(人教版)数学必修五：1.1《正弦定理和余弦定理(1)》ppt课件教学文案
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(2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知任意两角与一边，求其他两边和一角．
②已知任意两边与其中一边的对角，求其他的边和角．
(3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方 法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判 断解的个数．
图示已知a、b、A，△ABC解的情况． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：
(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：
②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为 半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三 角形的个数，解的个数见下表：
A 为钝角 A 为直角 A 为锐角
a>b 一解
一解
一解
a＝b 无解
无解
一解
a>bsinA 两解
a<b 无解
无解 a＝bsinA 一解
1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理
第一章
1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之 和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对 ________，小边对________．
2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定 理，即________．
a<bsinA 无解
不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°.
[解析]
(1)sinB＝bsina120°＝45×
3 2<
23，
∴△ABC 有一解．
(2)sinB＝bsina150°＝1，∴△ABC 无解．
C．60°
D．60°或 120°
[答案] D [解析] 由正弦定理，得sianA＝sibnB， ∴sinB＝bsainA＝4 3×4sin30°＝ 23， 又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或 120°.
三角形形状的判断
的形状．
在△ABC 中，已知ac2osisnBB＝bc2osisnAA，试判断△ABC
外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1.
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R，
所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
2R＝sincC＝sin145°＝
2，得
R＝
2 2.
所以，b＝
22，△ABC
外接圆的半径
R＝
2 2.
3．解三角形
(1)定义：一般地，把三角形三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元 素的过程叫做解三角形．
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC 等于( )
A．3－ 3
B． 2
C．2
D．3＋ 3
[答案] A
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形
已知在△ABCwenku.baidu.com中，a＝2 3，b＝6，A＝30°，解 这个三角形．
[分析] 在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可运 用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
[方法总结] 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用 正弦定理求解，但要注意判定解的情况．在利用定理过程中， 要注意灵活使用三角公式及正弦定理的变形，如：c＝bssiinnBC＝ assiinnAC等．
已知△ABC 中，a＝4，b＝4 3，∠A＝30°，则∠B 等于( )
A．30°
B．30°或 150°
(3)sinB＝bsina60°＝190×
23＝5 9 3，而
35 2<
9
3<1，
∴当 B 为锐角时，满足 sinB＝593的 B 的取值范围为
60°<B<90°.
∴对应的钝角 B 有 90°<B<120°，也满足 A＋B<180°，所以
△ABC 有两解．
已知两角和一边解三角形
在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c＝2，解 三角形．
[分析] 由正弦定理，得 a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入已 知等式，利用三角恒等变换，得出角之间的关系，进而判断△ ABC 的形状．
[方法总结] 利用正弦定理判断三角形形状的方法： (1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为 角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确 定三角形的形状． (2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角 为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝ c2)，进而确定三角形的形状．
(4)sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC＝2R.其中，R 为 △ABC 外接圆的半径．
(5)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．
(6)角化边公式：sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR.
在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边 b 的长及△ABC
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已 知一边可由正弦定理求其它两边．
[方法总结] (1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①由三角形内角和定理求出第三个角； ②由正弦定理公式的变形，求另外的两边． (2)注意事项： 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是
定值；
④在△ABC 中，sinA B C＝a b C．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．正弦定理的变形形式 (1)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA， b＝assiinnAB＝cssiinnCB， c＝assiinnAC＝bssiinnBC. (2)sinA＝asbinB＝asicnC， sinB＝bsainA＝bsicnC， sinC＝csianA＝csibnB. (3)a:b:c＝sinA:sinB:sinC．
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
对正弦定理的理解： (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角 的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角 的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数 量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关 系的转化．
②已知任意两边与其中一边的对角，求其他的边和角．
(3)已知两边及其中一边对角，判断三角形解的个数的方 法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判 断解的个数．
图示已知a、b、A，△ABC解的情况． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下：
(ⅱ)A为锐角时，解的情况如下：
②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为 半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三 角形的个数，解的个数见下表：
A 为钝角 A 为直角 A 为锐角
a>b 一解
一解
一解
a＝b 无解
无解
一解
a>bsinA 两解
a<b 无解
无解 a＝bsinA 一解
1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理
第一章
1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之 和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对 ________，小边对________．
2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定 理，即________．
a<bsinA 无解
不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°.
[解析]
(1)sinB＝bsina120°＝45×
3 2<
23，
∴△ABC 有一解．
(2)sinB＝bsina150°＝1，∴△ABC 无解．
C．60°
D．60°或 120°
[答案] D [解析] 由正弦定理，得sianA＝sibnB， ∴sinB＝bsainA＝4 3×4sin30°＝ 23， 又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或 120°.
三角形形状的判断
的形状．
在△ABC 中，已知ac2osisnBB＝bc2osisnAA，试判断△ABC
外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1.
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R，
所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
2R＝sincC＝sin145°＝
2，得
R＝
2 2.
所以，b＝
22，△ABC
外接圆的半径
R＝
2 2.
3．解三角形
(1)定义：一般地，把三角形三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元 素的过程叫做解三角形．
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC 等于( )
A．3－ 3
B． 2
C．2
D．3＋ 3
[答案] A
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形
已知在△ABCwenku.baidu.com中，a＝2 3，b＝6，A＝30°，解 这个三角形．
[分析] 在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可运 用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
[方法总结] 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用 正弦定理求解，但要注意判定解的情况．在利用定理过程中， 要注意灵活使用三角公式及正弦定理的变形，如：c＝bssiinnBC＝ assiinnAC等．
已知△ABC 中，a＝4，b＝4 3，∠A＝30°，则∠B 等于( )
A．30°
B．30°或 150°
(3)sinB＝bsina60°＝190×
23＝5 9 3，而
35 2<
9
3<1，
∴当 B 为锐角时，满足 sinB＝593的 B 的取值范围为
60°<B<90°.
∴对应的钝角 B 有 90°<B<120°，也满足 A＋B<180°，所以
△ABC 有两解．
已知两角和一边解三角形
在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c＝2，解 三角形．
[分析] 由正弦定理，得 a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入已 知等式，利用三角恒等变换，得出角之间的关系，进而判断△ ABC 的形状．
[方法总结] 利用正弦定理判断三角形形状的方法： (1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为 角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确 定三角形的形状． (2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角 为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝ c2)，进而确定三角形的形状．
(4)sianA＝sibnB＝sincC＝sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC＝2R.其中，R 为 △ABC 外接圆的半径．
(5)边化角公式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．
(6)角化边公式：sinA＝2aR，sinB＝2bR，sinC＝2cR.
在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求边 b 的长及△ABC
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已 知一边可由正弦定理求其它两边．
[方法总结] (1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①由三角形内角和定理求出第三个角； ②由正弦定理公式的变形，求另外的两边． (2)注意事项： 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是
定值；
④在△ABC 中，sinA B C＝a b C．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．正弦定理的变形形式 (1)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA， b＝assiinnAB＝cssiinnCB， c＝assiinnAC＝bssiinnBC. (2)sinA＝asbinB＝asicnC， sinB＝bsainA＝bsicnC， sinC＝csianA＝csibnB. (3)a:b:c＝sinA:sinB:sinC．
1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
对正弦定理的理解： (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角 的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角 的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数 量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关 系的转化．