14 第十四讲 奈奎斯特分析和相对稳定性
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-1
Kc
Kc
得出 Kc
P.274. 1~5
Im
K=0.832
K=0.3 K=0.1
K=0.05
Re -1
图.14.1 K取不同值时的奈奎斯特图
验证系统稳定性的步骤：
1. 以伯德形式写出开环传递函数，并写 出幅值和相角的表达式。
2. 画出一个任意增益值的奈奎斯特图， 并由规则#1来确定稳定性。
3. 确定使相位为-180°时的频率。 4. 把此频率代入幅值方程，并确定出相 应的幅值。
PM 180
5. 如果 PM 是正的， 那么系统是稳定的； 否则就是不稳定的。
例题 14.1
R
+ -
K s ( s 2 4s 5)
C
图.SP14.1.1
解：
开环传递函数
与标准式比较
GH ' ( s)
K K 5 GH ( s ) s( s 2 4s 5) s(1 4 s 1 s 2 ) 5 5
Im
-1 Re A B
图.14.源自文库 有相同增益裕度的不同系统
例：奈奎斯特图几次穿过负实轴。
Im
Re
图.14.6 奈奎斯特图几次穿过实轴
计算增益裕度的步骤
1. 由系统开环传递函数写出幅值和相位频 率函数的表达式。 2. 确定出幅值等于1时的频率 ωu。
3. 把这个频率值代入相角方程，确定出 与之对应的相角Φ。 4. 由下式算出相位裕度：
-1
相角裕度：
PM 180 c PM 0
c
(c)
增益裕度有时是不明确的且容易被误导。
例： 增益裕度是无穷大， 系统是稳定。
Im Im K2 K1 Re K2>K1 K1 Re
K2 （a）
（b）
图.14.4 不明确的增益裕度
例： 两个有相同增益裕度的系统， 但A 系统更接近不稳定。
5. 如果幅值小于1以及临界点在其左边 时，系统是稳定的；否则是系统不稳 定。
增益裕度和相角裕度。 (性能指标)
Kc
增益裕度：
A N 0
K
Kc ON 1 GM K OA M g GM 1
(OA M M g )
例：
K 10, GM 1.5 K c 1.5 10 15
1 (2
2
1
n
)s s
2
n 2
n 5
M
n
4 5
0.2 K
0.4n 0.89
2
2 (1
n
4 2 2 2)
2
2
90 tan 1
2 1
n
n 2
0:
M M 0
90
:
270
ˆ K 20
Im
2
K=20 -2 Re
-2
图.SP14.1.3
作业
P286. 14.2
线性控制系统工程
第14单元
奈奎斯特分析和相对稳定性
Module 14 奈奎斯特分析和相对稳定性
条件稳定
考虑：
K GH ( s ) s1 2s 1 3s K M 1 4 2 1 9 2 90 tan 1 2 tan 1 3
ˆ 对于 K K , 所以系统是稳定的。
用劳斯阵列 来验证结果。
1 GH ( s) 0 s 3 4 s 2 5s K 0
s3 : s2 : s : s0
1
1 4 1 (20 K ) 4 K
5 K 0 ...
... ... ... ...
当系统稳定时， 0<K<20。 画出根轨迹， 轨迹穿过虚轴的增益为
Im
Re
0
图.SP14.1.2
1. 求出使相角为 -180 °的频率。
180 90 tan
1
2 1
n
2 n
2
n
2. 计算此频率处的幅值。
0.2 K M 5 2
ˆ 3. 由令 M=1确定 K ，并验证临界点在 其左边。
ˆ 2 5 20 K 0.2
Kc
Kc
得出 Kc
P.274. 1~5
Im
K=0.832
K=0.3 K=0.1
K=0.05
Re -1
图.14.1 K取不同值时的奈奎斯特图
验证系统稳定性的步骤：
1. 以伯德形式写出开环传递函数，并写 出幅值和相角的表达式。
2. 画出一个任意增益值的奈奎斯特图， 并由规则#1来确定稳定性。
3. 确定使相位为-180°时的频率。 4. 把此频率代入幅值方程，并确定出相 应的幅值。
PM 180
5. 如果 PM 是正的， 那么系统是稳定的； 否则就是不稳定的。
例题 14.1
R
+ -
K s ( s 2 4s 5)
C
图.SP14.1.1
解：
开环传递函数
与标准式比较
GH ' ( s)
K K 5 GH ( s ) s( s 2 4s 5) s(1 4 s 1 s 2 ) 5 5
Im
-1 Re A B
图.14.源自文库 有相同增益裕度的不同系统
例：奈奎斯特图几次穿过负实轴。
Im
Re
图.14.6 奈奎斯特图几次穿过实轴
计算增益裕度的步骤
1. 由系统开环传递函数写出幅值和相位频 率函数的表达式。 2. 确定出幅值等于1时的频率 ωu。
3. 把这个频率值代入相角方程，确定出 与之对应的相角Φ。 4. 由下式算出相位裕度：
-1
相角裕度：
PM 180 c PM 0
c
(c)
增益裕度有时是不明确的且容易被误导。
例： 增益裕度是无穷大， 系统是稳定。
Im Im K2 K1 Re K2>K1 K1 Re
K2 （a）
（b）
图.14.4 不明确的增益裕度
例： 两个有相同增益裕度的系统， 但A 系统更接近不稳定。
5. 如果幅值小于1以及临界点在其左边 时，系统是稳定的；否则是系统不稳 定。
增益裕度和相角裕度。 (性能指标)
Kc
增益裕度：
A N 0
K
Kc ON 1 GM K OA M g GM 1
(OA M M g )
例：
K 10, GM 1.5 K c 1.5 10 15
1 (2
2
1
n
)s s
2
n 2
n 5
M
n
4 5
0.2 K
0.4n 0.89
2
2 (1
n
4 2 2 2)
2
2
90 tan 1
2 1
n
n 2
0:
M M 0
90
:
270
ˆ K 20
Im
2
K=20 -2 Re
-2
图.SP14.1.3
作业
P286. 14.2
线性控制系统工程
第14单元
奈奎斯特分析和相对稳定性
Module 14 奈奎斯特分析和相对稳定性
条件稳定
考虑：
K GH ( s ) s1 2s 1 3s K M 1 4 2 1 9 2 90 tan 1 2 tan 1 3
ˆ 对于 K K , 所以系统是稳定的。
用劳斯阵列 来验证结果。
1 GH ( s) 0 s 3 4 s 2 5s K 0
s3 : s2 : s : s0
1
1 4 1 (20 K ) 4 K
5 K 0 ...
... ... ... ...
当系统稳定时， 0<K<20。 画出根轨迹， 轨迹穿过虚轴的增益为
Im
Re
0
图.SP14.1.2
1. 求出使相角为 -180 °的频率。
180 90 tan
1
2 1
n
2 n
2
n
2. 计算此频率处的幅值。
0.2 K M 5 2
ˆ 3. 由令 M=1确定 K ，并验证临界点在 其左边。
ˆ 2 5 20 K 0.2