第三节 直接证明和间接证明

第三节直接证明和间接证明
A组基础题组
1.(2018衡阳示范高中联考(二))用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”的正确假设为( )
A.自然数a,b,c中至少有两个偶数
B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
C.自然数a,b,c都是奇数
D.自然数a,b,c都是偶数
答案 B “自然数a,b,c中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数,其否定是“自然数a,b,c均为奇数或自然数a,b,c中至少有两个偶数”.
2.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是( )
A.x2>2
B.x2>4
C.x2>0
D.x2>1
答案 C 因为x>0,
所以要证<1+,
只需证()2<,
即证0<,
即证x2>0,
因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.
3.在△ABC中,sin AsinC<cos AcosC,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
答案 C 由sin AsinC<cos AcosC,得cos AcosC-sin AsinC>0,即cos(A+C)>0,所以A+C 是锐角,
从而B>,故△ABC必是钝角三角形.
4.利用数学归纳法证明不等式1+++…+
-
<f(n)(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了( )
A.1项
B.k项
C.2k-1项
D.2k项
答案 D 令不等式的左边为g(n),则
g(k+1)-g(k)=1+++…+
-+++…+
-
-…
-
=++…+
-
,
增加的项数为2k+1-1-2k+1=2k+1-2k=2k.
故左边增加了2k项.
5.设a>b>0,m=-,n=-,则m,n的大小关系是.
答案m<n
解析(分析法)-<-⇐+->⇐a<b+2·-+a-b⇐2·->0,显然成立.
6.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一点c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是.
答案-
解析(补集法)令--
--
解得p≤-3或p≥,故满足条件的p的取值
范围是-.
7.已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+x3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线.
(1)求a,b的值;
(2)证明:f(x)≤g(x).
解析(1)f '(x)=,g'(x)=b-x+x2,
由题意得
解得a=0,b=1.
(2)证明:令h(x)=f(x)-g(x),
即h(x)=ln(x+1)-x3+x2-x(x>-1),
则h'(x)=-x2+x-1=-.
易知h(x)在(-1,0)上为增函数,
在 0 +∞ 上为减函数.
h(x)
max
=h(0)=0,所以h(x)≤0,
即f(x)≤g(x).
8.已知点P
n (a
n
,b
n
)满足a
n+1
=a
n
·b
n+1
,b
n+1
=
-
(n∈N*)且点P
1
的坐标为(1,-1).
(1)求过点P
1,P
2
的直线l的方程;
(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N*,点P
n
都在(1)中的直线l上.
解析(1)由P
1的坐标为(1,-1)知a
1
=1,b
1
=-1.
所以b
2=
-
=,a
2
=a
1
·b
2
=.
所以点P
2
的坐标为.
所以直线l的方程为2x+y=1.
(2)证明:①当n=1时,
2a
1+b
1
=2×1+ -1)=1成立.
②假设n=k(n∈N*,k≥2)时,2a
k +b
k
=1成立,
则2a
k+1+b
k+1
=2a
k
·b
k+1
+b
k+1
=
-(2a
k
+1)
=
-=-
-
=1,
所以当n=k+1时,命题也成立.
由①②知,对n∈N*,都有2a
n +b
n
=1,
即点P
n
都在直线l上.
B组提升题组
1.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)单调递减,若x
1+x
2
>0,则f(x
1
)+ f(x
2
)
的值( )
A.恒为负值
B.恒等于零
C.恒为正值
D.无法确定正负
答案 A 由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)单调递减,
可知f(x)是R上的单调递减函数,
由x
1+x
2
>0,可知x
1
>-x
2
, f(x
1
)< f(-x
2
)=-f(x
2
),
则f(x
1)+f(x
2
)<0,故选A.
2.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( )
A.n+1
B.2n
C. D.n2+n+1
答案 C 1条直线将平面分成1+1=2个区域;
2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;
3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域;
……
n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域.
3.已知等差数列{a
n }中,首项a
1
>0,公差d>0.
(1)若a
1
=1,d=2,且,,成等比数列,求正整数m的值;
(2)求证:对任意正整数n,,,都不成等差数列.
解析(1)由题意,得·=,()2=(a
1a
m
)2,因为a
1
=1,d=2,所以=a
1
a
m
,即
49=1+(m-1)·2,解得m=25.
(2)证明:假设,,成等差数列,则+=,即-=-,
-=-,
所以(a
n+1+a
n+2
)=(a
n
+a
n+1
),
(2a
n +3d)=(a
n
+2d)2(2a
n
+d),
即2d(3+6a
n
d+2d2)=0,①
因为a
1
>0,d>0,
所以a
n =a
1
+(n-1)d>0,
故2d(3+6a
n
d+2d2)>0与①式矛盾,
所以假设不成立.
即对任意正整数n,,,都不成等差数列.
4.设集合M={1,2,3,…,n}(n≥3,n∈N*),记M的含有三个元素的子集的个数为S
n
,同时将每
一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为T
n
.
(1)求,,,的值;
(2)猜想的表达式,并证明.
解析(1)=2,=,=3,=.
(2)猜想=(n≥3,n∈N*).
下面用数学归纳法证明.
①当n=3时,由(1)知猜想成立;
②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时,猜想成立,即=,而S
k =,所以T
k
=.
则当n=k+1时,易知S
k+1
=,
而当集合M从{1,2,3,…,k}变为{1,2,3,…,k,k+1}时,T
k+1在T
k
的基础上增加了1个2,2个
3,3个4,……,(k-1)个k,
所以T k+1=T k +2×1+3×2+4×3+…+k(k-1) = +2( + + +…+ )
=
+2( + + +…+ )
=
- +2 =
=
S k+1,
故
=
.
所以当n=k+1时,猜想也成立. 综上所述,猜想成立,即
=
(n ≥3,n ∈N *).。