第十二章 无穷级数A同步测试卷

第十二章 无穷级数同步测试A 卷

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1．下列级数中，收敛的是（ ）

2100111111

()

22223++++++++A n 2111111()23100222

++++++++n B

211111

()(1)()()2222+++++++n C n

2111111

()(1)()23222

++++++++++

n D n

2．设

1

∞

=∑n

n u

为数项级数，下列结论中正确的是（ ）

1

()lim

,1+→∞=

1

()lim

,1+→∞==n n n

u B l l u ，级数发散.

1

()lim

,1+→∞

=

u C l l u ，级数绝对收敛. 1

()lim

,1+→∞

=

u D l l u ，级数条件收敛. 3．已知幂级数

1

∞

=∑n

n n a x

的收敛半径2=R ，则对幂级数

1

(3)

∞

=-∑n

n n a x 而言，下列的x 值

不能确定收敛或发散的是（ ）

()2()2()1()1==-=-=A x B x C x D x

4. 设常数0>k ，则级数

1

2

1

(1)∞

-=+-∑n n k n

n （ ）.

()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关.

5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0)

()2(2)

πππππ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩x f x x x ，

设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （ ）.

()

()()2()02

π

ππA B C D

二、填空题(每小题4分，共20分)

6. 级数

1

11

(

)23∞

=+∑n n

n 的和为 . 7. 幂级数

21

12(3)

∞

-=+-∑n n n

n n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数

1

211

1

(1)

2,5∞

∞--==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1

∞

==∑n n u .

9．将1

()2=

-f x x

展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a .

三、解答题(共65分)

11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为1

1

ln(1)(1)

∞

-=+=

-∑n n n x x n ，因此取2=x 得11

2ln 3(1)∞

-==-∑n n n n . 12. （8

分）讨论级数

∞

=n . 13. （8分）求级数2012!

∞

=+∑n

n n n x n 的和函数.

14. （8分）将2125()65-=

--x

f x x x 展开为x 的幂级数.

15. （8分）求极限212lim()(1)→∞+++>n n n

a a a a

.

16. （8分）利用对展开式1

1

(1)2sin +∞

=-=∑n n x nx n 逐项积分，求2x 在(,)ππ-内的傅里

叶级数.

17. （8分）已知2

2116π∞

==∑n n

，求10ln 1+⎰x dx x . 18. （9分）设有级数212(2)!

∞

=+∑n

n x n ，验证此级数的和函数()y x 满足微分方程

()()10''-+=y x y x ，并求幂级数212(2)!

∞

=+∑n

n x n 的和函数.

第九章 多元函数微分法及其应用同步测试A 答案及解析

一、单项选择题

答案详细解析

1. 解 利用级数的性质.

由于2100111222+++是常数，111

23++++n 发散，因此()A 发散.

由于11123100+++是常数，2111222

++++n 收敛，因此()B 收敛.

由于 211111

(1)()()2222+++++++n n

2111111

(1)()23222

=++++++++++n n

这是一个发散级数与一个收敛级数的和，因此()C 发散.同理，()D 发散. 故选()B .

『方法技巧』 本题考查无穷级数的性质.

『特别提醒』 增加或去掉有限项，不影响级数的敛散性；一个收敛级数与一个发散级数的和发散.

2. 解 比值审敛法只适用于正项级数，所以()A 不正确.事实上，令

(1)=-n

n u n ，11(1)(1)

lim lim 11(1)++→∞→∞-+==-<-n n n n n n

u n u n ，但级数1(1)∞

=-∑n n n 发散. 令21=n u n ，2

12

1

(1)lim lim 11+→∞→∞+==n n n n

u n u n ，但级数211∞

=∑n n 收敛，所以()B 不正确.

若11

lim

lim 1++→∞→∞==

u u l u u ，则级数1∞=∑n n u 收敛，因此1∞=∑n n u 绝对收敛. 故()D 不正确，选()C .

『方法技巧』 本题考查正项级数的比值审敛法及绝对收敛和条件收敛的概念.

『特别提醒』 比值审敛法只限于正项级数使用.

3. 解 由于1

∞

=∑n

n n a x 的收敛半径2=R ，则幂级数1

(3)∞

=-∑n n n a x 在32-

即15<x 或1

『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.

『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.

4. 解 由于 1

1122111

1(1)

(1)(1)∞

∞∞

---===+-=-+-∑∑∑n n n n n n k n k n n n 由比较审敛法 2lim 01→∞=>n k

n k n ，得1

21

(1)∞-=-∑n n k n 绝对收敛；而11

1(1)∞

-=-∑n n n 条件收敛，则级数 1

2

1(1)∞

-=+-∑n n k n

n 条件收敛，故选()B . 『方法技巧』 本题考查正项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念.