2021届高考数学专题汇编：数列放缩方法

数列放缩法

常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，基本结构有4种：

1.形如∑a i n i=1

2.形如∑a i n i=1

3.形如∏a i n i=1

4.形如∏a i n

i=1

例1.求证：12

+

12

2+

12

3+⋯+

12n

<1(n ∈N ∗)

变式1求证：1

2+

222

+

323

+⋯+

n 2n

<2(n ∈N ∗)

变式2求证：12+1

+

122+1

+⋯+

12n +1

<1(n ∈N ∗)

变式3求证：1

2+1+2

22+2

+⋯+n

2n+n

<2(n∈N∗)

例2.求证：1

1×3+1

3×5

+⋯+1

(2n−1)(2n+1)

<1

2

(n∈N∗)

变式1求证：1

1×3+1

3×5

+⋯+1

(2n−1)(2n+1)

≤1

3

(n∈N∗)

变式2求证：1

2×3+1

3×5

+⋯+1

(n+1)(2n+1)

<5

12

(n∈N∗)

例3.求证：1+1

22

+1

32

+⋯⋅1

+n2

<2(n∈N∗)

变式1求证：1+1

22

+1

32

+⋯⋅1

+n2

<7

4

(n∈N∗)

变式2求证：1+1

22

+1

32

+⋯⋅1

+n2

<5

3

(n∈N∗)

变式3求证：1+1

32

+1

52

+⋯⋅1

（2n−1）

2

<5

4

(n∈N∗)

例4.已知数列{a n}，a n=2n

2n−1(n∈N∗)求证：∑a i(a i−1)

n

i=1

<3

变式.已知数列{a n}，a n=2n

2n−1(n∈N∗)求证：∑a i(a i−1)

n

i=1

<

25 9

例5. 求证：1

3−2+1

32−22

+⋯+1

3n−2n

<3

2

(n∈N∗)

变式.求证：1

3−2+1

32−2

+⋯+1

3n−2

<17

14

(n∈N∗)

例6. 求证：2(√n+1−1)<1+

√2+

√3

+⋯+

√n

<2√n(n∈N∗)

变式.求证：1+

√2+

√3

+⋯+

√n

<√2(√2n+1−1)(n∈N∗)

例7. 求证：12

×34

×56

⋯

2n−12n

<√

12n+1

(n ∈N ∗)

变式.求证：(1+1)(1+1

4)(1+1

7)⋯(1+1

3n−2)>√3n +13

(n ∈N ∗

)

常见放缩公式： 平方型：1

n (n+1)

<

1n 2<

1n (n−1) (n ≥2)

1n 2

<

1

n 2−1=1

2(1

n−1−1

n+1

)(n ≥2) 1n 2=44n 2<44n 2−1=2(12n −1−12n +1) 1(2n −1)2<14n (n −1)=14(1n −1−1

n )(n ≥2)

立方型：

1n 3

<

1n (n 2−1

)

=1

2n (

1

n−1

−

1n+1

)=12

[1(

n−1)n

−

1n (n+1)

] (n ≥2)

根式型：

2(√n+1−√n)=

2

√n+1+√n

<

1

√n

=

2

2√n

<

2

√n+√n−1

=2(√n−√n−1)

1√n =

2√2

2√2n

<

2√2

√2n−1+√2n+1

=√2(√2n+1−√2n−1)

1√n+2=

2

2√n+2

<

2

√n+2+√n

=√n+2−√n

1

√n(n+1)<

1

√n+√n−1

=√n−√n−1

指数型：

1

a n−

b n ≤

1

a n−1(a−b)

(a>b≥1)

证：1

a n−

b n =1

a n−1[a−b⋅(b

a

)

n−1

]

≤1

a n−1[a−b⋅(b

a

)

]

=1

a n−1(a−b)

1 a n−b ≤

1

a n−1(a−b)

(a>b≥1)

证：1

a n−

b =1

a n−1(a−b

a n−1

)

≤1

a n−1(a−b

a0

)

=1

a n−1(a−b)

1 3n <

1

3n−2

≤

1

3n−1

1 4n <

1

4n−3

≤

1

4n−1

1 4n <

1

4n−1

≤

1

3⋅4n−1

奇偶型：

2n−1 2n <

2n−1

√(2n−1)(2n+1)

<√

2n−1

2n+1