组合数的性质(2)
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97 98 96 98 95 98
2
4、求C2+C3+C4+C5+C6+…+C100的值
2
2
2
2
2
小结
1.组合数公式:
A n(n 1)(n 2)(n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
m n
2.组合数性质:
m n m n1
⑴ C C m1 ⑵ C C Cn
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
性质2
证明 :
m n
n! n! m!( n m)! ( m 1)![ n ( m 1)]! n!( n m 1) n! m ( n m 1 m) n! m!( n m 1)! m!( n 1 m)! ( n 1)! m C n 1 . m![( n 1) m]!
5 5
2!
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？ 解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C C C C C C 63
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
从引例中可以发现一个结论：C 3
8
C7 C7
2
3
对上面的发现(等式)作怎样解释？
C
3 8
C C
2 7
3 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法? 100个不同元素中取3个元素的组合数
C
3 100
100 99 98 161700 种 3 2
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
我们规定： C n 1.
0
定理 1:
C
m n
Cn
nm
引例
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
3 ①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？ C8
56
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球， 2 有多少种取法？ C 21
7
③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有 3 多少种取法？C 7 35
n m n m n
10 9 8 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C C
x 28
3 x 8 28 的解集为（
D
）
A ． 4
B ． 9 D ． 4,9
8 n ，则
C ．
2．若 C
10 n
C
C 的值为来自百度文库
n 20
190
巩固练习 3．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法 5 4 3 2 的种数是 10 C C 10
1
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n 1)(n 2)(n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m !(n m)!
例、（1）求证：Cn+1 = Cn + Cn-1+Cn-1
2 2 2 2 2 2
m
m-1
m
m-1
(2)求C2+C3+C4+C5+C6+C7的值
练习：1、 C100－C99 =（ ）
11
9 10
90
89
C 99 C、 C99 D、 C100 B、 C100 A、
12
2、求 C 2C C 的值 7 7 x C = C + C 3、已知 12 11 11 , 求x的值
C C
c n 1 c n c n
m 1 n
m
m
m 1
组合数性质2：
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
说明： 1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今 后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种? 从2件次品中抽出1件次品的抽法有 从98件合格品中抽出2件的抽法有
C C
1 2 2 98
C C 9506
1 2 2 98
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1
含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 种 C2 C98 C2 C98 9604
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 种 C100 C98 9604
例
(1)
计算
C 200 ;
198
C
2
3 100
2 200
200 199 21
19900
( 2)
m 出m个元素的组合数是Cn 1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
m 1 m 1个元素与a1组成的，共有C n 个；
不含a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
m m个元素组成的，共有Cn 个
( 3)
C 2C C C .
3 3 2 8 9 8
3 3
C
3 99
C 99;
100 99 98 3 21
161700
2C 8 (C 8 C 8 ) C 8 C 8 56
2
2
3
例．计算：
3 4 5 6 C7 C7 C8 C9
3 4 5 6 ( C C ) C C 解：原式＝ 7 7 8 9 4 5 6 C8 C8 C9 4 5 6 (C8 C8 ) C9 5 6 C9 C9 6 C10 4 C10
2
4、求C2+C3+C4+C5+C6+…+C100的值
2
2
2
2
2
小结
1.组合数公式:
A n(n 1)(n 2)(n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
m n
2.组合数性质:
m n m n1
⑴ C C m1 ⑵ C C Cn
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
性质2
证明 :
m n
n! n! m!( n m)! ( m 1)![ n ( m 1)]! n!( n m 1) n! m ( n m 1 m) n! m!( n m 1)! m!( n 1 m)! ( n 1)! m C n 1 . m![( n 1) m]!
5 5
2!
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？ 解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C C C C C C 63
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
从引例中可以发现一个结论：C 3
8
C7 C7
2
3
对上面的发现(等式)作怎样解释？
C
3 8
C C
2 7
3 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法? 100个不同元素中取3个元素的组合数
C
3 100
100 99 98 161700 种 3 2
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
我们规定： C n 1.
0
定理 1:
C
m n
Cn
nm
引例
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
3 ①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？ C8
56
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球， 2 有多少种取法？ C 21
7
③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有 3 多少种取法？C 7 35
n m n m n
10 9 8 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C C
x 28
3 x 8 28 的解集为（
D
）
A ． 4
B ． 9 D ． 4,9
8 n ，则
C ．
2．若 C
10 n
C
C 的值为来自百度文库
n 20
190
巩固练习 3．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法 5 4 3 2 的种数是 10 C C 10
1
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n 1)(n 2)(n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m !(n m)!
例、（1）求证：Cn+1 = Cn + Cn-1+Cn-1
2 2 2 2 2 2
m
m-1
m
m-1
(2)求C2+C3+C4+C5+C6+C7的值
练习：1、 C100－C99 =（ ）
11
9 10
90
89
C 99 C、 C99 D、 C100 B、 C100 A、
12
2、求 C 2C C 的值 7 7 x C = C + C 3、已知 12 11 11 , 求x的值
C C
c n 1 c n c n
m 1 n
m
m
m 1
组合数性质2：
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
说明： 1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今 后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种? 从2件次品中抽出1件次品的抽法有 从98件合格品中抽出2件的抽法有
C C
1 2 2 98
C C 9506
1 2 2 98
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1
含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 种 C2 C98 C2 C98 9604
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 种 C100 C98 9604
例
(1)
计算
C 200 ;
198
C
2
3 100
2 200
200 199 21
19900
( 2)
m 出m个元素的组合数是Cn 1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
m 1 m 1个元素与a1组成的，共有C n 个；
不含a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
m m个元素组成的，共有Cn 个
( 3)
C 2C C C .
3 3 2 8 9 8
3 3
C
3 99
C 99;
100 99 98 3 21
161700
2C 8 (C 8 C 8 ) C 8 C 8 56
2
2
3
例．计算：
3 4 5 6 C7 C7 C8 C9
3 4 5 6 ( C C ) C C 解：原式＝ 7 7 8 9 4 5 6 C8 C8 C9 4 5 6 (C8 C8 ) C9 5 6 C9 C9 6 C10 4 C10