≠∂∂∂y x u
及0222
2=∂∂+∂∂y
u
x u ，则（ ）．
（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；
（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；
（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．
7．行列式
d
c d c b
a b a
00
00000等于 （A ）2
)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2
222c b d a +-
8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量
321ααα,,线性无关的
（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．
⎰
∞
-=++12
5
21
dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则
=)(7f ．
11．设),(y x z z =是由方程47
22=
+++z y x e
yz
确定的函数，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121,|dz ．
12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭
⎫
⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122
++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．
14．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围
是 ． 三、解答题 15．（本题满分10分）
求极限)
ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12
+--⎰+∞
→．
16．（本题满分10分）
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12
2
，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）
设平面区域{
}
00412
2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰
++D
dxdy y
x y x x )
sin(22π
18．（本题满分10分）
设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x
=满足x x e y e z y
z
x z 2222
24)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．
19．（本题满分10分）
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤⎰
0；
（2）
⎰⎰
≤⎰+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=
x x
x
x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞
→lim ．
21．（本题满分11分）