圆柱齿轮跨测齿数的精确合理计算

圆柱齿轮跨测齿数的精确合理计算 中煤北京煤机公司退休职工 周万峰

摘要：目前手册上的跨齿数计算公式大都不是精确的公式，因而有时会影响跨齿数的合理性。就是那些精确的公式，它们在角度变位中也是有不足之处的。本文给出一个高度、角度变位都适用的公式，并验证了它是精确合理的。

关键词：公法线长度，公法线长度原始计算值，公法线长度测量点所在圆。

1、本文给出一个精确、合理的跨齿数计算公式

目前手册上的跨齿数计算公式大都是近似的，有误差的，并非精确的计算公式，因而有时影响跨齿数的合理性。就是那些精确的公式，它们在角度变位中也是有不足之处的。而且至今在手册上似乎还未见到有斜齿精确的跨齿数计算公式。有人说：“手册上的5.01800+'=n z k α不就是标准斜齿轮跨齿数精确的计算公式吗？”不，它算出的也是近似值（文章后面进行验证）。笔者已退休多年，精力尚可，因而对此进行了研究、探讨，于是给出一个高度、角度变位都是情况良好的公式。公式为：

5.01)cos sin 2(+--'=π

αααzinv m xm W k k （用于直齿） （1） 5.01)cos sin 2(+'--'=π

αααn n n n n n n inv z m m x W k （用于斜齿） （1） 公式中的'k W 和'

n W 当为高度变位 直齿时， b K

d xm d W 22)2(-+='； 斜齿时， b b n n n d m x d W βc o s )2(22-+=

'。 当为角度变位

直齿时， b k d xm d W 22)9.1(-+=

'； 斜齿时， 。 c o s )9.1(22b b n n n d m x d W β-+=

'

上列公式中： d ——分度圆直径；

b d ——基圆直径；

m ——模数，斜齿时为n m ；

z —— 齿数；

___z '斜齿轮的假想齿数，n

t inv inv z

z αα=' ； ___α压力角，斜齿轮法面压力角为n α

x —— 变位系数，斜齿时法面变位系数为n x ；

___b β斜齿轮基圆螺旋角； k W '——直齿轮的公法线长度原始计算值 ；

n W '——斜齿轮的公法线长度原始计算值 。

2、公式（1）的由来

公式（1）是怎么来的？其实它的来历很简单，就是由公法线长度计算公式变换而来的。公法线长度计算公式为 ：

[] sin 2)5.0( cos ααπαm x zinv k m W k ++-= （直齿） （2）

[] sin 2)5.0cos n n n n n n n m x inv z k m W ααπα+'+-=（

（斜齿） （2） 将公式（2）中的k 移到等号左边，将k W 和n W 移到等号右边（且变为k W '和n W '）即为公式（1）。

众所周知，公式（2）中的k W 和n W 是根据跨齿数计算公式算出的k 值，经4舍5入后代入公式（2）中计算出来的公法线长度。设想：如果将跨齿数计算公式算出的k 值不进行4舍5入，而代入公式（2）中算出的显然就不是n K W W 和而是了。和n k W W ''笔者称n k W W ''和为“公法线长度原始计算值”（这是个新的概念，以前没有这个说法）。在公式（1）的等号

右边只有k W '和n W '是未知的，其它均为已知。如果能将K

W '和n W '计算出来，然后反过来推算k 值，那么，这样算出的k 值不就是k 的精确值了吗？

图1 公法线长度原始计算值k W '

K

W '和n W '能事先计算出来吗？答案是肯定的。因为每个齿轮，只要它的模数、齿数、压力角、变位系数和螺旋角为已知的话，那么它的公法线长度原始计算值k W '和n W '就是确

定的。今用直齿推导K

W '的计算式。请看图 1 ：显然△ADO 是直角三角形，因而, AD=22DO AO -。AD 是K W '的一半，（2k W '），DO 是基圆半径，)2(b d AO 是公法线长度测量点（量具卡脚与齿廓的切点）所在圆的半径；因为公法线长度的测量点应在齿高的中点部位，而变位齿轮齿高的中点部位是“d+2xm 圆”，故AO=2)2(xm d +。因而='k W []2222)2(2

2xm)(d 2 22b d DO AO AD -+=-=，整理此式，则22)2(b k d xm d W -+='，这样就将K

W '计算出来了（斜齿的n W '与直齿的K W '之间有个b βcos 的关系，故b b n n n d m x d W βcos )2(22-+='）。k W '和n W '计算出来了，精确的k

值也就计算出来了。公式（1）就是这样来的。

但斜齿的公法线长度计算式中，已将斜齿看成是齿数为z '的直齿轮了，因而斜齿的公式中就m m n = 、 αα=n 、x x n =了。也就是说斜齿的公式中就没有n n n x m , , α这样的写法了，因为是直齿了嘛。又因为公式（1）中的m 与k 无关，故将m 去掉。所以整理、简化后的公式（1）为下面的形式：

k = 5.01)cos 684.0(+--'π

ααzinv x W （用于直齿） )1(' 5.01)cos 684.0(

+'--'=πααinv z x W k （用于斜齿） )1(' 式中的W '当为高度变位

直齿时， 22)cos ()2(αz x z W -+=

'， 斜齿时， b t z x z W βαββc o s )c o s c o s ()2c o s (22-+=

' 公式中的W '当为角度变位

直齿时， 22)cos ()9.1(αz x z W -+=

'， 斜齿时， b t z x z W βαββcos )cos cos ()9.1cos (22-+='。 式中的β为斜齿轮分度圆螺旋角，t α为斜齿轮端面压力角。跨齿数用公式(1)或公式（1'）计算都是可以的，但直齿用公式(1')计算较为简单些，斜齿并不省事。

有人可能问了：“公式（1）与公式（1'）到底哪个是合理的？”笔者认为公式（1'）更合理。因为你已经将斜齿轮看成是齿数为z '的直齿轮了，故 它就没有端面、法面之分了。既然这样，斜齿的公式中再有n n n x m 、、α等写法就不好解释了。那么公式（2）中的斜齿式中为何又有n n n x m 、、α这样写法呢？因为手册的斜齿公式中是这样的写法，如果推导公