扩散方程的数值解法

涵盖了计算热物理研究的基本过程和基本概念
4.1.1一维导热问题的通用控制方程
• 不可压缩、常比热
T 1 T c A( x ) S t A( x ) x x
非稳项 扩散项
• 稳态情况
源项
内热源、化学反应、辐射
1 T A( x ) S 0 A( x ) x x
P
E
调和平均公式
( x )e
e

( x )e
P

( x )e
E
• 热阻串联效应
R1
R2
(3) 物性阶跃面的处理方法
• 将阶跃面设为控制容积的界面
• 将阶跃面设为节点
4.1.4 源项线化处理
• 源项可能有多种复杂的形式，造成离散困 难，需要进行线化。
• 线化：
S SC SPTP
源项
0 0 a (1 f ) a (1 f ) a (1 f ) S A ( x ) T E W P P P P SC AP ( x ) P P
• 显式
aPTP a T a T b
0 E E 0 W W
• 全隐式
aPTP aETE aW TW b
T dx
t
t t

t
e t t T T A( x ) x A( x ) x dt A( x ) Sdxdt e w w t
型线假设
• 空间
• 时间
型线假设
c A( x ) T
• C-N格式
aE aW aPTP TE TW b 2 2
区别在于系数的表达式不同
稳态一维导热情况：没有时间积分
• 整理为：
aPTP aETE aW TW b
• 其中：
aP aE aW SP AP (x)P , b SC AP (x) P
源项
4.1.3 控制容积界面当量导热系数的 确定方法
积分
c
去掉时间上角标 t t 上角标 t 改写为0
e Ae (TE TP ) w Aw (TP TW ) AP ( x ) P 0 T T f P P t ( x ) e ( x ) w
源项线化
0 e Ae (TE0 TP0 ) w Aw (TP0 TW ) (1 f ) ( x ) ( x ) e w 0 f ( S S T ) (1 f )( S S T C P P C P P ) AP xP
w e t t
T dx
t
t t

t
e t t T T A( x ) x A( x ) x dt A( x ) Sdxdt e w w t
需对空间分布 取假设 取阶梯分布
需对时间分布 取假设 时间取加权平均：
SP 0
• 要求：
例 1 最简单的情况
S 2 3T
SC 2, SP 3
例 2 较复杂情况
• 有时需要使用前次迭代值，用上标‘*’表 示
S 4 7T
SC 4 7T , SP 0
*
SC 4 10T , SP 3
*
例 3 非线性情况
• 此时需要对源项进行泰勒展开
第4章 扩散方程的数值解法
扩散方程的应用例子
• 多孔介质渗流
• 二维无旋流
• 充分发展的管流 • 电磁场理论
4.1 一维导热
• • • • • • 1. 一维导热问题的通用控制方程 2. 控制容积积分法离散 3. 控制容积界面当量导热系数的确定方法 4. 源项的线化处理 5. 边界条件的引入 6. 线化代数方程组的三对角阵解法
S 3 5T
4
SC 3 15T *4 , SP 20T *3
需时间、空间 分别取假设

t t
t
t t t Tdt fT (1 f ) T t
第2步积分
c A( x ) T t t T t dx
w e t t

t
e t t T T A( x ) x A( x ) x dt A( x ) Sdxdt e w w t
木头
铜
(1) 加权平均法：
( x )e ( x )e e P E ( x )e ( x )e
(2) 调和平均法
TE TP 整体 qe ( x )e
e
பைடு நூலகம்
TE TP qe ( x )e ( x ) e
• 积分
c
w e t t
注意积分上下限

t
T A( x ) dtdx t w
e t t

t
T A( x ) dxdt x x w
e t t

t
A( x ) Sdxdt
• 能积分的先积出来
c A( x ) T
w e t t
S SC SPT
整理和简化
• 引入系数表达式
e Ae w Aw cAP ( x ) P 0 aE , aW , aP , ( x )e ( x ) w t
0 aP faE faW aP fS P AP ( x ) P
• 最终结果
0 0 aPTP aE fT (1 f ) T a fT (1 f ) T E W W W E
4.1.2 控制容积积分法离散
• 控制容积积分法的基本步骤
1. 第1步积分：将控制方程在控制容积和时间 步长上积分，能积分的先积出来 2.引入型线假设 3.第2步积分：将剩余部分积出来
第1步积分
T 1 T c A( x ) S t A( x ) x x