高一数学课件-二次函数

ax2+bx+c>0的 解集
ax2+bx+c<0的 解集
∆ >0
x1= b ， 2a
b
x2=__2_a___ {x_|x_<_x_1或__x_>_x2} {_x_|x_1_<_x_<_x_2}
∆ =0
x0
b 2a
{_x_|x_≠_x_0_}__
___∅_____
∆ <0
无解 __R______ __∅______
第六节 二次函数
基础梳理
1. 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) . (2)顶点式： f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) . (3)交点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a ≠ 0) . 2. 二次函数的图象和性质
解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0)
的 最小值为h(t)，写出h(t)的表达式．
分析： 在对称轴确定的情况下，对区间[t，t+1]进行讨论．
解：二次函数的图象的对称轴x=- 3 ，
(1)当t+1≤- 3，即t≤h(t)=f(t+1)=t22+5t-1； (2)当t<- 3 ＜t+1，即-
2
时52 ，
5 2
＜t＜-
3 2
2
时，
h(t)=
1
f 1
a
2
2
0
或
1
f
1 a 1 a
4
2
1 a
1
或
a
4
0 f 4 16a
8
2
0
a a
1 0
或
1
4
a
a
1 2
1 或
a a
1 4 3 8
.
a 1或 1 a 1或,即a 1
2
2
当a
0时,
f f
1 a 2 2 0 4 16a 8 2
0
,
a为;
当a=0时，f(x)=-2x+2，
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1. (2010天津)设函数g(x)=x2-2，(x∈R)，
gx x 4, x gx
f(x)=gx x, x gx
则f(x)的值域为___94_0__U_(2_, __)_．
知识准备： 1. 会解一元二次不等式； 2. 熟练求解二次函数的值域； 3. 理解、掌握分段函数的值域的含义．
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域 值域
单调性
R
4ac 4a
b2
,
在x∈__,_ _2ba_ _时单调递
减
在x∈__2ba_,__ _时单调递 增
R
,
4ac 4a
b2
在x∈__ 2_ba_,__时单 调递减
在x∈__,_ _2ba_ _时单 调递增
奇偶性
顶点 对称性
5. (2011扬州中学期中考试)若不等式x2+bx+c＜0的解集 是(-1,2)，则b+c=_____-_3__.
解析：由已知条件得
1 2 b 1 2 c
解得
b c
1
2，∴b+c=-3.
经典例题
题型一 求二次函数解析式
【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1， 且f(x)的最大值是8，试求此二次函数的解析式．
__b_=_0__时为偶函数，b_≠_0____时为非奇非偶
函数
b 2a
,
4ac 4a
b2
图象关于直线__x___2_ba__成轴对称图形
3. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 三者之间的关系如下表所示：
∆=b2-4ac
y=ax2+bx+c 的图象(a>0)
方程 ax2+bx+c=0的 解
1 2
，在区间[m，n]上有值域
[3m,3n]，
则3n≤ 12，n≤ ，16 故m<n≤ ，16 ∴函数f(x)在[m，n]
上为增函数．
∴f(m)=3m，且f(n)=3n，
∴m、n是方程f(x)=3x的两个不等根． ∴- 1 x2+x=3x，即x2+4x=0， ∴x12=0，x2=-4，m<n，∴m=-4，n=0.
变式1-1
如图是一个二次函数y=f(x)的图象． (1)写出这个二次函数的零点； (2)求这个二次函数的解析式； (3)当实数k在何范围内变化时，g(x)=f(x)-kx 在区间[-2,2]上是单调函数．
解析：(1)由图可知二次函数的零点为-3，1. (2)设二次函数为y=a(x+3)(x-1)，由点(-1，4)在 函数图象上，得a=-1，则y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3. (3)g(x)=-x2-2x+3-kx=-x2-(k+2)x+3，开口向下，
∴所求二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7
方法二：利用二次函数顶点式．
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)． ∵f(2)=f(-1)， ∴∴抛m=12物线.对称轴为x12= ， 又∴∵解根f得f ((2x)据a)==a题--14x ，.意12f即函(2ax) x8数412有x2最1282大81=-值4x2 +f，4(xx+)7.m.ax=8，
x2 x2
x x
a，x a，x
0 0
作出图象，如图所示．
1
此要∴曲使1＜线y=a与＜1与y5轴其.交有于四(个0，交a点)点，，只最需小a-值14为＜a1-＜4 a，，
4
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分析： 由题目条件知二次函数过(2，-1)，(-1，-1)两点， 且知其最大值，所以可应用一般式、顶点式或两根式 解题．
解：方法一：利用二次函数一般式． 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)．
由题意得
4a 2b c 1 a b c 1
4ac
b2
8
4a
解得
a b
4 4
c 7.
基础达标
1.(必修1P25练习7改编)函数f(x)=(x-1)2-1，x∈[0,2]的 值域为__[_-1__,0_]__． 2. (必修1P44习题9改编)f(x)=x2+(m+2)x+1是偶函数， 则m=__-_2_____. 1. 解析：0≤x≤2时，f(x)max=f(0)=f(2)=0，f(x)min=-1， 故值域为[-1,0]． 2.解析：由f(-x)=f(x)，得m+2=0，则m=-2.
f
(
3) 2
=-
29 4
；
(3)当t≥- 3 时，h(t)=f(t)=t2+3t-5.
2
t 2
+5t-1,t
5 2
故h(t)
29 4
,
3 2
t
5 2
t 2
+3t-5,t
3 2
变式2-1
已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有最小值3， 求实数a的值．
题型三 二次函数的综合应用
-
9 4
≤f(x)≤0，
∴f(x)的值域为
9 4
，0
∪(2，+∞)．
2. (2010全国Ⅰ)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a 有四个交点，则a的取值范围是__1_，_54_ ___．
知识准备：
1.
会画分段函数y=
x2
x
2
x x
a, a,
x x
0 0
的图象；
2. 会解一元二次不等式．
Baidu Nhomakorabea
解析：y=
解析：当x<g(x)时，即x<x2-2， ∴x2-x-2>0，(x-2)(x+1)>0， ∴x>2或x<-1， 同理x≥g(x)⇒-1≤x≤2；
x2 x 2, x 2或x 1
f
(x)
x
2
x
2，1
x
2
当x>2或x<-1时，f(x)=x2+x+2>(-1)2+(-1)+2=2；
当-1≤x≤2时，f(x)=x2-x-2，
f(1)=0，f(4)=-6，不合题意， 综上可得，实数a的取值范围是
1 2
,
.
变式3-1
已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足条件：f(-x+5)=f(x-3)， 且方程f(x)=x有等根． (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m、n(m<n)，使f(x)的定义域和值域 分别是[m，n]和[3m,3n]？如果存在，求出m，n的值； 若不存在，说明理由．
3. f(x)=x2-2ax+3的增区间为[4，+∞)，则a=_____4___. 4. 二次函数f(x)的图象的顶点为(2,4)且过点(3,0)，则 f(x)=_____-_4_x_2+_1_6_x_-_1_2__.
3.解析：由题意知增区间为[a，+∞)，∴a=4. 4.解析：设f(x)=a(x-2)2+4过(3,0)，故0=a(3-2)2+4， ∴a=-4.∴f(x)=-4(x-2)2+4=-4x2+16x-12.
解析：(1)f(x)满足f(-x+5)=f(x-3)，则函数f(x)的图象关于 直线x=1对称，故2b-a =1，b= -2a. 又f(x)=x有等根，即ax2+(b-1)x=0有等根，则b=1，
∴a=－
1 2
，∴f(x)=－
1 2
x2+x.
(2)由f(x)=－
1 2
x2+x=－12(x-1)2+
方法三：利用两根式． 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1， 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a¹0)， 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值f(x)max=8，
即 4a2a 1 a2 =8，
4a
解得a=-4，或a=0(舍去)． ∴所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
对称轴为x=- k 2 .
2
当- k 2 ≤-2，即k≥2时，g(x)在[-2,2]上单调递减；
2
当- k 2 ≥2，即k≤-6时，g(x)在[-2,2]上单调递增．
2
综上所述，当k≤-6或k≥2时，g(x)在区间[-2,2] 上是单调函数．
题型二 求二次函数最值 【例2】已知f(x)=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f(x)
【例3】设函数f(x)=ax2-2x+2，对于满足1<x<4 的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围．
分析： 分a>0，a<0，a=0三种情况讨论，并使每种情况下在 (1,4)上最低点函数值或最小值大于或等于零，从而求 得a的取值范围．
解
:当a>0时,f
(x)
x
1 a
2
2
1 a
.
1 a