积分变换第一章

变换域分析
从本章开始由时域转入变换域分析
频域分析：－－－傅里叶变换，自变量为j 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：－－－Z 变换，自变量为z
傅里叶变换
首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶 级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面 的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进 行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组 合。
单位时间振动的次数,单位是赫兹(Hz).
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
实际上,所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
2
w 为 求 出 a n ,计 算 [ f T ,c o s n t ] ,即
T
2 T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 T 2
nwtd t
T
am
2 cos
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nwt d t(n
1, 2,
2
)
bn
2 T
T
2 T
fT (t) sin nwt d t(n
1, 2,
2
)
T
2 cos nw t d t 0 (n 1,2,3, ), T 2
T
2 sin nw t d t 0 (n 1,2,3, ), T 2
结论：
任何满足狄氏条件的周期函数fT(t),
在该函数的连续点处，可表示为三角级数 的形式如下:
w w fT(t)a 2 0n 1(a nco snt b nsinnt)(1 .1 )
而f(t)在它的间断点t处,应以 f(t 0) f(t 0)来代替.
2
其中
w
=
2p
T
a0
2 T
T
2 T
fT (t) d t
第一章 Fourier变换
第一节 第二节 第三节
Fourier积分 Fourier变换 Fourier变换的性质
第一节 Fourier积分
周期函数的Fourier级数展开
在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和
随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表
am
2 cos
T
m w t sin
nwtd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
T
m w t sin
nwtd t
m 1
2
bn
T
2 sin
T 2
2 nwtd t
bn
T 2
即
2 bn T
T
2 T
f T ( t ) sin
2
nwtd t
进一步,利用三角函数的指数形式可将级 数表示为:
由cosjejj ejj ,sinjjejj ejj 得:
T
2 sin nw t cos m w t d t 0 (n,m 1,2,3, T 2
T
2 T
sin
nw
t
sin
mw
t
d
t
0
(n,m 1,2,3,
2
T
2 T
cos
nw
t
cos
m
w
t
d
t
0
(n,m
1,2,3,
2
T
2 T
cos2
nw
t
2
T
2 T
sin
2
2
nw
t
T 2
), ,n m ), ,n m ),
fT
(t)
a0 2
(an
n1
cos nw t
bn
sin nw t )
为 求 出 a0 ,计 算[ fT ,1],即
T
2 T
fT (t)d t
2
T 2 T 2
a0 2
d
t
(an
n1
T
2 T
cos
nw
t
d
t
bn
2
T 2
sin nw t d t )
a0
T
T
2
2
即
a0
2 T
T
2 T
fT (t)d t
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了 信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特 性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽 以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加 权和”——傅里叶的第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
2
2
fT(t)a20 n 1anejnwt
ejnwt 2
ejnwt jbn
ejnwt 2
a 2 0n 1 an 2jbnejn wtan 2jbnejn wt
令 w n nw (n 0, 1, )
c0
a0 2
cn
an
jbn 2
,n
1, 2, 3,
cn
a n jbn 2
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期
内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数
变化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅 里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条
件,即在区间[-T/2,T/2]上
1. 连续或只有有限个第一类间断点 2. 只有有限个极值点
2
a n
T
2 cos
T 即
an
2 T
T
2 T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
w 为 求 出 b n ,计 算 [ f T ,s i n n t ] ,即
T
2 T
f T ( t ) sin
2
nwtd t
T 2
a0
sin
2 T 2
nwtd t
T
积分变换
第一章 Fourier变换 第二章 Laplace变换
积分变换，就是通过积分运算,把一个函数变成 另一个函数的一种变换,这类积分一般是含参变
量积分，具体形式可写为F() bf(t)K(t,)dt a
f ( t ) 是要变换的函数，原像函数； F ( ) 是变换后的函数，像函数； K (t, ) 是一个二元函数，称为积分变换核， 它的不同可以得到不同的积分变换.
第一类间断点和第二类间断点的区别: 第一类间断点
（跳跃间断点）
第二类间断点 (无穷间断点）
不满足狄氏条件的例:
f (t) tgt
存在第二类间断点
ft
1
f (t) sin(2p )
1
O
1t
t
在靠近0处存在着无限多个极值点.
而实际上，在工程上所应用的函数, 尤其 是物理量的变化函数, 全部满足狄氏条件. 而且不连续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些函数, 使 得思维简单一些.