组合数的性质(2)
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人教版《组合数的性质》课件(共22张PPT)
性质2：(2)
Cm n1
Cnm
C m1 n
说明：
1.原理：从n+1个不同元素中取出m个元素的组合等于取 到元素a1的组合数与未取到元素a1的组合数之和.
组合数的两个性质
(1)Cnm
C n-m n
(2)Cnm1
Cnm
C m1 n
练习
1.已知 C1x0
C 3x6 10
，则
x
3或4
；
2.若 Cn8 Cn2 ，则 n
10
；
3.计算： C82 C83 C92
120
；
变式： C33 C43 C53 C130 330
4.解不等式： Cmm4
C m6 m1
C6 m1
(4)
有限制条件的组合问题
例1.在一次数学竞赛中，某学校有12人 通过了初试，学校要从中选出5人参加市 级培训.在下列条件下，各有多少种不同 的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有一人参加.
排列
联系
组合
组合是选择的结果； 排列是先选择后再排序的结果
组合的概念 组合数公式 组合数性质
1.组合公式
（1）
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
（2）
Cnm
n! m!(n m)!
2.组合数的性质
性质1:
Cm n
C nm n
性质2
:
Cm n1
Cm n
C m1 n
人教A版选修2-3 第一章
1.2.2 组合
第二课时 组合数的性质
新教材人教b版选择性必修第二册3131组合与组合数组合数的性质课件4
C3n 21n
.
提示：(1)
C140 C37
1098 7 7 65 43 21 3 21
175.
38 n 3n,
(2)因为 3n 2所1以n, n=10，
n N
所以
C38n 3n
C3n 21n
C28 30
C30 31
C320
C131
30 29 31 466. 21
2.证明：(1) mCmn
【解析】选A.分两个步骤：先从甲工厂的100件不同的产品中抽取10件，有
C10 100
种方法，再从乙工厂的50件不同的产品中抽取5件，有
C550
种方法，所以由
分步乘法计数原理得抽取方法有
· C10 100
C550
种.
主题2 组合数公式、组合数的两个性质
1.计算：(1) C140 C37 .
(2) C38n 3n
提示：(1)从100个不同对象中选取10个对象组成一组，与顺序无关，是组合 问题. (2)从6个不同对象中选取6个对象排成一列，与顺序有关，是排列问题. (3)从8个不同对象中选取4个对象组成一组，与顺序无关，是组合问题. (4)从20个不同元素中选取18个元素排成一列，与顺序有关，是排列问题.
2.从ABCDEF中任选三个字母，写出所有的选法.
组合与组合数 第1课时 组合与组合数、组合数的 性质
基础预习初探
主题1 组合与组合数 1.判断下列问题是排列问题还是组合问题？ (1)从100名优秀教师中选取10名教师去西藏地区支教一年，有多少种不同的 选法？ (2)6个同学站成一队，有多少种方法？ (3)从空间的8个点中选取4个点，最多可以构成多少个四面体？ (4)20个元素组成的集合中选取18个元素放入18个盒子内，不允许空盒，有多 少种方法？
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
高二数学(选修-人教B版)-组合(2)
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查： (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
有次品
有次品
无次品
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现
在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
不同的分组方法数：C39 C36 C33=1 680
典型例题
例4 (3)甲、乙、丙各得3本.
追问：若只是把这9本不同的书平均分成3组，有多少种不同
的分组方法？
把这9本不同的书平均分成3组，设有x种不同的分组方法.
再将3组书分配给甲、乙、丙三人：A33 种方法.
所以，甲、乙、丙各得3本的分法共有 x A33种.
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
(1)共有多少种不同的抽法？
解：(1) 所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组
合数，共有
C3 100
100 99 98 3 2 1
=
161
700（种）.
排列问题
2A22 2 2 1 = 4 (场)．
典型例题
例2 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
解：(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛
30＋4＋1＝35(场).
小结
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题， 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的 顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； 2.解决组合应用题的基本思路是“化归”，即由实际问题建 立组合模型，再由组合数公式计算结果，从而得出实际问题 的解.
组合数的两个性质
即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n
1.2.2组合(2)
练习 2. 已知：C
C
x7 25
，求x 的值.
x 6或7
6 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
探究二：
一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球． 3 2 ⑴从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ 8 7 ⑵从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ ⑶从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 3 7 3 2 3 从上可以发现一个结论： 8 7 7
17 17
C C 136136.
11 17 1 11
第二问有没有第二种方法 ⑵法二:C1
1 7
C
1 0 1 6
9 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
例2（1）平面内有10个点，以其中每两个为端点 的线段共有多少条? （2）平面内有10个点，以其中每两个为端点 的有向线段共有多少条?
1 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
1.2.2
组合(2)
2 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个n）个元素的所有组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
n 1 n n
7 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
C 组合数性质2：
C 证明： C
m n m 1 n
n! n! m !(n m )! (m 1)! n (m 1)! n !(n m 1) n ! m (n m 1 m )n ! m !(n m 1)! m !(n 1 m )! (n 1)! m C n 1 m !(n 1) m !
5.3组合、组合数公式及其性质(教学课件)— 高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册高二上学期
合数Cnm 中下标n大于或等于该组合数的上标m，又要保证n，m均为正
整数．
跟踪训练2
1 7 36−474 的值为________．
答案：0
6×5×4
7×6×5×4
3
4
解析：7 6−47 ＝7×
－4×
＝0.
3×2×1
4×3×2×1
n
(2)若Cn10 ＝Cn8 ，则C20
＝(
A．380
B．190
原等式化为：
−
＝
5！
6！
10×7！
化简得：m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2.
因为0≤m≤5，m∈N*，所以m＝21应舍去．
所以m＝2.
[课堂十分钟]
1．[多选题]给出下面几个问题，其中是组合问题的有(
A．由1，2，3，4构成的二元素集合
B．五个队进行单循环比赛的分组情况
C．由1，2，3组成两位数的不同方法数
须分完，有多少种分配方法？
②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分
母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？
解析：①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的
分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．
(3)性质1：Cnm ＝________，
m
+ －1
性质2：Cn+1
＝____________．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 从 a1 ， a2 ， a3 三 个 不 同 元 素 中 任 取 两 个 元 素 组 成 一 个 组 合 是
整数．
跟踪训练2
1 7 36−474 的值为________．
答案：0
6×5×4
7×6×5×4
3
4
解析：7 6−47 ＝7×
－4×
＝0.
3×2×1
4×3×2×1
n
(2)若Cn10 ＝Cn8 ，则C20
＝(
A．380
B．190
原等式化为：
−
＝
5！
6！
10×7！
化简得：m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2.
因为0≤m≤5，m∈N*，所以m＝21应舍去．
所以m＝2.
[课堂十分钟]
1．[多选题]给出下面几个问题，其中是组合问题的有(
A．由1，2，3，4构成的二元素集合
B．五个队进行单循环比赛的分组情况
C．由1，2，3组成两位数的不同方法数
须分完，有多少种分配方法？
②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分
母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？
解析：①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的
分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．
(3)性质1：Cnm ＝________，
m
+ －1
性质2：Cn+1
＝____________．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1) 从 a1 ， a2 ， a3 三 个 不 同 元 素 中 任 取 两 个 元 素 组 成 一 个 组 合 是
组合数的两个性质ppt 人教课标版
n! (n m)![n (n m)]! n! m !(n m)!
C C n n
m
n m
练习: 计算
9 8 9 36 解: C C 9 C 9 2 1 100 99 98 2 100 4950 C 100C 2 1 n m 1 ) 当 m 时 , 利用这个公式可 的计算 注 ( C n 2
C
7
3 !
CCC
8 7 7
3
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 , 2 ,a 这 n 1 个不同的 a 1a n 1
元素中取出 m 个的组合数是 C n 1
m
含有 的 a 1
元素与 组成 ,有 个 a C 1 n
m m 1
m 1
m
m
m
n m
小 结
性 质 应 用
C C
n n
m n 1
m
n m
证明
m 1 n
C C C
n
m
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 2 2 2 5 C C C 5 5 5 5 C
(2)证明:
n n n n n n 1 n 1 n 2 n m 1 n m 1
m 1 n
C8 C7C7
C C C
n 1 n
m
m
性质2
m
证明:根据组合数公式有
m 1
C C C
n 1 n n
m
m
m 1
n ! n ! n C n C m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]!
C C n n
m
n m
练习: 计算
9 8 9 36 解: C C 9 C 9 2 1 100 99 98 2 100 4950 C 100C 2 1 n m 1 ) 当 m 时 , 利用这个公式可 的计算 注 ( C n 2
C
7
3 !
CCC
8 7 7
3
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 , 2 ,a 这 n 1 个不同的 a 1a n 1
元素中取出 m 个的组合数是 C n 1
m
含有 的 a 1
元素与 组成 ,有 个 a C 1 n
m m 1
m 1
m
m
m
n m
小 结
性 质 应 用
C C
n n
m n 1
m
n m
证明
m 1 n
C C C
n
m
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 2 2 2 5 C C C 5 5 5 5 C
(2)证明:
n n n n n n 1 n 1 n 2 n m 1 n m 1
m 1 n
C8 C7C7
C C C
n 1 n
m
m
性质2
m
证明:根据组合数公式有
m 1
C C C
n 1 n n
m
m
m 1
n ! n ! n C n C m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]!
探究与发现组合数的两个性质课件人教新课标1
1 + 21 2 + 31 3 +……+1 = ∙ 2−1
3、 从个人中选若干个人（至少2人）去参加比赛，其中一名为队长，
一名为副队长，
（1）队长与副队长必须为不同的两个人，有多少种方法？
思路①：按选中的人数 = 2,3, … … 进行分类
1
21 11 2 + 31 21 3 +……+1 −1
n!
m!n m !
nm
n
n!
n!
n m !n n m ! m!规定
n m ! =
nm
C n C n
m
等式特点：两边下标相同，上标之和等于下标
问题：
我们年段将在月底进行一场足球比赛。包括体委在内，班上足球
运动员有14位，你们都没有参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时
3
（2）我们可以形成多少种队员不上场方案？C14
为什么相等？是巧合还是必然？
14!
14 13 12
364
3!14 3!
3 2 1
二、自主学习，探究问题
C
11
C
10
C
C
9
14
14
14
8
14
C14
3
C14
4
C14
5
C14
6
从特殊到一般的思想
m
nm
n
n
C C
10
364 286 78
猜想
C14 C13 C13
11
10
11
猜想
C14 C13 C13
组合数的性质(2)
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
性质1 C
m n
=
C
nm n
m 1
性质2
c n 1 c n c n
m
m
例
(1)
计算
C 200 ;
198
C
2
3 100
2 200
200 199 21
19900
( 2)
( 3)
C 2C C C .
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: C5 4095
29
练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
Thank you！
3 2 3 2 C.C8 C7 C7 C8
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员， 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
AC . A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
D.2C A A
2 5 3 3
3 5
课堂练习： 5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
4 6 4
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
第2课时 组合数的性质
解析 由 C31n8＋6＝C41n8－2， 得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18， 解得n＝2或n＝8(舍去)， 故 C28＝28.
反思感悟 性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用
二、组合数的性质2
知识梳理
组合数的性质 2：Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标 与大的相同的一个组合数； (2)体现了“含”与“不含”的分类思想.
第六章 6.2.3 组合
学习目标
1.掌握组合数公式和组合数的性质. 2.能运用组合数的性质进行计算. 3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
一、组合数的性质1
知识梳理
组合数的性质 1：Cmn ＝_C__nn－_m__. 注意点： (1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想； (2)两边下标相同，上标之和等于下标.
例 2 (1)已知 m≥4，C3m－C4m＋1＋C4m等于
A.1 B.m
√ C.m＋1
D.0
解析 C3m－C4m＋1＋C4m＝C3m＋C4m－C4m＋1＝C4m＋1－C4m＋1＝0.
(2)C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C22 002129等于
A.C22 020
B.C32 021
C.C32 022
解析 C7n＋1＝C7n＋C8n＝C8n＋1，∴n＋1＝7＋8，n＝14.
(2)C22＋C23＋C24＋…＋C218等于
A.C318
√B.C319
C.C318－1
D.C319－1
解析 C22＋C23＋C24＋…＋C218＝C33＋C23＋C24＋…＋8＝C34＋C24＋…＋C218 ＝C35＋C25＋…＋C218＝…＝C319.
反思感悟 性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用
二、组合数的性质2
知识梳理
组合数的性质 2：Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标 与大的相同的一个组合数； (2)体现了“含”与“不含”的分类思想.
第六章 6.2.3 组合
学习目标
1.掌握组合数公式和组合数的性质. 2.能运用组合数的性质进行计算. 3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
一、组合数的性质1
知识梳理
组合数的性质 1：Cmn ＝_C__nn－_m__. 注意点： (1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想； (2)两边下标相同，上标之和等于下标.
例 2 (1)已知 m≥4，C3m－C4m＋1＋C4m等于
A.1 B.m
√ C.m＋1
D.0
解析 C3m－C4m＋1＋C4m＝C3m＋C4m－C4m＋1＝C4m＋1－C4m＋1＝0.
(2)C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C22 002129等于
A.C22 020
B.C32 021
C.C32 022
解析 C7n＋1＝C7n＋C8n＝C8n＋1，∴n＋1＝7＋8，n＝14.
(2)C22＋C23＋C24＋…＋C218等于
A.C318
√B.C319
C.C318－1
D.C319－1
解析 C22＋C23＋C24＋…＋C218＝C33＋C23＋C24＋…＋8＝C34＋C24＋…＋C218 ＝C35＋C25＋…＋C218＝…＝C319.
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
3．若 A3n＝12Cn2，则 n＝________. 解析：∵A3n＝n(n－1)·(n－2)，Cn2＝12n(n－1)， ∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)． 又 n∈N＋，且 n≥3，∴n＝8.
答案：8
4．求不等式 C2n－n<5 的解集． 解：由 Cn2－n<5，得nn2－1－n<5， ∴n2－3n－10<0. 解得－2<n<5.由题设条件知 n≥2，且 n∈N＋， ∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.
[精解详析] (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 C512＝792
种不同的选法．
(2 分)
(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外 9 人中选 2
人，是组合问题，共有 C92＝36 种不同的选法．
(4 分)
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5
人，共有 C59＝126 种不同的选法．
Hale Waihona Puke [例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
组合数的性质(2)
1 2 C2 • C98 = 9506
C C
1 2 2 98
100件产品中, 98件合格品,2件次品. 例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1 含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 C2 • C98 + C2 • C98 = 9604(种)
一般地，从a1 , a2 ,L , an +1这n + 1个不同的元素 中取 出 m个 元 素 的 组 合 数 是 C ， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
m n +1
含 有 a 1的 组 合 是 从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n个 元 素 中 取 出
m m − 1个 元 素 与 a 1 组 成 的 ， 共 有 C n − 1 个 ；
8
= C7 + C7
2
3
对上面的发现(等式 作怎样解释 对上面的发现 等式)作怎样解释？ 等式 作怎样解释？
C
3 8
=C + C
2 7
3 7
我们可以这样解释： 我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的 个球，可以分为 个球中所取出的3个球 个球中所取出的 个球， 两类：一类含有 个黑球，一类不含 两类：一类含有1个黑球， 含有 有黑球．因此根据分类计数原理， 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立． 上述等式成立．
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 C100 − C98 = 9604(种)
例 计算
(1)
; C200
198
C
2
C C
1 2 2 98
100件产品中, 98件合格品,2件次品. 例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1 含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 C2 • C98 + C2 • C98 = 9604(种)
一般地，从a1 , a2 ,L , an +1这n + 1个不同的元素 中取 出 m个 元 素 的 组 合 数 是 C ， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
m n +1
含 有 a 1的 组 合 是 从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n个 元 素 中 取 出
m m − 1个 元 素 与 a 1 组 成 的 ， 共 有 C n − 1 个 ；
8
= C7 + C7
2
3
对上面的发现(等式 作怎样解释 对上面的发现 等式)作怎样解释？ 等式 作怎样解释？
C
3 8
=C + C
2 7
3 7
我们可以这样解释： 我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的 个球，可以分为 个球中所取出的3个球 个球中所取出的 个球， 两类：一类含有 个黑球，一类不含 两类：一类含有1个黑球， 含有 有黑球．因此根据分类计数原理， 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立． 上述等式成立．
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 C100 − C98 = 9604(种)
例 计算
(1)
; C200
198
C
2
组合与组合数公式(二)
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素（0≤m≤n）的所有组合的个数， 记为C(n, m)或C_n^m。
组合数的定义公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)
组合数的性质
组合数的性质一
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同 元素中取出m个元素和取出n-m个元 素的组合数相等。
k)。
递推关系法
定义
递推关系法是通过组合数之间的递推关 系，逐步推导出所需的组合数值。
VS
举例
例如，已知C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n1,k)，可以根据这个递推关系逐步计算出 C(n,k)的值。
PART 03
组合数公式的应用
REPORTING
WENKU DESIGN
在概率论中的应用
在统计学中的应用
样本组合统计
在统计学中，样本组合是一种常见的 统计方法，而组合数公式可以用于计
算样本组合的概率和期望值。
因子分解
在统计学中，因子分解是一种重要的 数据分析方法，而组合数公式可以用
于因子分解的计算。
多元分布计算
在多元统计分析中，组合数公式可以 用于计算多元分布的概率和期望值。
在计算机科学中的应用
PART 04
组合数公式的扩展
REPORTING
WENKU DESIGN
超几何分布
定义
超几何分布是描述从有限总体中抽取n个样本，其中k个 是成功样本的概率分布。
01
公式
$P(X=k) = frac{{C_{M}^{k} cdot C_{N-M}^{n-k}}}{{C_{N}^{n}}}$，其中 M是成功样本的数量，N是总体样本的 数量，n是抽取的样本数量。
组合数的定义公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)
组合数的性质
组合数的性质一
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同 元素中取出m个元素和取出n-m个元 素的组合数相等。
k)。
递推关系法
定义
递推关系法是通过组合数之间的递推关 系，逐步推导出所需的组合数值。
VS
举例
例如，已知C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n1,k)，可以根据这个递推关系逐步计算出 C(n,k)的值。
PART 03
组合数公式的应用
REPORTING
WENKU DESIGN
在概率论中的应用
在统计学中的应用
样本组合统计
在统计学中，样本组合是一种常见的 统计方法，而组合数公式可以用于计
算样本组合的概率和期望值。
因子分解
在统计学中，因子分解是一种重要的 数据分析方法，而组合数公式可以用
于因子分解的计算。
多元分布计算
在多元统计分析中，组合数公式可以 用于计算多元分布的概率和期望值。
在计算机科学中的应用
PART 04
组合数公式的扩展
REPORTING
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超几何分布
定义
超几何分布是描述从有限总体中抽取n个样本，其中k个 是成功样本的概率分布。
01
公式
$P(X=k) = frac{{C_{M}^{k} cdot C_{N-M}^{n-k}}}{{C_{N}^{n}}}$，其中 M是成功样本的数量，N是总体样本的 数量，n是抽取的样本数量。
7.3.2组合与组合数公式(2)
7.3.2组合数的性质和应用
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m) !
m n
组合数的两个性质
定理1 :
C C .
m n nm n
m n k n
其逆命题为：如果C C , 则m k或m n k
⑵ 求证： C n m 2＝ ⑶ 解方程：
C
4 7
n + n 1 + 2C m m
2 x 3 13
3 5 4 5
5 8
6 9
n2 Cm
C
x 1 13
1 5
C
(4) 计算：C 0
5
C C C C C
2 5
1 n 2 n n 1 n n n
5 5
推广： C
0 n
C C C
C
3 8
C C
2 7
3 为什么呢 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
推广:
性质2
c n 1 c n c n
m
m
m 1
定理 2 :
C C C .
m n1 m n m1 n
C 2
n
例3、12件产品中有3件次品，9件正品， 从中抽取5 件， (1) 5件产品中没有次品的取法有多少种?
(2) 5件产品中有2件次品的取法有多种？
例4、从4台纯平彩电和5台超平彩电中 选购3台，要求至少有纯平彩电和超平 彩电各1台，问有多少种不同的选法？
复习
一、组合的定义 二、组合数公式
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m) !
m n
组合数的两个性质
定理1 :
C C .
m n nm n
m n k n
其逆命题为：如果C C , 则m k或m n k
⑵ 求证： C n m 2＝ ⑶ 解方程：
C
4 7
n + n 1 + 2C m m
2 x 3 13
3 5 4 5
5 8
6 9
n2 Cm
C
x 1 13
1 5
C
(4) 计算：C 0
5
C C C C C
2 5
1 n 2 n n 1 n n n
5 5
推广： C
0 n
C C C
C
3 8
C C
2 7
3 为什么呢 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
推广:
性质2
c n 1 c n c n
m
m
m 1
定理 2 :
C C C .
m n1 m n m1 n
C 2
n
例3、12件产品中有3件次品，9件正品， 从中抽取5 件， (1) 5件产品中没有次品的取法有多少种?
(2) 5件产品中有2件次品的取法有多种？
例4、从4台纯平彩电和5台超平彩电中 选购3台，要求至少有纯平彩电和超平 彩电各1台，问有多少种不同的选法？
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1
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n 1)(n 2)(n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m !(n m)!
例、（1）求证：Cn+1 = Cn + Cn-1+Cn-1
2 2 2 2 2 2
m
m-1
m
m-1
(2)求C2+C3+C4+C5+C6+C7的值
练习：1、 C100－C99 =（ ）
11
9 10
90
89
C 99 C、 C99 D、 C100 B、 C100 A、
12
2、求 C 2C C 的值 7 7 x C = C + C 3、已知 12 11 11 , 求x的值
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn来自m mm 1性质2
证明 :
m n
n! n! m!( n m)! ( m 1)![ n ( m 1)]! n!( n m 1) n! m ( n m 1 m) n! m!( n m 1)! m!( n 1 m)! ( n 1)! m C n 1 . m![( n 1) m]!
97 98 96 98 95 98
2
4、求C2+C3+C4+C5+C6+…+C100的值
2
2
2
2
2
小结
1.组合数公式:
A n(n 1)(n 2)(n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
m n
2.组合数性质:
m n m n1
⑴ C C m1 ⑵ C C Cn
从引例中可以发现一个结论：C 3
8
C7 C7
2
3
对上面的发现(等式)作怎样解释？
C
3 8
C C
2 7
3 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
m 出m个元素的组合数是Cn 1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
m 1 m 1个元素与a1组成的，共有C n 个；
不含a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
m m个元素组成的，共有Cn 个
n m n m n
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法? 100个不同元素中取3个元素的组合数
C
3 100
100 99 98 161700 种 3 2
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 种 C2 C98 C2 C98 9604
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 种 C100 C98 9604
例
(1)
计算
C 200 ;
198
C
2
3 100
2 200
200 199 21
19900
( 2)
( 3)
C 2C C C .
3 3 2 8 9 8
3 3
C
3 99
C 99;
100 99 98 3 21
161700
2C 8 (C 8 C 8 ) C 8 C 8 56
2
2
3
例．计算：
3 4 5 6 C7 C7 C8 C9
3 4 5 6 ( C C ) C C 解：原式＝ 7 7 8 9 4 5 6 C8 C8 C9 4 5 6 (C8 C8 ) C9 5 6 C9 C9 6 C10 4 C10
C C
c n 1 c n c n
m 1 n
m
m
m 1
组合数性质2：
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
说明： 1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今 后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
我们规定： C n 1.
0
定理 1:
C
m n
Cn
nm
引例
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
3 ①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？ C8
56
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球， 2 有多少种取法？ C 21
7
③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有 3 多少种取法？C 7 35
5 5
2!
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？ 解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C C C C C C 63
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
10 9 8 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C C
x 28
3 x 8 28 的解集为（
D
）
A ． 4
B ． 9 D ． 4,9
8 n ，则
C ．
2．若 C
10 n
C
C 的值为
n 20
190
巩固练习 3．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法 5 4 3 2 的种数是 10 C C 10
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种? 从2件次品中抽出1件次品的抽法有 从98件合格品中抽出2件的抽法有
C C
1 2 2 98
C C 9506
1 2 2 98
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n 1)(n 2)(n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m !(n m)!
例、（1）求证：Cn+1 = Cn + Cn-1+Cn-1
2 2 2 2 2 2
m
m-1
m
m-1
(2)求C2+C3+C4+C5+C6+C7的值
练习：1、 C100－C99 =（ ）
11
9 10
90
89
C 99 C、 C99 D、 C100 B、 C100 A、
12
2、求 C 2C C 的值 7 7 x C = C + C 3、已知 12 11 11 , 求x的值
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn来自m mm 1性质2
证明 :
m n
n! n! m!( n m)! ( m 1)![ n ( m 1)]! n!( n m 1) n! m ( n m 1 m) n! m!( n m 1)! m!( n 1 m)! ( n 1)! m C n 1 . m![( n 1) m]!
97 98 96 98 95 98
2
4、求C2+C3+C4+C5+C6+…+C100的值
2
2
2
2
2
小结
1.组合数公式:
A n(n 1)(n 2)(n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
m n
2.组合数性质:
m n m n1
⑴ C C m1 ⑵ C C Cn
从引例中可以发现一个结论：C 3
8
C7 C7
2
3
对上面的发现(等式)作怎样解释？
C
3 8
C C
2 7
3 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
一般地，从a1 , a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
m 出m个元素的组合数是Cn 1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
m 1 m 1个元素与a1组成的，共有C n 个；
不含a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
m m个元素组成的，共有Cn 个
n m n m n
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法? 100个不同元素中取3个元素的组合数
C
3 100
100 99 98 161700 种 3 2
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 种 C2 C98 C2 C98 9604
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 种 C100 C98 9604
例
(1)
计算
C 200 ;
198
C
2
3 100
2 200
200 199 21
19900
( 2)
( 3)
C 2C C C .
3 3 2 8 9 8
3 3
C
3 99
C 99;
100 99 98 3 21
161700
2C 8 (C 8 C 8 ) C 8 C 8 56
2
2
3
例．计算：
3 4 5 6 C7 C7 C8 C9
3 4 5 6 ( C C ) C C 解：原式＝ 7 7 8 9 4 5 6 C8 C8 C9 4 5 6 (C8 C8 ) C9 5 6 C9 C9 6 C10 4 C10
C C
c n 1 c n c n
m 1 n
m
m
m 1
组合数性质2：
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
说明： 1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今 后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
我们规定： C n 1.
0
定理 1:
C
m n
Cn
nm
引例
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
3 ①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？ C8
56
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球， 2 有多少种取法？ C 21
7
③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有 3 多少种取法？C 7 35
5 5
2!
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？ 解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C C C C C C 63
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
10 9 8 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C C
x 28
3 x 8 28 的解集为（
D
）
A ． 4
B ． 9 D ． 4,9
8 n ，则
C ．
2．若 C
10 n
C
C 的值为
n 20
190
巩固练习 3．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法 5 4 3 2 的种数是 10 C C 10
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种? 从2件次品中抽出1件次品的抽法有 从98件合格品中抽出2件的抽法有
C C
1 2 2 98
C C 9506
1 2 2 98
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1