工程力学静力学(4)

工程力学课件
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第四章 平面一般力系
前面研究了平面汇交力系和平面力偶系的合成与平衡问题。 本章将在此基础上，研究平面一般力系的简化与平衡问题。
如果作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面内， 既不汇交于同一点，也不完全平行，这种力系称为平面一般 力系(简称平面力系)。
本章重点： 1、力线平移定理 2、平面一般力系的简化 3、平面一般力系的平衡方程 4、平面桁架内力的计算方法
合力矩定理 当平面力系可以合成为一个合力时，则其合力 对于作用面内任一点之矩，等于力系中各分力对于同一点之矩 的代数和。
证明 由图c易见，合力FR对O点之矩为
M O (FR ) FRd
由图b可见： M O M O (FR， FR) FRd
故 M O (FR ) M O
因为 MO MO (F)
所以 MO (FR ) MO (F)
由于简化中心O是任选的，因此上述定理适用于任一力矩中 心。利用这一定理可以求出合力作用线的位置，以及用分力矩 来计算合力矩等。
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例4-l 水平梁AB受三角形分布载荷的作用如图，分布载荷的最大值为 q(N/m)，梁长l。试求合力的大小及其作用线位置。
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现 在 讨 论 主 矢 F’R 的 解 析 求 法 。 通 过 O 点 作 直 角 坐 标 系 oxy(图c)。根据合力投影定理，得到:
FRx F1x F2x Fnx Fx
FRy F1y F2 y Fny
Fy
主矢的大小 主矢的方向
FR (FRx)2 (FRy)2 ( Fx )2 ( Fy )2
②若F’R ≠ 0，Mo=0，则F’R即为原力系的合力FR，通过简化中心。
③若F’R ≠ 0，Mo≠0，则力系仍然可以简化为一个合力FR。合力FR等于原
力系的主矢F’R，合力FR 的作用线位置离O点的距离d=Mo/F’R=Mo/FR,至于合
力的作用线在O点的那一侧，则由主矩Mo的符号决定。
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§4-1 工程中的平面一般力系问题
如图所示的房架和悬臂吊车的横梁其上所受的力都在同一 平面上，所以都是平面一般力系的问题
房架
悬臂吊车
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如物体结构所承受的载荷和支承都具有同一个对称面，则作 用在物体上的力系就可以简化为在对称平面内的平面力系。
例如高炉上料车的受力情况。
平面一般力系是工程上最常见的力系。很多实际问题都可 简化成为平面一般力系问题来处理。因此，研究平面力系就显 得非常重要。
cos
Fx
( Fx )2 ( Fy )2
cos
Fy
( Fx )2 ( Fy )2
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§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
根据以上所述，平面力系向一点简化，可得一个主矢F’R和一个主矩Mo ①若F’R=0，Mo≠0，则原力系简化为一个力偶，力偶矩等于原力系对于 简化中心的主矩。在这种情况下，简化结果与简化中心的选择无关。这就是 说，不论向哪一点简化都是这个力偶，而且力偶矩保持不变。
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§4-2 力线平移定理
力线平移定理是平面力系向一点简化的依据，在本节中首先 介绍这个定理。
定理：作用在刚体上的力F可以平行移动到刚体内任一点， 但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对平移点之矩。
证明：
M Fd MB(F) F d
M MB(F)
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力线平移定理不仅是力系简化的依据，而且也是分析力对 物体作用效应的一个重要方法。
M1 F1d1 M O (F1) M 2 F2d2 M O (F2 )
M n Fndn M O (Fn )
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合力的作用点通过O，其矢量为
FR F1 F2 Fn F1 F2 Fn F
矢量FR’称为原力系的主矢。它是原力系各力的矢量和。 合力偶的力偶矩MO为
n
解：本题属于平面内同向平行力的合成
问题，其合力F的方向与诸分力相同。 取梁的A端为原点，在x处取微分小段dx，
作用在此段的分布力为以qx，根据几何关系 有
qx
x l
q
在dx长度上的合力的大小为qxdx。故此分布力合力F的大小，可 用以下积分求出：
F
l
0 qxdx
l 0
q l
xdx
q ll 2
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作用在微分小段dx上的合力对A点的力矩 为xqxdx。全部分布力对A点之矩的代数和可 用如下积分求出：
F ql 2
l
0 qx xdx
例如，如图所示的转轴上大齿轮受到圆周力F的作用。为了 观察力F对转轴的效应，需将力F向轴心O点平移。根据力线平 移定理，力F平移到轴心O点时，要附加一个力偶。设齿轮的节 圆半径为r，则附加力偶矩为
M Fr
由此可见，力F对转轴的作用，相当于在轴上作用一个水平 力F’和一个力偶。这力偶作用在垂直于轴线的平面内，它与轴 端输入的力偶使轴产生“扭转”，而力F’则使轴产生“弯曲”。
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§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
研究平面一般力系的简化时，可以连续应用力的平行四边 形法则，将力依次合成。但是应用这种方法，极为繁琐，实际 意义不大。为此，采用另一种方法，即根据力线平移定理，将 力系向某点简化。这个方法的实质在于将一个平面力系分解为 两个力系：平面汇交力系和平面力偶系。然后，再将这两个力 系进行合成。
M O M1 M 2 M n M O (F1) M O (F2 ) M O (Fn ) M O (Fi ) i 1
MO称为原力系的主矩。 它等于原力系中各力对O点之矩的代数和
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综上所述，可得出如下结论：平面力系向作用面内任一点 O简化（该点称为简化中心），可得一个力和一个力偶。这个 力作用于简化中心，其矢量等于该力系的主矢：
FR F
这个力偶矩等于该力系对O点的主矩：
n
M O M O (Fi ) i 1
应该注意，力系的主矢F’R只是原力系中各力的矢量和，所 以它与简化中心的选择无关。而力系对于简化中心的主矩MO显 然与简化中心的选择有关，选择不同的点为简化中心时，各力 的力臂一般将要改变，因而各力对简化中心之矩也将随之改变。