最新人教版高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》本章小结

本章小结

知识整合

这一章的内容主要包括曲线与方程,椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系,以及它们在实际中的一些应用.

1.曲线和方程的关系,反映了现实世界空间形式和数量关系之间的某种联系.我们把曲线看作适合某种条件p的点M的集合P={M|P(M)}.在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.

求曲线方程一般有下面几个步骤:

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任一点M的坐标;

(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|P(M)};

(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;

(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;

(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

一般地,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外,也可根据情况省略步骤(2),直接列出曲线方程.

2.椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标准方程,并通过分析标准方程研究这种曲线的几何性质.

三种曲线的标准方程(各取其中一种)和图形、性质如下表:

3.椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线,它们的统一性如下:

(1)从方程的形式看:在直角坐标系中,这几种曲线的方程都是二元二次的,所以它们属于二次曲线.

(2)从点的轨迹的观点看:它们都是与定点和定直线的距离比是常数e的点的轨迹,这个定

点是它们的焦点(定直线叫做它们的准线).只是由于离心率e 取值的范围不同,而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线.

(3)这三种曲线都是可以由平面截圆锥面而得到的截线(如右图

).

在宇宙间运动的天体,如行星、彗星、人造卫星等,由于运动速度的不同,它们的轨道有的是椭圆,有的是双曲线,有的是抛物线.

4.直线与圆锥曲线有无公共点,等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解.方程组有几组实数解,直线与圆锥曲线就有几个公共点;方程组没有实数解,直线与曲线就没有公共点.

5.本章研究几何图形时,大量采用了坐标法,利用曲线的方程讨论曲线的性质,解决几何问题.由于几何研究的对象是图形,而图形的直观性会帮助我们发现问题,启发我们的思路,找到解决问题的有效办法,所以在解本章题目时,最好先画出草图,注意观察、分析图形的特征,将形与数结合起来.

典例启示

【例1】 设F 1、F 2为椭圆14

92

2=+y x 的两个焦点,P 为椭圆上一点,已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF 1|>|PF 2|,求

|

||

|21PF PF 的值.

解:由题可得|PF 1|+|PF 2|=6,|F 1F 2|=25. 若∠PF 2F 1为直角,则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2, 即|PF 1|2=(6-|PF 1|)2+20, ∴314||1=

PF ,34

||2=PF .∴2

7||||21=PF PF . 若∠F 1PF 2为直角,则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2,

即20=|PF 1|2+(6-|PF 1|)2, 得|PF 1|=4,|PF 2|=2,∴

2|

||

|21=PF PF .

启示:涉及椭圆的焦点和椭圆上一点之间的距离问题,常利用椭圆的定义来解决.

【例2】 已知α∈［0,π),试讨论当α的值变化时,方程x 2s in α+y 2cos α=1表示曲线的形状. 解:(1)当α=0时,方程为y 2=1,即y=±1,表示两条平行于x 轴的直线.

(2)当α∈(0,4

π)时,cos α>s in α>0,方程化为1cos 1sin 12

2=+a

y a x ,表示焦点在x 轴上的椭圆.

(3)当4

π

=

a 时,方程为x 2+y 2=2,表示圆心在原点,半径为42的圆.

(4)当)2

,4(π

π∈a 时,s in α>cos α>0,方程x 2s in α+y 2cos α=1表示焦点在y 轴上的椭圆. (5)当2

π

=

a 时,方程化为x 2=1,即x=±1,表示两条平行于y 轴的直线.

(6)当),2

(

ππ

∈a 时, s in α>0,cos α<0,方程x 2s in α+y 2cos α=1表示焦点在x 轴上的双曲线.

启示:方程x 2s in α+y 2cos α=1表示的曲线的形状由s in α和cos α的值确定,s in α和cos α的值

又由α的值确定.α在不同范围内取值时,方程x 2s in α+y 2cos α=1表示的曲线的形状不同.因此,解答本例的关键之处在于对α的分类讨论.

【例3】 以P (1,8)为中点作双曲线y 2-4x 2=4的一条弦AB ,求直线AB 的方程. 解法一:当过P 点的直线和x 轴垂直时,直线被双曲线截得的弦的中点不是P 点. 当直线AB 与x 轴不垂直时,设其斜率为k ,则直线AB 的方程为y -8=k (x -1).

由⎩⎨

⎧=--=-,

44),1(82

2

x y x k y 得

(k 2-4)x 2+2k (8-k )x +(8-k )2-4=0(k 2-4≠0). (*)

设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1、x 2是方程(*)的两个不等实根, ∴Δ=4k 2(8-k )2-4(k 2-4)［(8-k )2-4］>0.① ∵弦AB 的中点是P (1,8),

∴由中点坐标公式与韦达定理,得14

)

8(2

=---k k k .② 由①②得2

1=

k . ∴直线AB 的方程为)1(2

1

8-=

-x y ,即x -2y +15=0. 解法二:设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则y 12-4x 12=4,y 22-4x 22=4, ∴(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1+x 2)(x 1-x 2).

∵线段AB 的中点是P (1,8),∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=16.∴16(y 1-y 2)=4×2(x 1-x 2). ∴直线AB 的斜率为

2

1

2121=--x x y y .

∴直线AB 的方程为)1(2

1

8-=

-x y , 即x -2y +15=0.

启示:解法一和解法二都是解决弦的中点问题的常用方法.解法一是由直线的方程与双曲线的方程联立,消去y (或x )得关于x (或y )的二次方程,运用中点坐标公式和韦达定理求得k .解法二是设出弦的端点坐标代入曲线方程得到两个等式,并把两个等式相减,结合中点公式求得斜率,这种方法习惯称作“点差法”.

【例4】 线段AB 过点M (m ,0)(m >0,如右图),并且点A 、B 到x 轴的距离之积为4m ,抛物线C 以x 轴为对称轴且经过O 、A 、B 三点.