同步发电机的数学模型解析
第六章同步电机数学模型
PD M D
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惯性时间常数的物理意义
2Wk J0 TJ SB SB
J0 Wk 2
t
2
2
反映发电机转子机械惯性的重要参数
TJ是转子在额定转速下的动能的两倍除以基准功率 同步发电机组惯性时间常数的物理 意义： 当转子上实施的净转矩为额定转矩 时，机组由静止到额定转速所需要 的时间
3. 同步电机的电压方程、磁链方程
电压方程：
ra
rf
Z
rD
Z
rQ
Z
ua
--
uf
定子侧：
a ia r u a
f u f r f i f
转子侧：
直轴阻尼绕组： 交轴阻尼绕组：
D 0 rD i D Q 0 rQ iQ
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二、电感系数
(一) 定子各相绕组的自感系数
Laa Lbb Lcc
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四. 同步电机转子的相对电角度
d 0 dt
两端同时除以 0 ，得出用标幺值表示的关系如下：
d * 1 dt
电力系统分析-同步电机的数学模型1
ub
ua
Rg ig
RQ iQ
4.1 abc坐标系的同步电机方程
4.1.2 abc坐标系的同步电机方程 1．同步电机绕组的电压和磁链方程
绕组的电压方程
ua Ra 0 0 0 0 0 0 ia a
ub
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ra
0
0
0
0
0
ib
b
uufc
Rf
uf
if
Lff
RD
iD
LDD
Ra
Laa
Lbb
Lcc Rc
Lgg Rg ig
LQQ RQ iQ
ia
Rb ib
ic uc
ub
ua
4.1 abc坐标系的同步电机方程
4.1.1 理想同步电机 2．同步电机绕组电流、电压和绕组磁轴的正方向
a
对于水轮发电机等凸极同步电机，阻尼绕组用 于模拟分布在转子上的阻尼条所产生的阻尼作 用；
基于模型统一的考虑，本书首先建立考虑转子 为凸极并具有D、Q、g三个阻尼绕组的同步电 机数学模型，而将转子仅有D和Q阻尼绕组的 凸极机分别处理为它的特殊情况。
d
y D
c
a
Q g
D
o
f
Dx
f
g
b
Q D
c
z
b
q
ia
Rf
Ra
if
Lff
RD
Laa
Lbb
Rb ib
iD
LDD
Lcc Rc
Lgg
LQQ
ic uc
ch06 同步发电机的数学模型
重点内容
1、掌握同步电机组的转子运动方程式； 2、掌握同步电机的原始基本方程； 3、掌握Park变换和dq0坐标系下的同步电机 方程; 4、同步发电机的电动势和电抗及等值电路。
1
第一节 同步电机的转子运动方程
• 同步发电机组的机械运动特性即指发电机 转子作旋转运动的特性。
18
ia，ib，ic三相不平衡时，每相中都含有相同的零 轴电流i0。三相零轴电流大小一样，空间互差 120°，其在气隙中的合成磁势为零，只产生与 定子绕组相交链的磁通，不产生与转子绕组交链 的磁通。 派克反变换的特点---交直互换 a,b,c系统中的直流分量和倍频交流分量对应于 d,q,0系统的基频分量； a,b,c系统中的基频交流 分量对应于d,q,0系统的直流分量。 派克反变换的意义 原来静止不动的定子abc三相绕组可以用和转子 一起旋转的的dq0三个绕组代替，其作用完全相 同即在空间共同形成一个以基频沿转子运动方向 19 旋转的综合电流相量。
当发电机以同步机械速度旋转时， 转子所具有的动能为：
1 2 2 WK JΩN J 2WK /ΩN 2
d M J J dt
dΩ 2WK dΩ M J 2 dt ΩN dt
基准值：MB=MN=SN/N----------- S N N dt
0 0 Rc 0 0 0
0 0 0 Rf 0 0
0 0 0 0 RD 0
a 0 ia ib 0 b 0 ic d c 0 if dt f 0 iD D R d iQ Q
d q 0 id i 0 q q d 0 i0 d 0 0 0 if dt f 0 0 iD D 0 R d iQ Q 0
第二章电力系统各元件的数学模型
试验时小绕组不过负荷，存在归算问题，归算到SN
2) 对于（100/50/100）
2
Pk (12)
P' k (12)
IN 0.5IN
P 4 ' k (12)
2
Pk ( 23)
P' k (23)
IN 0.5IN
P 4 ' k ( 23 )
3) 对于（100/100/50）
2
Pk (13)
P' k (13)
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
一次整循环换位：
A B
C
换位的目的：为了减 少三相参数的不平衡
§2.3 电力线路的参数和数学模型
Xd
§2.1 发电机的数学模型
受限条件
定子绕组： IN为限—S园弧
转子绕组： Eqn ife 励磁电流为限—F园弧 Xd
原动机出力：额定有功功率—BC直线
其它约束： 静稳、进相导致漏磁引起温升—T弧
进相运行时受定 子端部发热限制 受原动机出力限制
定子绕组不超 过额定电流
励磁绕组不超 过额定电流 留稳定储备
2、由短路电压百分比求XT（制造商已归算，直接用）
U U U U 1 k1(%) 2
k(12) (%) k(13) (%) (%) k(23)
XT1
Uk
1(%
)U2 N
100SN
U U U U 1 k2 (%) 2
k(12) (%) k(23) (%) (%) k(13)
同步发电机的数学模型
气隙上一点的磁通＝
d轴磁通在该点的投影＋ q轴磁通在该点的投影
φd
φq
φb = φd cosθb + φq cos(θb + 90o )
= Faλd cosθa cos(θa −120o )
− Faλq sin θa cos(θa −120o + 90o)
=
−K( λd
+ 4
λq
+
λd
− λq 2
cos 2(θa
− ia
意义：a相绕组中流过电流ia, 其它绕组开路， 计算b相绕组的磁链ψb，除以电流－ia得到b相 绕组与a相绕组的之间的互感。
绕组间的互感与各绕组本身的几何形状及周 围磁路的情况有关。
“理想电机”转子转动时，定子a、b相绕组之间
的磁路的磁导发生周期性的变化。也是２θa的周
期函数，周期为π。
只有d轴、q轴方向上的磁导是常数分别为 λd 和λq
定子绕组之间的互感
Lab = Lba , Lbc = Lcb , Lca = Lac
以a相绕组与b相绕组之间的互感为例，其它类似。由
ψ b = −Lbaia − Lbbib − Lbcic + Lbf i f + LbDiD + LbQiQ
所以
ψb
L = ba
ib =ic =i f =iD =iQ =0
−
Lt
cos 2(θ a
+ 30o )
定子绕组之间的互感公式
Lba Lbc
= =
Lab Lcb
= −M s = −M s
− Lt − Lt
cos 2(θ a cos 2(θb
+ 30o ) + 30o )
电 力 系 统第7章 同步发电机的数学模型
3
7.1.1
同步发电机的理想化基本假设
同步发电机的实际结构很复杂，但就电磁关系而言，它不过是由若干个有电
磁耦合关系的线圈所组成。如图7.1所示。
为了简化分析，通常对被研究的同步发电机作如下的假设： ①电机导磁部分的导磁系数不变。这就忽略了磁饱和、磁滞、涡流和集肤效
将式（7.33）代入式（7.22）即可得到用暂态电抗和暂态电势表示的电势方
程
由此可画出对应的纵横轴等值电路，如图7.6所示。
因此，式（7.34）可写成相量形式：
21
图7.6
用暂态参数表示的同步发电机等值电路 (a)纵横向；(b)横轴向
或将两个方程合成为：
一般有以下两种方式。 ①用电势 为 和电抗Xq作等值电路，如图7.4所示。不过，这时等值电势
30
由图7.15可得
图7.15
参
考轴与角度 将式（7.51）和式（7.53）代入式（7.50），可得：
31
于是得到用有名值表示的发电机转子运动方程：
如果考虑到发电机组的惯性较大，一般情况下机械角速度Ω 的变化不是太大 ，则可近似认为转矩的标幺值等于功率的标幺值，即：
于是，式（7.55）可表示为：
链平衡等值模型，且得出与此对应的用暂态电抗和暂态电势表示的同步电机
电压稳态方程和相量图，以及用次暂态电抗和次暂态电势表示的同步电机电 压稳态方程和相量图。最后，介绍了描述发电机转子动态特性的发电机转子
是因为定子三相合成磁势的幅值为一相磁势的3/2倍。 关于同步电机的标幺值系统在此不再赘述，以标幺值表示的电势方程和磁链
方程为
12
同样，定子绕组输出的功率也可进行坐标变换。 当电流和电压规定的正方 向与图7.1（b）相同时，定子绕组输出的总功率为：
永磁同步电机的模型和方法ppt课件
线重合， β轴超前α 轴90度，在α 、 β 、o坐标系中的电压电流，
可以直接从A 、B、C三相坐标系中的电压电流通过简单的线性
变换可以得到。一个旋转矢量从A 、B、C三相定子坐标系变换
到α 、 β 、o坐标系成为3/2变换，有
• 经过变换后得到α 、 β 、o坐标系的电压方
围。
• 力矩平衡方程式为：
• − =
+
• 从上述分析可以看出在d 、q、0坐标系下的
数学模型简单的多，方便控制
• 根据电机的数学模型，可以将永磁同步电
机简化为如图所示的d，q轴模型。永磁同
步电机的转矩方程表示发电机的电磁转矩
可以通过控制定子电流的d，q轴分量进行
控制。
程为：
• α 、 β 、o坐标系的磁链方程为：
• 其中：Ld、Lq分别是同步电机直轴交轴电感；
为永磁极产生的与定子绕组交链的磁链
在α 、 β 、o坐标系中，经过线性变换使A 、
B、C三相坐标系中的电机数学模型方程得到一定
简化。针对内永磁同步电机，因为转子的直、交
轴的不对称而具有凸极效应，因此在α 、 β 、o
永磁同步发电机控制策略
• 永磁同步发电机常用的矢量控制策略有：
（1）isd=0 控制；
• （2）最大转矩电流比控制：
• （3）单位功率因数控制；
• （4）最小损耗控制等。
• 每种控制策略都有其优缺点，于是针对永
磁同步电机不同控制目标下的矢量控制策
略进行比较分析。
• 2.1 id=0电流控制
• id=0的控制称为磁场定向控制，这种控制
18.同步发电机的数学模型(1)
全 国 网 联 仿 真 平 台
联网后电网总规模： 节点总数：１０１８３ 发电机总数：１０７３ 负荷总数：２９９８ 交流线路总数：１３４９２ 直流线路总数：４
绥中 — 姜家营 500KV交流
东北
华北
蔺河 — 获嘉 5 0 0 KV 交流
沧西－德州 山东 500KV 交流
川渝
万县－龙泉 500KV交流
励磁绕组 d轴D , rQ
分别为励磁绕组、D绕组、 Q绕组的等效电阻
绕组电压方程的矩阵形式
ua u b uc = u f u D uQ ψ a r ψ 0 b ψ c 0 p + ψ f 0 ψ D 0 ψ Q 0 0 0 r 0 0 r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rD 0 0 − ia 0 − ib 0 − ic 0 i f 0 iD rQ iQ
定子绕组电流、电压的正方 向，磁链的正方向定义
ψ
+
R
i
u
—
４、设q轴沿转子旋转方向 领先d轴90度电角度； ５、ｄ轴上的励磁绕组ｆ、阻 尼绕组Ｄ的磁链正方向与ｄ 轴的正方向一致； ６、ｑ轴上阻尼绕组Ｑ的磁链 正方向与ｑ轴的正方向一致； ７、ｆ、Ｄ、Ｑ三绕组的正电 流产生的磁链为正； ８、励磁绕组电流 if由端电 压uf的正极流入励磁绕组。
a相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转 子d轴与a相绕组轴线的夹角θa有关 θa＝± π/2 a 磁路磁导 最小，自 感最小 θa＝0，π a 磁路磁导 最大，自 感最大 磁路的磁导 λaa,自感Laa为θa的周 期函数，周期为 π。
转子绕组电流、电压的正方 向，磁链的正方向定义
同步电机数学模型
同步电机数学模型同步电机的基本⽅程式及数学模型派克⽅程1.1理想电机假设（1）电机磁铁部分的磁导率为常数，因此可以忽略掉磁滞、磁饱和的影响，也不计涡流及集肤效应作⽤等的影响；（2）定⼦的三个绕组的位置在空间互相相差120°电⾓度，3个绕组在结构上完全相同。
同时，他们均在⽓隙中产⽣正弦分布的磁动势；（3）定⼦及转⼦的槽及通风沟等不影响电机定⼦及转⼦的电感，因此认为电机的定⼦及转⼦具有光滑的表⾯；为了分析计算，还需要设定绕组电流、磁链正⽅向。
1.2abc 坐标下的有名值⽅程同步电机共有6个绕组分别为：定⼦绕组a,b,c ，转⼦励磁绕组f ，转⼦d 轴阻尼绕组D 以及转⼦q 轴阻尼绕组Q 。
需要求出每个绕组的电压、电流和磁链未知数，因此⼀共需要18个⽅程才能求解。
电压⽅程：00a a a ab b b b cc c c f f f fD D D D QQ Q Q u p r i u p r i u p r iu p r i u p r i u p r i ψψψψψψ=-??=-??=-?=-??=-≡??=-≡?D 绕组与Q 绕组均为⽆外接电源闭合绕组，因此电压均为0，从⽽上式中⼀共有8个⽅程。
磁链⽅程：11a a aa ab ac af aD aQ b b ba bb bc bf bD bQ c c ca cb cc cf cD cQ f f fa fb fc ff fD fQ Da Db Dc Df DD DQ D D Qa Qb Qc Qf QDQQ Q Q i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L L L L L L L i L L L L L L i L ψψψψψψ---==(33)12(33)21(33)22(33)abc fDQ i L L L i -?在电感矩阵中（针对凸极机），定⼦绕组⾃感和互感参数是随转⼦位置⽽变化的参数，⽽在转⼦绕组中，转⼦的⾃感和互感参数均为常数，⽽且D 轴与Q 轴正交，则D 轴绕组与Q 轴绕组互感为0。
永磁同步电机的复数数学模型
永磁同步电机的复数数学模型
永磁同步电机是一种采用永磁体作为励磁源的同步电机，其复
数数学模型可以通过磁动势方程和电磁转矩方程来描述。
首先，我
们可以从永磁同步电机的磁动势方程入手。
磁动势方程描述了永磁
同步电机中磁场的分布和变化规律。
其数学表达式为：
∇ × H = J + ∂D/∂t.
其中，∇ × H表示磁场的旋度，J表示电流密度，D表示电位
移矢量。
这个方程描述了磁场随时间和电流分布的变化关系。
接下来是永磁同步电机的电磁转矩方程。
电磁转矩方程描述了
电机在给定电流下产生的转矩。
其数学表达式为：
T_e = 1.5 (P/2) (ψ_m I_q ψ_q I_m)。
其中，T_e表示电磁转矩，P表示极对数，ψ_m和ψ_q分别表
示磁通链和电流的磁链，I_q和I_m分别表示电流的直轴分量和交
轴分量。
这个方程描述了电机的输出转矩与磁链和电流之间的关系。
综合考虑磁动势方程和电磁转矩方程，可以建立永磁同步电机的复数数学模型。
在这个模型中，磁链、电流和转矩可以用复数表示，从而方便进行分析和控制。
通过对这个复数数学模型的分析，可以设计出高效、精准的永磁同步电机控制策略，实现电机的高性能运行。
除了上述的磁动势方程和电磁转矩方程，永磁同步电机的复数数学模型还涉及到电机的参数、转子和定子的磁链方程、电流方程等内容。
这些内容综合起来构成了永磁同步电机的全面复数数学模型，为电机的分析、设计和控制提供了重要的理论基础。
电力系统分析-同步电机的简化数学模型
X X a 1 d eq id eq1 eq2 kd kd Xq Xq (Xq Xq )iq ed1 ed ed2 0 X q X a X q X a 1 ed iq ed1 ed2 kq kq ( X d X d )id eq1 eq
4.5同步电机的简化数学模型
eq1 X ad if
同时式(4-64)定义的空载电动势只有eq1、eq2和ed2；式(4-65)定义的暂态电动 势只有，即认为 ed1 ed 0 ( X ad X D ) D eq u Efq X ad f ( X aq X Q ) Q ed 转子绕组电压方程 Rf
4.5.1定子电压方程简化模型
定子绕组电压方程 d q Ra id ud q d Ra iq uq (4-69)
简化条件一
d q 0
1
简化条件二
ud q Ra id uq d Ra iq
4.5同步电机的简化数学模型
空载电动势表示的定子绕组磁链方程
d X d id eq1 eq2
q X q iq ed1 ed2
转子绕组磁链方程
( X d X d )id eq1 eq
(4-67)
定子绕组电压方程 d q Ra id ud q d Ra iq uq 转子绕组电压方程
e Efq eq1 q Td0 X a )2 (Xd e q Td0 eq2 Xd )( X d X a ) kd ( X d e ed1 d Tq0 2 X a ) (Xq e d Tq0 e Xq )( X q X a ) d2 kq ( X q e Efq eq1 q Td0 X a )2 (Xd e q Td0 eq2 Xd )( X d X a ) kd ( X d ( X q X a )2 e d Tq0 ed2 )( X q X a ) kq ( X q X q
课件：第12讲-同步发电机的数学模型
a相绕组的自感为
Laa Ls Lt cos 2a
• 对于b、c相绕组，因为
b
a a
240 120
c
a a
120 240
Lbb Lcc
Ls Ls
Lt Lt
cos 2b cos 2c
Ls
Ls
Lt cos 2(a 120
Lt cos 2(a 120 )
)
定子绕组之间的互感
Lab Lba, Lbc Lcb, Lca Lac
1、同步发电机的重要性
•现今我国电能90%以上来自同步发电机（火电、 核电、水电、部分风电等），在今后50年，主 要的电能仍将来源于同步发电机（三峡寿命至 少50年以上）；
•同步发电机的分析是电力系统分析的基础
– 电力系统最复杂的元件之一； – 其电磁暂态过程左右了电力系统的电磁暂态过程
2、同步发电机的结构与等值
iD
f
a D
ua
ia a
a
u f p f rf i f
c
uD p D rDiD 0
ic uc
c
p
d
uQ p Q rQiQ
为微分算子
0
r、rf、rD、rQ分别为定子绕组、 励磁绕组、D绕组、Q绕组的等
dt
效电阻.
绕组电压方程的矩阵形式
ua a r 0 0 0 0 0 ia
b ib b
ub
Q
iQ
c ic uc
c
d
uf if
iD
f
a D
ua
a ia
a
a相绕组的磁链
a Laaia Labib Lacic Laf if LaDiD LaQiQ
第2讲同步发电机数学模型详解
3 2
LaB
LDB
M afB M faB
2 3 LaB L fB
3 2
LaB L fB
M aQB M QaB
2 3
LaB
LQB
3 2
LaB
LQB
转子侧的基准值(第二约束)
关于转子绕组电流基值选取问题：Xad基值系统
用电机参数表示同步电机方程
标准X,从ad而基使值d系轴统、规q定轴了转转子子与绕定组子电绕流组基间值的的互选感取在 标幺值方程中分别等于Xad和Xaq。
ud p d q 0 uq p q d BM df I fB
定子绕组端电压峰值(有名值)
u ud2 uq2 uq BM df I fB X ad IaB
两边同除以 BM afB I fB
BM df I fB B M afB I fB
M df *
X ad IaB
B M afB I fB
M cQ
maQ
sin(
2 3
)
M aD M bD
maD maD
c os c os (
2 3
)
M cD
maD
c os (
2 3
)
转子各绕组的自感和转子绕组间的互感
转子各绕组的自感和转子绕组间的互感 均为常数。由于直轴和交轴的正交，则
M fQ M DQ 0
在abc坐标下基本方程存在的问题
由磁链方程和电压方程组成了以时间t为 自变量的变系数常微分方程，其求解非常困 难。
M qQ* M Qq* X aq*
dq0坐标下标幺制的电压方程
ud*
uq*
ra*
ra*
id*
iq*
d* q*
交流永磁同步电动机数学模型的建立与分析
交流永磁同步电动机数学模型的建立与分析1模型建立交流永磁同步电动机（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）根据转子位置可以分为内转子、外转子两种。
主要部件有机座、定子铁心、定子线圈、转子铁芯、永磁体、轴、轴承和电机端盖等，此外还包括转子支撑部件、冷却涵道、接线盒等结构。
PMSM的定子主要指定子绕组与定子铁心部分，对于常见的三相绕组，三相绕组对称分布，各相绕组轴线在空间互差120°，且通入三相绕组的电流相位依次相差120°。
PMSM的转子包括永磁体、转子铁心、转轴、轴承等。
转子提供的磁场主要是由转子铁芯上极性交替的永磁体所发出的，具体气隙平均磁密值大小以及气隙磁密波形的正弦性，主要取决于转子铁芯中永磁体的尺寸、摆放形式以及隔磁措施等因素。
为了所建立模型求解以及推导的便利性，首先对交流永磁同步电动机作如下假设：1)定子绕组Y接，三相绕组对称分布，各相绕组轴线在空间互差120°；转子上的永磁体在定转子气隙内产生主磁场，该磁场沿气隙圆周呈正弦波分布，转子没有阻尼绕组；2)忽略定子绕组的齿槽对气隙磁场分布的影响；3)假设铁心的磁导率时无穷大，不考虑电机定子和转子铁芯的涡流损耗以及磁滞损耗；4)认为定子绕组侧空载反电动势波形为正弦波；5)忽略电动机参数（绕组电阻与绕组电感等）的变化。
图3.1 三相两极PMSM结构简图如图3.1 所示，定子三相绕组AX、BY、CZ沿圆周均匀分布，A、B、C为各项绕组的首端，X、Y、Z为各项绕组的尾端，电流由绕组的首段流出，尾端流入。
此时绕组产生的磁场方向规定为该绕组轴线的正方向，即as、bs 和cs 分别代表A 相、B 相和C 相绕组的轴线，各相绕组分别通入相位相差120° 的电流。
以as、bs、cs为坐标轴，建立三相静止坐标系（如图3.1所示）。
转子的电角位置与电角速度的正方向选取为逆时针方向。
同步电机各阶次数学模型介绍
预备知识1：关于绕组的介绍，参照天津大学电力系统分析课件：（该图来自天津大学电力系统分析课件）（该图来自天津大学电力系统分析课件）预备知识2：同步机组9阶详细数学模型（注意，以下数学模型是以特定的参考方向定义为基础，不同的参考方向定义，数学模型表达式不同，这里仅仅是为了说明的方便直接使用了课件中的数学模型，读者不要直接套用）正式介绍各阶次详细模型（参考鞠平老师课件）：首先介绍符号意义：(（转子角速度）、（转子位置角）、（励磁绕组）、（转子直轴阻尼绕组）、转子交轴阻尼绕组）、（转子交轴阻尼绕组2）、（用户定义的定子坐标系d 轴）、（用户定义的定子坐标系q 轴）fD Q gd q ωδ然后这里以6阶为例进行说明上面要表达的意义：鞠平老师上面截图中6阶模型——、、、、、f g D Q ωδ注意这里少了d 、q 、0。
意义是在电压方程组中不考虑同步电机定子绕组d 轴、q 轴、0轴的电压方程的电磁暂态过程，即认为0;0q d d d dt dt ψψ==；00d dtψ=，所以电压方程组变为4阶（只有4个状态变量）：0000000000d a d q q a q d a f f f f D D D D g g g g Q Q Q Q u r i u r i u r i u p r i u p r i u p r i u p r i ωψωψψψψψ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中p 是微分算子，即d dt 。
这种简化的使用前提是，;q d q d d d dt dt ψψωψωψ，具体说明见下方截图（来自倪以信老师《动态电力系统的理论与分析》1.7.1节）。
这样4阶电压方程组、磁链代数方程组和2阶转子运动方程，就组成了描述同步机组动态物理特性的6阶详细数学模型，根据6阶详细模型可以进一步推导出6阶实用模型。
21同步发电机数学模型及运行特性
2.1同步发电机数学模型及运行特性本节主要阐述同步发电机稳态数学模型及运行特性：包括向量图、等值电路与功率方程以及功角特性。
2.1.1 同步发电机稳态数学模型理想电机假设：1）电机铁心部分的导磁系数为常数；2）电机定子三相绕组完全对称，在空间上互差120度，转子在结构上对本身的直轴和交轴完全对称；3）定子电流在空气隙中产生正弦分布的磁势，转子绕组和定子绕组间的互感磁通也在空气隙中按正弦规率分布；4）定子及转子的槽和通风沟不影响定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。
同步电动机是一种交流电机，主要做发电机用，也可做电动机用，一般用于功率较大，转速不要求调节的生产机械，例如大型水泵，空压机和矿井通风机等。
近年由于永磁材料和电子技术的发展，微型同步电机得到越来越广泛的应用。
同步电动机的特点之一是稳定运行时的转速n与定子电流的频率f1之间有严格不变的关系，即同步电动机的转速n与旋转磁场的转速n0相同。
“同步”之名由此而来。
同步发电机是电力系统中的电源，它的稳态特性与暂态行为在电力系统中具有支配地位。
虽然在电机学中已经学过同步电机，但那时侧重于基本电磁关系，而现在则从系统运行的角度审视发电机组。
1.同步发电机的相量图设发电机以滞后功率因数运行，三相同步发电机正常运行时，定子某一相空载电势Eq，输出电压或端电压U和输出电流I间的相位关系如图2-1所示。
δ是Eq领先U的角度，称为功角，是功率因数角，即U与I的相位差， Eq与q轴（横轴或交轴）重合，d为纵轴或直轴。
U和I的d、q分量为：图 2-1电势电压相量图电机学课程中已经讨论过，端电压和电流的分量与Eq间的关系为：（2-3）式中，r为定子每相绕组的电阻，x d为定子纵轴同步电抗，x q为定子横轴同步电抗。
其中空载电势Eq与转子励磁绕组中的励磁电流成正比，其比例系数可从空载试验中得到。
为了便于绘制相量图，令d轴作正实轴，q轴作正虚轴，则各相量可表示为所以（2-7）对于隐极式同步发电机（汽轮发电机），因气隙均匀，直轴和交轴同步电抗相等（x d=x q），上式变为（2-8）此即表示隐极式同步发电机的方程，由此即可作出它的等值电路和相量图，如图2-2所示（a）等值电路（b）矢量图图2-2 隐极式同步发电机等值电路和矢量图凸极式同步发电机（水轮发电机），把电枢反应磁势分解为d轴及q轴两个分量，d轴电枢反应磁势的位置固定在转子d轴上，q轴电枢反应磁势的位置固定在转子q轴上，从而解决了合成磁势遇到的不同气隙宽度的困难。
电力系统分析第7章同步发电机的数学模型
7.1.2 电压方程和磁链方程
1、电压方程及磁链方程
根据以上设定的正方向，定子和转子各回路的电压方程 可用矩阵表示为
ua
ub
uc
.....
u
f
0
0
r 0 0M 0 0 0
。
（2）定子绕组间的互感 凸极机中，定子各绕组间的互感系数也与转子的位置有关。现以 a相与b相之间的互感系数Mab为例，分析其变化规律。由图7-4a
可见，当 为60°和240°时，转子轴线在a、b两相绕组轴线的
中间位置，此时两相绕组的公共磁通遇到的磁组最大，因而绕组 间互感系数Mab的绝对值最小；当 为150°和-30°时，公共磁 通路径的磁组最小，因而互感系数的绝对值Mab最大。由此可见，
iabc
i
fQD
&abc &fQD
（7-2）
式中rs、rR和分别为定子和转子电阻矩阵。
由于各绕组是互相耦合的，因此绕组的磁链将包括本绕组电 流所产生的自感磁链和由其他绕组的电流与本绕组间产生的 互感磁链。各绕组的磁链方程可用矩阵表示为
a Laa M ab M ac
定子互感系数也是一个以 为周期、随 角而变化的周期函数。
由于两个绕组的空间位置相差120°，a相绕组的正磁通交链到b 相绕组时就成了负磁通，所以互感系数Mab恒为负值。同理，b、 c绕组间以及c、a相绕组间互感系数也是负的。根据上述分析，
互感系数与 角的函 数关系可以表示为
图7-4 定子绕组间的互感 a）转子的不同位置；b）互感的变化规律
最新2.1同步发电机数学模型及运行特性
2.1同步发电机数学模型及运行特性本节主要阐述同步发电机稳态数学模型及运行特性：包括向量图、等值电路与功率方程以及功角特性。
2.1.1 同步发电机稳态数学模型理想电机假设：1）电机铁心部分的导磁系数为常数；2）电机定子三相绕组完全对称，在空间上互差120度，转子在结构上对本身的直轴和交轴完全对称；3）定子电流在空气隙中产生正弦分布的磁势，转子绕组和定子绕组间的互感磁通也在空气隙中按正弦规率分布；4）定子及转子的槽和通风沟不影响定子及转子的电感，即认为电机的定子及转子具有光滑的表面。
同步电动机是一种交流电机，主要做发电机用，也可做电动机用，一般用于功率较大，转速不要求调节的生产机械，例如大型水泵，空压机和矿井通风机等。
近年由于永磁材料和电子技术的发展，微型同步电机得到越来越广泛的应用。
同步电动机的特点之一是稳定运行时的转速n与定子电流的频率f1之间有严格不变的关系，即同步电动机的转速n与旋转磁场的转速n0相同。
“同步”之名由此而来。
同步发电机是电力系统中的电源，它的稳态特性与暂态行为在电力系统中具有支配地位。
虽然在电机学中已经学过同步电机，但那时侧重于基本电磁关系，而现在则从系统运行的角度审视发电机组。
1.同步发电机的相量图设发电机以滞后功率因数运行，三相同步发电机正常运行时，定子某一相空载电势Eq，输出电压或端电压U和输出电流I间的相位关系如图2-1所示。
δ是Eq领先U的角度，称为功角，是功率因数角，即U与I的相位差， Eq与q轴（横轴或交轴）重合，d为纵轴或直轴。
U和I的d、q分量为：图 2-1电势电压相量图电机学课程中已经讨论过，端电压和电流的分量与Eq间的关系为：（2-3）式中，r为定子每相绕组的电阻，x d为定子纵轴同步电抗，x q为定子横轴同步电抗。
其中空载电势Eq与转子励磁绕组中的励磁电流成正比，其比例系数可从空载试验中得到。
为了便于绘制相量图，令d轴作正实轴，q轴作正虚轴，则各相量可表示为所以（2-7）对于隐极式同步发电机（汽轮发电机），因气隙均匀，直轴和交轴同步电抗相等（x d=x q），上式变为（2-8）此即表示隐极式同步发电机的方程，由此即可作出它的等值电路和相量图，如图2-2所示（a）等值电路（b）矢量图图2-2 隐极式同步发电机等值电路和矢量图凸极式同步发电机（水轮发电机），把电枢反应磁势分解为d轴及q轴两个分量，d轴电枢反应磁势的位置固定在转子d轴上，q轴电枢反应磁势的位置固定在转子q轴上，从而解决了合成磁势遇到的不同气隙宽度的困难。
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弦分布的磁动势； • 电机空载，转子恒速旋转时，转子绕组的磁动势切割
定子绕组所感应的空载电势为时间的正弦函数； • 不计定子和转子的槽和通风沟对其电感的影响。
具有阻尼绕组的凸极机绕组布置
• 定子侧：a、b、c三个 绕组；
L fb
L fc
D LDa LDb LDc
L ff
L fD
L fQ
i
f
LDf LDD LDQ iD
Q
LQa
LQb
LQc
LQf
LQD
LQQ
iQ
式中，Laa为绕组的自感系数；Lab绕组a和绕组b之间的互
感系数；其余类推．
也可用分块矩阵表示为
ψabc ψ fDQ
LSS LRS
aa wa a ad cos aq sin wa2ia s ad cos2 aq sin2
于是有
Laa aa ia wa2 s ad cos2 aq sin2
l0 l2 cos 2
式中
l0
wa2
s
1 2
(ad
aq
)
l2
1 2
wa2 (ad
aq )
1 基本前提 2 同步电机的原始方程 3 dq0坐标系的同步发电机方程 4 同步电机方程的实用化 5 暂态电势与暂态电抗 6 转子运动方程 7 同步电机实用模型
几个概念
• 一、法拉第电磁感应定律 若回路为多匝，上式改为：
e d
dt e d
dt
式中ψ 为链过整个回路的磁链．ψ＝ωφ，ω为回路的匝数．
Q
ia
0
ib
ic
rf rD
i
f
iD
rQ
iQ
式中，v为各绕组端电压，i各绕组电流，r定子各相绕组电阻， ψ各绕组总磁链。
• 相应的分块矩阵为
vabc
v
fDQ
ψabc
ψ
fDQ
rS
0
0 iabc
rR
i
fDQ
式中， rs和r分R 别为定子和转子的电阻矩阵。
• 二、磁路欧姆定律（安培全电流定律）
磁路中的磁通等于作用在磁路上的磁势除以磁路的总磁
阻．
F / R F
磁势F=ωI, 磁阻R,磁导Λ（磁阻的倒数） 三、电感L=ψ/i 四、旋转磁场与电枢反应（双反应理论）
1 基本前提
• 一、理想同步电机 • 二、假定正方向的选取
一、理想同步电机
• 不计磁路饱和、磁滞、涡流等的影响，即假定电机的 导磁系数为常数；叠加原理。
α角为d轴与a相绕组轴线的夹角
如果用λad和λaq分别表示沿d轴和q轴方向 气隙磁通路径的磁导，则由定子磁势Fa 沿两个轴向产生的气隙磁通为
ad ad Fa cos
aq
aq Fa
sin
Fa产生的定子绕组漏磁通为
a s Fa
Fa waia
由电流ia产生的与a相绕组交链的磁链为
若假定漏磁通路径的磁导为λmσ，则a、 b 相绕组间的漏磁通为
7 发电机和负荷的动态模型
• 同步发电机的数学模型 • 发电机励磁系统的数学模型 • 原动机及调速系统的数学模型 • 负荷的数学模型
7 同步电机的数学模型
电力系统中的电源是同步发电机。同步发电机的动态特性或者说 动态数学模型是研究电力系统动态行为的基础。在研究建立同步电机 的数学模型的近百年历史中有两个重要的里程碑。一个是 20 世纪 20 年代的双反应理论的建立另一个是20 世纪 30 年代提出的Park变换。 帕克在合适的理想化假设条件下，利用电机的双反应原理推导出了采 用 dq坐标系的同步电机基本方程。
• 转子侧：励磁绕组f、 纵轴阻尼绕组D和横轴 阻尼绕组Q。
位置角
说明：
水轮发电机：阻尼绕组模 拟阻尼条阻尼作用；
汽轮发电机：模拟实心转 子涡流所起的阻尼作用。 除了 D 、 Q 绕组外， 有时在交轴上再增加一 个等值阻尼绕组，记为 g 绕组。 g 绕组和 Q 绕组分别用于反映阻尼 作用较强和较弱的涡流 效应。
２．绕组的磁链方程（ψ＝Li）
总磁链＝本绕组电流产生的磁链＋其它绕组电流产生的与本绕组交链的磁链
用矩阵形式表示为
a Laa Lab Lac
b
Lba
Lbb
Lbc
Laf LaD LaQ ia
Lbf
LbD
LbQ
ib
c
Lca
Lcb
Lcc
Lcf
LcD
LcQ
ic
f
L
fa
由此可见，定子绕组的自感系数是转子位 置角α的周期函数，其周期为π。
自感系数有最大值和最小值的转子位置。
由于定子三相绕组对称，同理可得
Lbb Lcc
l0 l0
l2 l2
cos 2( cos 2(
120)
120)
⒉ 定子绕组间的互感系数
由定子a相电流产生的磁通交链到b相绕组的 部分也是由气隙磁通和漏磁通两部分组成。
LSR iabc
LRR
i
fDQ
• 转子旋转时，定、转子绕组的相对位置不断变化，电机的许多 自感、互感系数也随之变化，因而也是转子位置的函数。
二、电感系数
⒈ 定子各相绕组的自感系数
以a相为例分析如下：
a相绕组电流 ia
正弦分布的磁势Fa
Fa waia
Fa cos (d轴分量) Fa sin (q轴分量)
• 转子各绕组感应电势的正方向同 本绕组电流的正方向；
• 向励磁绕组提供正向励磁电流的 电压方向为励磁电压的正方向；
• D、Q阻尼绕组的外加电压为零。 • 转子横(q)轴落后于纵(d)轴90度
2 同步发电机的原始方程
• 一、电势方程和磁链方程 • 二、电感系数
va ea ria
vb
eb
rib
vc
ec
ric
v f ef rf if
0 eD rDiD
0 eQ rQiQ
一、电势方程和磁链方程
1.回路电势方程：
根据以上假定正方向，可得定转子各绕组的电势矩阵方程式为
va
vb
a r 0 0
b
0
r
0
vc
c
0
0
r
v
f
0
f
D
0
0
g绕组
二、假定正方向的选取
同步发电机的定子、转子各绕组的回路 电压电流正方向
同步发电机各绕组轴线的正方向
• 各绕组磁轴线正方向同该绕组磁 链的正方向；对本绕组产生正向 磁链的电流为该绕组的正电流；
• 定子电流的正方向为从绕组的中 性点流向端点的方向；各相感应 电势的正方向同相电流的方向；
• 电压的正方向为向外电路送出正 向电流的方向；