扩散方程的数值解法
扩散方程的数值解法及应用
WebCTRL Server ALC提供的WebCTRL软件于安装及运行于服务器后，该服 务器将支持BACnet/IP、BACnet/Ethernet的通讯协议可直接和 系统其它控制器通讯，交换数据。而该服务器也同时将收到的 相关系统数据转换成Web标准网页，以HTTP协议传送给支持浏 览器操作(Client)的设备，如电脑、WAP、PDA、手机等。
江森自控 美国江森公司JOHNSON CONTROLS。江森自
控公司目前的系统是Metasys系统。Metasys系 统采用两级的网络结构，第一级为N1通信网络； 第二级为支持私有N2协议的控制器层网络。两 级网络之间通过网络控制器NCU实现相互通信。 目前，江森自控公司也开发了适用于LonWorks 总线的VE800系统，可以通过FTT10LonWorks总 线扩展支持LonTalk协议的设备，另外具有支 持第三方LonMark设备的能力。
美国奥莱斯公司 ALC的系统结构特点可以体现在以下两个层面
ALC系统的开放性
完全的BACnet协议
WebCRL系统典型的BACnet协议的网络架构 以网络结构来看WebCRL系统二层式的网络结构如下
图 6-1 ALC公司WebCRL系统的网络架构示意图
管理层网 (BACnet/IP and Ethernet) 管理层网支持BACnet/IP及BACnet/Ethernet通讯协议， 可运行于大楼局域网、校园网或是互联网上。可运行于 10/100Mbyte的网络速度。 BACnet/IP通讯协议，允许BACnet数据以IP的形式在企业 网内传输。如果将Ethernet看作是企业网的物理网络标准，则 也可以认为IP是一种数据格式，数据被封装在IP包中在世界范 围内的各种类型网络里进行传输。IP不仅仅应用于Internet， 同时应用于在公司的企业网，万维网和虚拟网（VPNs）。以下 是可运行于该层内具体设备。
第5章分群理论
(5-9)
G ' ' g ' =1
=∑
g ' =1
G
∫ dE ∫s ( r , E → E )φ (r , E )dE = ∑ Σ g ' → gφ g ' (r )
'
11
g群中子产生截面 (νΣ f ) g = 群中子产生截面 g群中子裂变谱 群中子裂变谱
1
φg
φg (r ) = ∫
Σt , g = 1
E g −1
Eg
φ (r , E )dE
(5-4) (5-5)
φg
E g −1
∫
E g −1
Eg
Σ t (r , E )φ (r , E )dE
g群扩散系数 群扩散系数
Dg =
∫
1
Eg
D(r , E )∇φ (r , E )dE
(5-6)
∫
E g −1
Eg
∇φ (r , E )dE
17
热堆的能谱
高能段： 中能段： 低能段： 裂变谱 费米谱 麦克斯韦谱
18
5.1.3 群常数的计算
群常数的计算是一个非线性问题。 群常数的计算是一个非线性问题 群常数计算通常采用“两步近似法”： “两步近似法” 1. 先制作与具体反应堆能谱无关的多群微观常数 多群微观常数库 多群微观常数 2. 根据具体问题，在多群库的基础上，计算具体的中子能谱和少群常数 少群常数
(5-3)
式中∆Eg=Eg-1-Eg
为积分微分方程，难以求解 为积分微分方程，难以求解! 怎么办？ 怎么办？
9
等效原则
群通量和群常数的定义
既要使群扩散方程是常系 数的常微分方程； 又要使得用它们算出的反 应率与原先等效。
二维扩散方程的9点格式有限近似解法
二维扩散方程的9点格式有限近似解法人类文明发展从来都离不开数学，数学作为一种抽象的科学，能模拟客观现实，因而在科学技术、商业、教育等各个领域有着重要的现实技术意义。
特别是在信息科学、机器学习等领域，数学的应用更为广泛，可以用来模拟更多复杂的现象。
其中，二维扩散方程是一种代表性的正则方程，是一类二维扩散系统模型的重要基础，它描述了流体在不同空间点的行为，其解析解在许多应用场合难以直接获得。
有限元方法是一种常用的有限近似求解二维扩散方程的方法，特别是9点格式，九点格式是利用每个封闭多边形的内部和边界点的场值来求解表面的场值的方法，可以有效的求解出空间场的解析解。
这种算法具有良好的稳定性，也可以求解更多的二维场相关问题，如液体的流形分布的求解，所以，二维扩散方程的9点格式有限近似解法受到了广泛的重视。
9点格式有限近似解法的具体实现过程需要以下几个步骤：首先，在空间上构建有限元网格，设置每个单元的节点，每个节点内有8个网格，每个节点经过均匀分布。
其次，根据扩散方程的表达式，对每个网格构建数值微分方程，以此来确定网格节点上的位置和积分值。
接着，根据构建的数值微分方程，使用拉格朗日-矩阵法解决节点上的数值型问题，以此来获得节点的位置和积分值。
最后，将节点上的位置和积分值连接起来，用数学技术对场值进行拟合，以此来计算网格上的场值，完成有限近似求解。
另外，9点格式有限近似解法还可以使用复杂的积分技术处理变形的场值模型，存在多种变形可以构建出类似的样本，以此来处理变形的问题。
在应用层面，9点格式有限近似解法的应用非常广泛，它可以用于求解液体在不同空间点的流动特征，可以用于2D扩散系统的定量分析，可以用来建模复杂流体场景，还可以用于液体力学、气动学、湍流学等领域的研究中。
9点格式有限近似解法不仅用于求解2D扩散系统，而且还可以应用于三维系统的求解，从而获得更为准确的结果。
总的来说，二维扩散方程的9点格式有限近似解法是基于数学的有限近似方法，具有良好的稳定性和准确性，并且可以用来求解复杂的二维流体场值的解析解，因此在实际应用中得到广泛的关注和应用，在流体力学、湍流学等领域都有着重要的研究价值，也可以应用到多维系统求解中，为求解二维扩散方程提供了一种有效的解决方案。
中子输运方程和扩散方程区别
中子输运方程和扩散方程区别摘要：1.中子输运方程和扩散方程的定义与含义2.中子输运方程和扩散方程的物理背景与应用领域3.中子输运方程和扩散方程的数学表达式及求解方法4.中子输运方程和扩散方程的区别与联系5.泄漏迭代法在求解中子扩散方程中的应用正文：一、中子输运方程和扩散方程的定义与含义中子输运方程和扩散方程都是物理学中描述粒子传输过程的方程。
中子输运方程主要应用于中子在物质中的输运过程，而扩散方程则广泛应用于粒子在各种介质中的扩散现象。
二、中子输运方程和扩散方程的物理背景与应用领域中子输运方程主要用于研究中子在核反应堆中的传输过程，对于核反应堆的设计、仿真和安全验证具有重要意义。
扩散方程则广泛应用于粒子在气体、液体和固体等介质中的扩散现象，如气体分子的扩散、污染物在环境中的扩散等。
三、中子输运方程和扩散方程的数学表达式及求解方法中子输运方程的数学表达式通常是基于积分形式的，描述了中子在物质中的输运过程。
求解方法主要有常微分方程求解法、有限元法等。
而扩散方程的数学表达式则是基于偏微分方程的，描述了粒子在介质中的扩散现象。
求解方法包括经典数值解法、有限差分法等。
四、中子输运方程和扩散方程的区别与联系中子输运方程和扩散方程在物理背景、应用领域和数学表达式上都有所区别，但它们都是描述粒子传输过程的方程，具有一定的联系。
在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择合适的方程进行求解。
五、泄漏迭代法在求解中子扩散方程中的应用泄漏迭代法是一种求解中子扩散方程的有效方法，通过迭代计算可以逐步逼近中子扩散方程的解。
该方法在核反应堆物理计算等领域具有广泛的应用，对于提高计算精度和效率具有重要意义。
总结：中子输运方程和扩散方程是描述粒子传输过程的两种重要方程，它们在物理背景、应用领域和数学表达式上有所区别，但也具有一定的联系。
在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择合适的方程进行求解。
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式1概述一维扩散反应方程是描述许多物理过程的数学方程之一，如化学反应、热传导等。
在求解这样的方程时，我们需要寻找适合的数值解法。
本文将介绍一种隐式高精度紧致差分格式，用于求解一维扩散反应方程。
2一维扩散反应方程一维扩散反应方程可表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\rho u(1-u)$$其中，$u(x,t)$表示物理量的变量，$D$为扩散系数，$\rho$为反应速率常数。
初始条件为$u(x,0)=u_0(x)$，边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$，其中$L$为区间长度。
3差分方法为了求解上述方程的数值解，我们需要使用差分方法。
差分方法可以将连续的偏微分方程转化为离散的方程，从而得到数值解。
这里我们采用一阶差分法和二阶差分法分别对时间和空间进行离散化。
时间离散化：$$\frac{\partial u(x,t)}{\partialt}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$空间离散化：$$\frac{\partial^2u(x,t)}{\partialx^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Deltax,t)}{\Delta x^2}$$将上述两个式子带入到原方程中，得到离散化形式：$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}+\rho u_i^n(1-u_i^n)$$其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间位置。
4隐式高精度紧致差分格式在上述差分方法中，我们采用了一阶差分法和二阶差分法，这种方法的精度有限。
为了提高求解的精度，可以采用更高阶的差分方法。
分数阶扩散方程的几种数值解法
分数阶扩散方程的几种数值解法分数阶扩散方程是一类常见的偏微分方程，它在多个科学领域都有广泛的应用。
为了求解分数阶扩散方程，我们需要借助数值解法。
本文将介绍几种常用的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法。
1. 有限差分法有限差分法是一种常用的数值解法，通过离散化分数阶导数，将分数阶扩散方程转化为常微分方程组。
在有限差分法中，我们将空间区域划分为若干个网格点，将时间区域划分为若干个时间步长。
通过近似计算分数阶导数，可以得到离散的差分方程，进而求解分数阶扩散方程的数值解。
2. 有限元法有限元法是一种广泛应用的数值解法，它将分数阶扩散方程离散为一组代数方程。
在有限元法中，我们将空间区域划分为若干个小区域，称为单元。
通过构建适当的试验函数空间，将分数阶扩散方程变换为一组线性代数方程。
通过求解这组方程，可以得到分数阶扩散方程的数值解。
3. 谱方法谱方法是一种基于特殊函数的数值解法，适用于求解高精度的分数阶扩散方程。
在谱方法中，我们选择一组适当的正交基函数，如Legendre多项式或Chebyshev多项式作为试验函数。
通过投影法将分数阶扩散方程投影到这组基函数上，得到一组代数方程。
通过求解这组方程，可以得到分数阶扩散方程的数值解。
这几种数值解法各有特点，适用于不同类型的分数阶扩散方程。
有限差分法简单易实现，适用于一般的分数阶扩散方程。
有限元法具有较高的精度和灵活性，适用于复杂的分数阶扩散方程。
谱方法具有极高的精度和收敛速度，适用于求解高精度要求的分数阶扩散方程。
除了这几种数值解法外，还有其他一些方法，如拉格朗日插值法、变分法等。
不同的数值解法适用于不同的问题和求解精度要求。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点选择合适的数值解法。
此外，还需要注意数值方法的稳定性和收敛性，以确保数值解的准确性和可靠性。
分数阶扩散方程的数值解法有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些数值解法各有特点，适用于不同类型和精度要求的分数阶扩散方程。
一个分数阶扩散方程的定解问题的数值解法
定方程用差商代替一阶导数 ：
Ｏ ｕ （ ， ｔ ㈨）
Ｏ ｘ
ｌ 问 题 描 述
考虑空 间 一 时 问分数 阶对流 一 扩散方程 的初边值
问题
＝
Ｍ ｋ 一Ⅱ
ｈ
对Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ 导 数采 用 如下 近似 ：
ａ ｕ （ ， ｔ ） ｒ
，（ ２ 一Ｏ １ ） ａ
冥中 ， ０ ＜０ Ｉ ＜ｌ ， ｌ＜ ＜ ２为 微 分 效 ， ， Ｊ （ ） ＞０为
产生于一些反常扩散模型。在物理， 工程， 金融及环境问 题等方面得到广泛应用。最近几年在国际上掀起 了一股 求解分数阶微分方程研究热潮 。Ｌ ｉ ｕ Ｆ等人 通过变量变 换得到分数 阶对 流色散 方程 的解 ； Ｍ ｅ ｅ ｒ ｓ ｃ ｈ ａ ｅ ｒ ｔ Ｍ Ｍ 等 人 用有限差分的方法求解分数阶偏微分方程两点边值 问题。数值解方面， 覃平阳， 张晓丹 提出了一个具体的 空间 一 时问分数阶对流 一 扩散方程的隐式差分格式 ， 验证 了格式的稳定性和收敛性。陈世平 ， 刘发旺 求解了一类
隐式 差分格 式 ， 并 给 出稳 定性 和收敛性 的证 明。
｛ 殳 ＝ｉ ｈ ， ｈ＞０ ， ｉ＝０ ， １ ， ２， …， Ｍ； ｔ ＝ｋ ｒ， ｒ＞０，
ｋ＝０ ， １ ， ２ ， …， Ⅳ， 其中， ｈ和 分别是空间和时间步长 ，
“ ＝ （ ， ｔ ） ， ｓ ＝ｓ （ ， ｔ ） ， 对上 述初 边值 问题 中的 泛
） ＝
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ５ － ２ ２
基金项 目： 山东凯文科技职业 学院 自然科 学基金项 目（ Ｋ Ｗ２ ０ １ ２ － ０ ９ ）
作者简介 ： 池光胜（ １ ９ ８ ５ － ） ， 男， 山东淄博人 ， 讲师 ， 硕士， 主要从事数学物理反 问题方面的研 究， （ Ｅ － ｍ ａ ｉ ｌ ） ｃ ｈ ｉ ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ｅ ｎ ｇ Ｏ ０ ７ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
空间分数阶扩散方程的Multiquadric拟插值解法
空间分数阶扩散方程的Multiquadric拟插值解法王自强;曹俊英【摘要】基于拟插值算子对空间分数阶扩散方程构造了一个新的数值格式.首先在散落点上用三次Multiquadric(MQ)函数的平移构造了一个拟插值算子,分析了此拟插值算子的再生性、保形性和对分数阶导数的收敛性,最后利用上述拟插值算子并结合时间差分格式构造了空间分数阶扩散方程的计算格式.收敛性分析显示:当时间方向用Crank-Nicolson格式时,精度为O(Δt2+ h4α),当时间方向用向后Euler 格式时,精度为O(Δt+h4-α),其中Δt为时间步长,h为空间步长.数值结果表明MQ 拟插值方法是构造数值格式的一个有效工具.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(054)003【总页数】6页(P358-363)【关键词】Multiquadric拟插值;分数阶扩散方程;保形性;逼近性分析【作者】王自强;曹俊英【作者单位】贵州民族大学理学院,贵州贵阳550025;贵州民族大学理学院,贵州贵阳550025;厦门大学数学科学学院,福建厦门361005【正文语种】中文【中图分类】O241.82由于径向基函数具有简单性、精确性、各向同性以及便于向高维问题的扩展等优点,越来越多的研究者用它们构造插值函数,得到了非常好的结果. Light[1]、Schaback等[2]分别在1992年和1996年用径向基函数来构造了一些插值函数.1971年Hardy[3]首次介绍了Multiguadric(MQ)函数.1982年Franke[4]指出:就精度、稳定性、有效性、内存要求和易于实现而言,MQ函数在29种散落数据插值格式中首屈一指.然而,当插值点数非常大时,插值矩阵可能病态.与插值相比,拟插值不但避免了病态问题,而且具有多项式再生性质和保形性质.基于拟插值方法的上述优点,研究者们如何对于非均匀数据构造出具有好性质的拟插值算子近来已经成为一个热门研究课题[5-7].由于MQ拟插值算子具有许多好性质,很多研究者开始利用MQ拟插值算子构造求解偏微分方程的数值格式[8-11].本文构造了一种MQ拟插值方法用它来求解空间分数阶扩散方程.该方法可以处理复杂的边界条件和初值具有散乱数据的情况.利用三次MQ函数的平移构造了一个高阶拟插值算子,然后将该拟插值算子用在分数阶导数上,并结合时间差分格式构造了空间分数阶扩散方程的计算格式. 假设f(x)充足光滑,我们利用MQ函数作为核函数,构造f(x)的一个拟插值算子ℜ(x),即采用函数的平移φj(x)=φ(x¯xj)作为一组基函数,其中c是形状参数且为正的常数,{(xj,为数据点,有:其中:为了后面理论分析的需要,这里将引入文献[12]证明的一些拟插值算子ℜ(x)的多项式的再生性、拟凸性、三和四阶导数的凸性及其逼近性结果.定理1 拟插值算子ℜ(x)满足三次多项式再生性质,亦即:定理2 设点列(1)是均匀分布,数据采自于一个凸函数f(x)∈C[x0,xn],则拟插值算子ℜ(x)是一个拟凸函数.定理3 拟插值算子ℜ(x)对三、四阶导数是严格保形的.定理4 假设f(x)的三阶导数是Lipschitz连续,则当c=O(h2),拟插值算子ℜ(x)的逼近阶满足在这里,将利用拟插值算子给出求解空间分数阶微分方程的数值格式.当1＜α＜2时,α阶Caputo导数,定义为:首先,研究拟插值算子ℜ(x)对阶数为α(1＜α＜2)的分数阶导数的逼近性.定理5 设f(x)具有三阶导数Lipschitz连续,则α(1＜α＜2)阶分数阶导数的ℜ(x)满足:证明固定x∈[a,b],设p(y)是f(y)在点x的局部泰勒展开,亦即:易知,p[xj¯2,xj¯1,xj,xj+1,xj+2]≡0,这里p[xj¯2,xj¯1, xj,xj+1,xj+2]表示p(y)的差商.根据定理1,得:并且,其中ξj∈(xj¯1,xj+2),ηj∈(xj¯2,xj+1).引入j=0,…,n的特征函数则有其中Ci,i=0,1是与x和h无关的正常数.现在,我们得到了α(1＜α＜2)阶分数阶导数一个拟插值近似ℜ(x).显然,当时,收敛阶可以达到4¯α,定理证毕.设Ω=[a,b],I=[0,T],记QT：=Ω×I,考虑如下一维的空间分数阶扩散方程(SFDEs): 满足下列初边值条件:这里α∈(1,2)是空间分数阶导数的阶数.在空间方向上,利用拟插值算子的二阶导数来逼近u″(τ,tk),因此在时间方向上,用Crank-Nicolson格式和向后Euler格式,则有这里的逼近解,并且kΔt;Δt是时间步长.定理6 (i)格式(10)的截断误差是O(Δt2+ h4¯α).(ii)格式(11)的截断误差是O(Δt+h4¯α).我们主要做两个方面测试,一方面,测试拟插值算子对函数的逼近性质.设f(x)=x4是被逼近函数,选择形状参数c和步长h,来测试拟插值算子ℜ(x)对被逼近函数的逼近度.在表1中,分别选取和c=0.1h,0.2h,0.5h,h,2h,计算.在表2中,分别取c=80h2,h=测试ℜ(x)当h变化时的收敛阶.为了简单起见,选择等距剖分的样点通过分析表1的数值结果,发现拟插值算子的逼近性依赖于形状参数c和步长h.从表2中发现,当c= O(h),O(h1.5)和O(h2)时,拟插值算子ℜ(x)的收敛阶能够达到2,3和4.从图1中发现拟插值算子ℜ(x)能很好的逼近f(x).通过这些算例发现对拟插值算子数值结果和理论分析是非常吻合的.另一方面,测试利用拟插值算子构造的SFDEs数值格式的收敛性.考虑问题(7)～(9),其精确解为:相应的右端项为:为了观察数值解逼近精确解的精度,计算了在L∞下的下面所有图和表的数值结果都是在Ω=[0,1]和T=1时得到的.首先,研究空间方向的收敛精度.为此,取时间步长足够小使得其产生的误差不影响空间精度.表3显示了最大误差随不同的空间步长h和形状参数c的变化行为,并列出了相应的阶数.从表中看到,当1＜α＜2时,格式(10)和格式(11)的空间精度是4¯α阶. 其次,我们研究时间方向的收敛精度.表3显示了最大误差随不同的空间步长h和形状参数c的变化行为,并列出了相应的阶数.取Δt=h,从表中数据可以看出,格式(10)的时间收敛阶接近2阶.取Δt=h2,从表中发现格式(11)的时间收敛阶接近1阶.这些数值结果与理论分析相吻合.最后,测试参数c对收敛性的影响.仅以格式(10)为例.图2表示,不同参数c下的L∞误差.从图2中发现数值解很好的逼近精确解.进一步地,我们发现当形状参数c变小时,误差也随着变小.我们利用MQ拟插值方法求解空间分数阶扩散方程.首先,在散落点上利用三次MQ 函数构造了一个拟插值算子,并分析了此拟插值算子的多项式再生性、保形性和对分数阶导数的收敛性.其次,利用上述插值算子并结合时间差分格式构造了分数阶扩散方程的计算格式.收敛性分析显示:当时间方向用Crank-Nicolson格式时,精度为O(Δt2+h4¯α);当时间方向用向后Euler格式时,精度为O(Δt+h4¯α).最后,数值结果表明MQ拟插值方法是构造数值格式的一个有效工具.【相关文献】[1] Light W A.Some aspects of radial basis function approximation[J].Approx Theory,Spline Functions and Applications,1992,356:163-190.[2] Schaback R,Wu Z.Operators on radial functions[J].J Comput Appl Math,1996,73(1):257-270.[3] Hardy R.L Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces[J].J Geophys Res,1971,76(8): 1905-1915.[4] Franke R.Scattered data interpolation:tests of some methods[J].MathComput,1982,38(157):181-200.[5] Ling L.A univariate quasi-multiquadric interpolationwith better smoothness[J].Comput Math Appl,2004,48(5/ 6):897-912.[6] Beatson R K.Powell M J D.Univariate multiquadric approximation:quasi-interpolation to scattered data[J]. Constr Approx,1992,8(3):275-288.[7] Zhang W,Wu Z.Some shape-preserving quasi-interpolants to non-uniformly distributed data by MQ-B-splines [J].Appl Math J Chinese Univ Ser A,2004,19(2): 191-202.[8] Chen R,Wu Z.Solving hyperbolic conservation laws using multiquadric quasi-interpolation[J].Numer Methods Partial Differential Equations,2006,22(4):776-796.[9] Tatari M,Dehghan M.A method for solving partial differential equations via radial basis functions:application to the heat equation[J].Eng Anal Bound Elem,2010,34(3): 206-212. [10] Zhu C G,Wang R H.Numerical solution of Burgers′equation by cubic B-spline quasi-interpolation[J].Appl Math Comput,2009,208(1):260-272.[11] Duan Y,Rong F.A numerical scheme for nonlinear Schrödinger equation by MQ quasi-interpolation[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,2013,37 (1):89-94.[12] 曹俊英.分数阶微分方程的高阶数值方法研究[D].厦门:厦门大学,2012.。
热流问题的数值计算
直角坐标的网格系统
非稳态项的积分：
t
t t
n
s
T 0 c dxdydt ( c ) ( T T P P P ) x y w t
e
扩散项：
t t e n T T ( ) dxdydt ( t s w x x t w s y y )dydxdt (T TW ) (T TP ) (T TS ) (T TP ) [ e E w P ]yt [ n N s P ]xt (x) e (x) w (y ) n (y ) s t t n e
按调和平均法：
(x) e
E
(x ) e
P
(x ) e
E
P, E间的热阻与调和平均方法的结果一致。 调和平均法在多数场合都优于算术平均法。 由此，系数aE, aW可以表示为：
aE Ae (x)
e
P
(x)
e
aW
Ae (x) w
E
P
(x) w
源项：
s
n e t t w t
Sdxdydt (S C S PTP )xyt
整理，得:
a PTP a E TE aW TW a N TN a S TS b
其中
y aE (x) e / e x aS (y ) s / s
aP
y aW (x) w / w ( c) P xy 0
0 TE0 2TP0 TW TP TP0 a t x 2
TE 2TP TW TP T a 2 t x
0 P
0 TE 2TP TW TP TP0 a TE0 2TP0 TW C-N格式： [ ] 2 2 t 2 x x
(参考资料)一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
《对流扩散方程》课件
环境科学
描述污染物在大气、水体等环境 介质中的扩散、输移和归宿。
在环境科学中，对流扩散方程用 于模拟污染物在大气、水体等环 境介质中的扩散、输移和归宿过
程。
在环境保护、污染治理等领域， 对流扩散方程具有重要的应用价
值。
化学反应动力学
描述化学反应在流体或固定床 反应器中的传递和反应过程。
在化学反应动力学中，对流 扩散方程用于模拟化学反应 在流体或固定床反应器中的
初始条件
指定在求解开始时刻的解的性质，如 常数、函数等。
03 对流扩散方程的应用
流体动力学
01
描述流体在运动状态下的物质传递和扩散现象。
02
在流体动力学中，对流扩散方程用于模拟流体中的物质传递过
程，如温度、浓度、速度等。
在航空航天、船舶、汽车等领域的流体动力学分析中，对流扩
03
散方程被广泛应用。
应用于多尺度问题
研究对流扩散方程在多尺度问题中的应用，如 微纳尺度流动、大气污染扩散等。
探索新的应用领域
将该方程应用于其他领域，如生物医学、环境科学等。
与其他领域的交叉研究
与流体动力学结合
研究对流扩散方程与流体动力学之间的相互 作用和影响，探索更深入的物理机制。
与偏微分方程理论的交叉
将对流扩散方程的研究与偏微分方程理论相 结合，推动数学理论的发展。
02
03
有限体积法
将连续的求解域离散化为有限个小的 体积，在每个体积上近似函数，将微 分方程转化为代方程进行求解。
有限差分法
向前差分法
将微分方程中的导数项用前一步的函数值近似代替，得到向前差 分方程。
向后差分法
将微分方程中的导数项用后一步的函数值近似代替，得到向后差 分方程。
一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
哈尔滨工业大学计算传热学第四章扩散方程的数值解法及其应用资料重点
1
y
xw
TP
aETE
aNTN
aSTS
1
y
xw
Tf
Scxy
kB
kB
所以对第三类边界条件不仅有附加常数源项，而且还有 附加源项的斜率项
aPTP aETE aNTN aSTS (Sc•ad Sc )xy
aP aE 0 aN aS (Sp•ad Sp )xy
Sp•ad
y xy
a)算术平均线性分布
ke
kp
xe+ xe
kE
xe xe
e
••
•
W
Pxe xe E
xe
b)调和平均
qe
TE TP
xe
ke
TE Te
xe
kE
Te Tp
xe
kp
TE
xe
kE
TP
xe
kP
ke
kP kExe xek p xekE
当 xe xe
kP kE
算术平均
ke
kP
kE 2
kP 2
第四章 扩散方程的数值解法及其应用
§4.1 一维稳态导热
1 • d [kF(x) dT ] S 0
F (x) dx
dx
F(x)：与坐标系和截面形状有关的计算因子
S：内热源。
w
e
△x
e d
dT
[kF (x) ]dx
w dx
dx
e
F (x) • Sdx 0
w
•
W
xw
•
P
xe
•
E
keFe
W PE
ap
Fe k e
xe
变系数分数阶反应-扩散方程的数值解法
分 数 阶微分 方程 是经 典 的整数 阶常微 分方 程
的推广 ， 它是 将 整数 阶 的导 数 用 分数 阶导 数 来 替 换． 与 整数 阶微分 方程 相 比 ， 分数 阶微 分方 程 的优 势在 于它 能更好 地模 拟 自然界 的物 理过程 和 动态
代 一 阶时 间偏导 数 和 二 阶 空 间偏 导 数 ， 可 得 到 空
（ ｚ ， ） 甜 （ － ｚ ， ￡ ） ＋厂 （ ｚ ， ￡ ） （ ｏ ＜ ≤Ｔ ， ０ ≤ｚ ≤Ｌ ） ， ｕ （ ｘ ， ｏ ） ＝ ＝ ＝ ｇ （ ｚ ） （ ｏ ≤ ≤ Ｌ ） ，
ｌ ｝ ｌ
（ ５ ）
收 稿 日期 ：２ ｏ １ ３ 一Ｏ ３ —３ ０
基金项 目 ：国家 自然科学基金资 助项 目（ １ ０ ６ ７ １ １ ３ ２ ， ６ ０ ６ ７ ３ １ ９ ２ ） ；攀 枝花学院校级科研项 目（ ２ ０ １ ３ ＹＢ ０ ５ ） ． 作者简介 ：马亮亮 （ １ ９ ８ ６ ～ ） ， 男， 甘肃天水人 ， 攀枝花学 院讲师．
分 数 阶反应一 扩散 方程 ：
越来越多专家学者 的关注， 并 已广泛应用于科学
（ ｚ ， ） ＋ｖ （ ｘ ， ｔ ） ｕ （ ｘ ， ） ＝ ＝ ＝
］
和工程的 各个领域． 在标准的反应一 扩散方程中， 分别用 Ｃ ａ ｐ ｕ ｔ ｏ 分数阶导数和 Ｒ ｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ － Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 分数阶导数替
、 Ｊ ”
一口 ） ｊ ＝０
一
第4章 扩散方程数值解法
e
E N-1 N
第4章 扩散方程的数值解法及应用
8
aPTP aETE aW TW b
aE Ae ( x) / (d x e P (d x e E
从i=2到N-1，遍历所有控制容积，得线性代数方程组：
(
aW Aw ( x) / (d x w P (d x e W
aPP aEE aW W b
aE e Ae / (d x e , aW w Aw / (d x w
aP aW aE SP AP Dx , b Sc AP Dx
到此为止，只剩下界面物性λe，λw取值问题了。
2013-7-10 第4章 扩散方程的数值解法及应用 4
MODULE CASEDATA USE PARAM REAL H,D REAL*8 GAM(NI),SP(NI),SC(NI),AF(NI) END MODULE
SUBROUTINE GRID USE MESH ! ----------控制容积界面位置-----------DX=XL/(N-2.) ! 控制容积的宽度 XU(2)=0 ! The first CV面编号为2 DO I=3,N XU(I)=XU(I-1)+DX ENDDO !------- 节点坐标计算 -----------X(1)=XU(2) DO I=2,N-1 X(I)=0.5*(XU(I)+XU(I+1)) ENDDO X(N)=XU(N) END SUBROUTINE
2013-7-10
第4章 扩散方程的数值解法及应用
12
SUBROUTINE COEF USE COEFDATA; USE MESH; USE CASEDATA INTEGER P,E Real*8 gamw,afw,dltax_w,RE,AFE,DIFF,CV GAMW=GAM(1) Afw=AF(2) Dltax_W=X(2)-X(1) AW(2)=GAMW*Afw/Dltax_W ! 第1个内节点的西界面总传导系数 DO I=2,N-1 P=I ; E=P+1 Re=(XU(E)-X(P))/(GAM(P)+1.0e-30)+(X(E)-XU(E))/(GAM(E)+1.0e-30) ! 热阻 计算 DIFF=AF(E)/Re AE(P)=DIFF ; AW(E)=DIFF CV= 0.5* (XU(E)-XU(P)) * ( AF(P)+AF(E)) AP(P)=AE(P)+AW(P)-SP(P)*CV CON(P)=SC(P)*CV ENDDO END SUBROUTINE
抛物形扩散方程的有限差分法与数值实例
偏微分方程数值解所在学院：数学与统计学院课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生：向聘抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例1.1抛物型扩散方程抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。
考虑一维热传导方程：22(),0u ua f x t T t x∂∂=+<≤∂∂ (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。
按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类：第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件：()()x x u ϕ=0,, ∞<<∞-x (1.1.2)第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件：()()x x u ϕ=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4)假定()x f 和()x ϕ在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
1.2抛物线扩散方程的求解下面考虑如下热传导方程22()(0.)(,)0(,0)()u ua f x t x u t u L t u x x ϕ⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩(1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。
取N l h =为空间步长，MT=τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，用两族平行直线jh x x j ==,()N j ,,1,0Λ=和k t t k τ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。
其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示网格点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。
对流扩散方程有限差分方式
对流扩散方程有限差分方式求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。
3.1 中心差分格式时刻导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就取得了（1）式的中心差分格式]6[21111122h u u u vhu u au u nj n j n j nj n j n jn j -+-+++-=-+-τ（3）假设令 haτλ=，2h vτμ=，那么（3）式可改写为)2()(2111111nj n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4）从上式咱们看到，在新的时刻层1+n 上只包括了一个未知量1+n j u ，它能够由时刻层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。
因此，中心差分格式是求解对流扩散方程的显示格式。
假定),(t x u 是定解问题的充分滑腻的解，将1+n j u ，n j u 1+，nj u 1-别离在),(n j t x 处进行Taylor 展开：)(),(),(211ττO t u t x u t x u unjn j n j n j+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++)(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u nj nj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+==++ )(2),(),(322211h O x u h x u h t x u t x u u njnj n j n j n j +⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-==--代入(4)式，有 21111122),(hu u u vhu u au u t x T nj n j n j nj n j n jn j n j -+-+++---+-=τ)()()(2222h O v x u v h O a x u a O t u nj nj nj ⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u njnj nj ⋅-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=τ )(2h O +=τ显然，当0→τ，0→h 时，0),(→n j t x T ，即中心差分格式与定解问题是相容的。
一类对流-扩散方程源项反问题的数值解法
一类对流-扩散方程源项反问题的数值解法
一类对流-扩散方程源项反问题是指求解一类对流-
扩散方程的源项，即求解源项函数$f(x,t)$，使得方程
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(u\cdot
f(x,t))=0$$
的解满足给定的初始条件和边界条件。
解决一类对流-
扩散方程源项反问题的数值解法主要有以下几种：
（1）有限差分法：有限差分法是一种基于差分格式的数值解法，它将微分方程转化为一组线性方程组，然后使用数值求解方法求解。
（2）有限元法：有限元法是一种基于有限元的数值解法，它将微分方程转化为一组线性方程组，然后使用数值求解方法求解。
（3）有限体积法：有限体积法是一种基于有限体积的数值解法，它将微分方程转化为一组线性方程组，然后使用数值求解方法求解。
（4）有限元素法：有限元素法是一种基于有限元素的数值解法，它将微分方程转化为一组线性方程组，然后使用数值求解方法求解。
（5）积分变换法：积分变换法是一种基于积分变换的数值解法，它将微分方程转化为一组线性方程组，然后使用数值求解方法求解。
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扩散方程的应用例子
• 多孔介质渗流
• 二维无旋流
• 充分发展的管流 • 电磁场理论
4.1 一维导热
• • • • • • 1. 一维导热问题的通用控制方程 2. 控制容积积分法离散 3. 控制容积界面当量导热系数的确定方法 4. 源项的线化处理 5. 边界条件的引入 6. 线化代数方程组的三对角阵解法
源项
0 0 a (1 f ) a (1 f ) a (1 f ) S A ( x ) T E W P P P P SC AP ( x ) P P
• 显式
aPTP a T a T b
0 E E 0 W W
• 全隐式
aPTP aETE aW TW b
• C-N格式
aE aW aPTP TE TW b 2 2
区别在于系数的表达式不同
稳态一维导热情况：没有时间积分
• 整理为：
aPTP aETE aW TW b
• 其中：
aP aE aW SP AP (x)P , b SC AP (x) P
源项
4.1.3 控制容积界面当量导热系数的 确定方法
木头
铜
(1) 加权平均法：
( x )e ( x )e e P E ( x )e ( x )e
(2) 调和平均法
TE TP 整体 qe ( x )e
e
TE TP qe ( x )e ( x ) e
w e t t
T dx
t
t t
t
e t t T T A( x ) x A( x ) x dt A( x ) Sdxdt e w w t
需对空间分布 取假设 取阶梯分布
需对时间分布 取假设 时间取加权平均：
• 积分
c
w e t t
注意积分上下限
t
T A( x ) dtdx t w
e t t
t
T A( x ) dxdt x x w
e t t
t
A( x ) Sdxdt
• 能积分的先积出来
c A( x ) T
w e t t
S SC SPT
整理和简化
• 引入系数表达式
e Ae w Aw cAP ( x ) P 0 aE , aW , aP , ( x )e ( x ) w t
0 aP faE faW aP fS P AP ( x ) P
• 最终结果
0 0 aPTP aE fT (1 f ) T a fT (1 f ) T E W W W E
P
E
调和平均公
P
( x )e
E
• 热阻串联效应
R1
R2
(3) 物性阶跃面的处理方法
• 将阶跃面设为控制容积的界面
• 将阶跃面设为节点
4.1.4 源项线化处理
• 源项可能有多种复杂的形式，造成离散困 难，需要进行线化。
• 线化：
S SC SPTP
4.1.2 控制容积积分法离散
• 控制容积积分法的基本步骤
1. 第1步积分：将控制方程在控制容积和时间 步长上积分，能积分的先积出来 2.引入型线假设 3.第2步积分：将剩余部分积出来
第1步积分
T 1 T c A( x ) S t A( x ) x x
SP 0
• 要求：
例 1 最简单的情况
S 2 3T
SC 2, SP 3
例 2 较复杂情况
• 有时需要使用前次迭代值，用上标‘*’表 示
S 4 7T
SC 4 7T , SP 0
*
SC 4 10T , SP 3
*
例 3 非线性情况
• 此时需要对源项进行泰勒展开
需时间、空间 分别取假设
t t
t
t t t Tdt fT (1 f ) T t
第2步积分
c A( x ) T t t T t dx
w e t t
t
e t t T T A( x ) x A( x ) x dt A( x ) Sdxdt e w w t
积分
c
去掉时间上角标 t t 上角标 t 改写为0
e Ae (TE TP ) w Aw (TP TW ) AP ( x ) P 0 T T f P P t ( x ) e ( x ) w
源项线化
0 e Ae (TE0 TP0 ) w Aw (TP0 TW ) (1 f ) ( x ) ( x ) e w 0 f ( S S T ) (1 f )( S S T C P P C P P ) AP xP
S 3 5T
4
SC 3 15T *4 , SP 20T *3
T dx
t
t t
t
e t t T T A( x ) x A( x ) x dt A( x ) Sdxdt e w w t
型线假设
• 空间
• 时间
型线假设
c A( x ) T
涵盖了计算热物理研究的基本过程和基本概念
4.1.1一维导热问题的通用控制方程
• 不可压缩、常比热
T 1 T c A( x ) S t A( x ) x x
非稳项 扩散项
• 稳态情况
源项
内热源、化学反应、辐射
1 T A( x ) S 0 A( x ) x x