角与角的概念

1．1．1 角的概念的推广

1．角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)图示

，称它形成了一个零角

2．象限角:是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

3．终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

1．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z

C ．k ·360°＋45°，k ∈Z

D ．k ·180°＋45°，k ∈Z

2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( )A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限

C ．第二或第四象限

D ．第三或第四象限

3．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝C D ．A ＝D

4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角 D ．第四象限角

5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M P D ．M ∩P ＝∅

6．已知α为第三象限角，则α2

所在的象限是( )A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限

7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．8．经过10分钟，分针转了________度．

9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是_____________________．

10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________．

11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′．

12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．

13．如图所示，写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．

14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角？

弧度制和弧度制与角度制的换算

1．角的单位制(1)角度制：规定周角的1360

为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．

2．角度制与弧度制的换算

3

1集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是()A ．A ＝B B ．A ⊆B C ．B ⊆A D 以上都不2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1

D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )

A ．1或4

B ．1或2

C ．2或4

D ．1或5

4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )

A ．∅

B ．{α|－4≤α≤π}

C ．{α|0≤α≤π}

D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}

5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34

π 6．扇形圆心角为π3

，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9

7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形

半径为____．9．若2π<α<4π，且α的终边与－7π6

角的终边垂直，则α＝______． 10．若角α的终边与角π6

的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝__________． 11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：

(1)－1 500° (2)236

π (3)－4 12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．

14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．

(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

1.2.1 三角函数的定义

1．任意角三角函数的定义

2．六种三角函数值在各象限的符号

3．三角函数的定义域

1．若α的终边与y 轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是( )

A ．sin α与cos α

B ．tan α与cot α

C ．tan α与sec α

D ．cot α与csc α

2．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为( )A ． 3 B ．－ 3 C ．33 D ．－33

3．若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角 D ．第四象限角

4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35

，则b 的值为( )A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．5 5．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x

的值域是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{－3，－1}C ．{1,3} D ．{－1,3}

6．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A ．π4 B ．3π4 C ．5π4 D ．7π4

7．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______．

8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．

9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．

10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．

11．判断下列各式的符号：

(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan(－23π4

)． 12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34

y ，求cos α和tan α的值．

13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2 B ．cos θ2 C ．tan θ2

D ．cos 2θ 14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．

1.2.22．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )

A ．π4

B ．3π4

C ．7π4

D ．3π4或7π4

3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )

A ．sin α＋cos α>1

B ．sin α＋cos α＝1

C ．sin α＋cos α<1

D ．不能确定

4．利用正弦线比较sin 1，sin 1．2，sin 1．5的大小关系是( )

A ．sin 1>sin 1．2>sin 1．5

B ．sin 1>sin 1．5>sin 1．2

C ．sin 1．5>sin 1．2>sin 1

D ．sin 1．2>sin 1>sin 1．5

5若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12

，则角α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－π3，π3B ．⎝⎛⎭⎫0，π3C ．⎝⎛⎭⎫5π3，2π D ．⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 6．如果π4<α<π2

，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α

7．在[0,2π]上满足sin x ≥12

的x 的取值范围为____________8．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α

>0的解集是______________．10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．

(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12

． 12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2

的大小． 13．求下列函数的定义域．f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝

⎛⎭⎫sin x －22． 14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？

当α∈⎝⎛⎭

⎫0，π2时，求证：sin α<α