安徽省江淮十校2021届高三第二次质量检测文科数学试题及参考答案
“江淮十校”2021届高三第二次质量检测-word版
“江淮十校”2021届高三第二次质量检测 物理 试 题 2020.11命审单位：宿城一中 命审人：李万里 蔡翠勋 张绍平考生注意1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书．．．．．．．写的答案无效在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（每题4分，共40分。
1-6题为单选题，7-10为多选题选错的不得分漏选的得2分） 1.能够反映高速列车纵向平稳性的指标，就是加加速度或者减减速度。
据资料介绍我国的CRH380系列高速列车在高铁上行驶时，它的加加速度和减减速度值要求必须小于0.75m/s 3，这个指标在全球这个行业是顶尖的。
关于加加速度和减减速度下列说法正确的是（ ） A.0.75m/s 3意义是每秒速度变化量是0.75m/s B.0.75m/s 3意义是加速度变化量是0.75m/s 2 C.加加速度描述的是加速度变化大小的物理量 D.加加速度是加速度变化量与时间的比值2.设地球的半径为R 0，质量为m 的卫星在距地面3R 0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g 0，则以下说法错误的是( )A.卫星的线速度为00g RB.卫星的加速度为4g C.卫星的周期0016R g πD.卫星的角速度为018g R 3.如图所示，物体M 套在光滑水平直杆上，系在物体M 上的细线跨过定滑轮与物体N 相连 ，将物体N 由静止释放，N 运动过程中不会落到地面。
已知细线无弹性且不计与滑轮间的摩擦，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )A.若M 的速度在增大时，则N 的速度在减小B.若M 的速度在减小时，则N 的速度在增大C.当连接物体M 的细线与水平方向的夹角为θ时，有cos N M v v θ=D.当连接物体M 的细线与水平方向的夹角为θ时，有cos M N v v θ= 4.如图所示是一辆汽车做匀减速直线运动x-t 图中的一段。
安徽省江淮名校高三第二次联考数学(文)试题(扫描版,含
文科数学参考答案二、填空题(每题5分，共25分）11. 21,20140x x x ∀>-+-≤ 12. 13. 14. 15. ①⑤16.解：（1）由及，有 ……………………1分 有 解得 ………………………4分7(1)(3)310n a n n =+--=-+27(310)317222n n S n n n +-+==-+ …………………………6分（2）由题意有，又由（1）有 ………8分112(12)(32)(32)n n a a a -=++++++1121332()n n a a a -=+++++++ …12分17.(1)()2cos (sin cos cos sin )sin f x x x A x A A =-+ ……………………1分sin 2cos cos 2sin x A x A =- 在处取得最大值。
522,12A k k Z ππ∴⨯-=∈,即 , …………………………4分sin(2)12x A ∴-<-≤,即的值域为⎛⎤ ⎥ ⎝⎦。
…………………………6分 （2）由正弦定理得sin sin sin b cB C A a++=…………………………9分2222cos a b c bc A =+-得 …………………………11分1sin 2ABC S bc A ∆== …………………………12分 18.（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为，所以在区间上是增函数， 故，解得． …………………………4分 （2）由已知可得，所以可化为，化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+2122112，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是 …………………………12分19.解:⑴在Rt△BOE中, ,在Rt△AOF中,在Rt△OEF 中, ,当点F 在点D 时,角最小, ……2分 当点E 在点C 时,角最大, ,所以50(sin cos 1),sin cos l αααα++=………4分定义域为 ……………………………6分⑵设]3,6[,cos sin ππααα∈+=t ,所以 ……………………8分250(1)1001)]112t l t t +==∈-- ……………………………10分所以当时, ,总费用最低为元 ……12分20.解:(1)由题意0,()xa f x e a '>=-, ……………………………1分 由()0xf x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<;当(l n,)x a ∈+∞时,()0f x '>.∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减,在(l n ,)a +∞单调递增 …………………………4分 即()f x 在l n x a =处取得极小值,且为最小值,其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- ……………………………6分 (2)()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立,即在x ∈R 上,m i n ()0f x ≥. 由(1),设()l n 1.g a a aa =--,所以()0g a ≥.由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =. ……………………………9分 易知()g a 在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减, ∴ ()g a 在1a =处取得最大值,而(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =,∴1a = ……………………………13分 21.(Ⅰ) 当时,；当时, , ,相减得……………………………2分又, 所以是首项为,公比为的等比数列,所以 ……………………4分(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知,所以112244+-=⋅==n n n n n n a n b所以23411232222n n n T +=++++ 34121212222n n n n ++-++++两式相减得2341211111222222n n n n T ++=++++-=2221111222122212n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=--,所以 (或写成,均可给至8分) ………8分 （Ⅲ）=()()()11221211211121122k kk k k k k k k S T k k ++++==+⋅++⎛⎫⎛⎫-⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111211221212121k k k k k +++⎛⎫==- ⎪---⋅-⎝⎭…………11分 所以()1111211122121212121nnk k n k k k k k S T k ++==+⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⋅++---⎝⎭⎝⎭∑∑若不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数恒成立,则， 所以存在最小正整数,使不等式()121nk k kk m S T k =+<⋅++∑对任意正整数恒成立 ……14分。
2023-2024学年安徽省江淮十校高三上学期第二次联考数学试题及答案
江淮十校2024届高三第二次联考数学试题2023.11注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()12i 1i 0z +-+=，则z =A.13i 55-- B.13i 55-+ C.13i 55+ D.13i 55-2.已知集合{}230A x x =∈-<Z ，集合{}2,xB y y x A ==∈，则A B =A.(B.{}1,2C.{}1,0D.{}13.已知点G 是ABC △的重心，GA a ，GB b = ，则BC =A.2a b+ B.2a b+ C.2a b-- D.2a b-- 4.已知幂函数()()2255m f x m m x-=-+是R 上的偶函数，且函数()()()26g x f x a x =--在区间[]1,3上单调递增，则实数a 的取值范围是A.(),4-∞ B.(],4-∞ C.[)6,+∞ D.(][),46,-∞+∞ 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4244S a =-，565S =，则使0n S >成立的n 的最大值为A.16B.17C.18D.196.已知角θ为第二象限角，且满足()sin sin cos23πθπθθ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，则tan θ=7.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1122CD C D ==，点O 是底面ABCD 的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线1OC 与1BB 所成角的余弦值为A.78B.34C.588.已知函数()()321,1log 1,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩…，若函数()()y f x a a =-∈R 有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则()()()123412211x x a x x a++--的取值范围是A.()0,3B.)⎡⎣C.)⎡+∞⎣D.()3,+∞二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知,,22x y ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且sin sin x y >，则下列不等关系一定成立的是A.()lg 0x y -> B.1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.22x y> D.()tan tan x yπ+>10.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E ，F 分别为棱AB ，1CC 的中点，则下列判断正确的是A.直线EF 与直线1DD 互为异面直线B.1B D ⊥平面1D EFC.平面1D EF 截该四棱柱得到的截面是五边形D.平面1D EF 与棱BC 的交点是棱BC 的中点11.将函数()sin201y x ωω=<<的图象向左平移6πω个单位可得到函数()y f x =的图象，若()y f x =在区间(),2ππ内有最值，则实数ω的取值范围可能为A.11,2412⎛⎫⎪⎝⎭ B.55,2412⎛⎫⎪⎝⎭ C.77,2412⎛⎫⎪⎝⎭ D.13,124⎛⎫⎪⎝⎭12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3,2,2n n n S n n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，则下列判断正确的是A.1011a =-B.当n 为奇数时，1n a n =--C.当n 为偶数时，1n a n =+D.数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于()22nn -+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量a ，b 满足()1,2a = ，2b =，()2a a b ⊥+ ，则向量a ，b 夹角的余弦值为______.14.已知1a >-，0b >且22a b +=，则2141a b a b++++的最小值为______.15.内接于球O 的四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，四条侧棱均相等，AB CD ∥，4AB =，2CD =，AD =，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的大小为3π，则球O 的表面积为______.16.设正整数n 满足不等式()221log 202321log 2023(2)n n -+>，则n 的最小值等于______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知集合()223004A x x ax a a ⎧⎫=+->⎨⎬⎩⎭…，函数()()2cos 2cos f x x x x x =+∈R 的值域为集合B .（1）当2a =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求正数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数()12x x m f x m n+-=+（其中0m >且1,0m n ≠>）是奇函数.（1）求m ，n 的值并判断函数()y f x =的单调性；（2）已知二次函数()2g x ax bx c =++满足()()22g x g x +=-，且其最小值为3-.若对[]11,2x ∀∈-，都21,82x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()122log f x g x =成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，O 为其外接圆的圆心，8AO AB ⋅=，118tan tan A B b⎫+=⎪⎭.（1）求A 的大小；（2）若,43C ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求边长b 的最值.20.（本小题满分12分）如图（1），在边长为4的菱形ABCD 中，3BAD π∠=，点E 是边BC 的中点，连DE 交对角线AC 于点F ，将ABD △沿对角线BD 折起得到如图（2）所示的三棱锥P BCD -.（1）点G 是边PD 上一点且12PG GD =，连FG ，求证：FG ∥平面PBC ；（2）若二面角P BD C --的大小为23π，求二面角P DE C --的正弦值.图（1）图（2）21.（本小题满分12分）各项均为正数的数列{}n a 的首项11a =，且满足()()22*1121n n n n na n a a n ++-+=∈N .（1）求证：数列是等比数列；（2）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .22.（本小题满分12分）已知函数()()ln 1x ax f x a x-+=∈R .（1）若()2f x …恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x 且123x x <，求证：126ex x +>.江淮十校2024届高三第二次联考数学试题参考答案题号123456789101112选项BDDBBCACBDACACDBCD一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.B 【解析】由条件可知()()()()1i 12i 1i 13i 12i 12i 12i 55z ---===--++-，所以13i 55z =-+，故选B.2.D 【解析】由已知得{}1,0,1A =-，1,1,22B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则{}1A B = ，故选D.3.D 【解析】由条件知0GA GB GC ++= ，所以GC GA GB a b =--=--，所以2BC GC GB a b b a b =-=---=--，故选D.4.B 【解析】由条件知2551m m -+=解得1m =或4m =，又函数()f x 是R 上的偶函数，所以4m =，()2f x x =，()()226g x x a x =--，其对称轴方程为3x a =-，根据条件可知31a -…，解得4a …，故选B.5.B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件4244S a =-得()114644a d a d +=+-，解得2d =-，又565S =，解得117a =，于是()1721192n a n n =--=-，显然910a =>，1010a =-<，所以179170S a =>，(1891090S a a =+=，当19n …时，0nS <，故选B.6.C 【解析】由条件可知()22sin coscos sinsin cos sin 33ππθθθθθ⎛⎫-⋅-=- ⎪⎝⎭，整理得22sincos 2cos 0θθθθ+-=，因角θ为第二象限角，所以cos 0θ<，于是两边同除以2cos θ，得2tan 20θθ+-=，因tan 0θ<，解得tan θ=，故选C.7.A 【解析】由已知条件得该四棱台的斜高为2=，根据112CD C D =得11OB B D =，又11OB B D ∥，所以四边形11OBB D 是平行四边形，于是11BB OD ∥，112OD OC ==，所以11C OD ∠（或其补角）是异面直线1OC 与1BB 所成的角，根据余弦定理可知222111*********cos 288OC OD C D C OD OC OD ∠+-+-===⨯⨯，故选A.8.C 【解析】作出函数()f x 的大致图象，可知01a <<，1234012x x x x <<<<<<，于是121221xx-=-，所以12222xx +=，()()3334log 1log 1x x --=-，即()()3334log 1log 10x x -+-=，所以()()34111x x --=，于是()()())12341122211xx a a x xa a ⎡++=+∈+∞⎣--，故选C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.BD 【解析】由条件知x y >，又,,22x y ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以B ，D 正确.10.AC 【解析】根据条件作出图形得到A 正确，B 错误，C 正确，平面1D EF 与棱BC 的交点是棱BC 的一个三等分点，D 错误.故选AC.11.ACD 【解析】由条件可知()sin 2sin 263f x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由232x k ππωπ+=+，解得()212k x k ππωω=+∈Z ，于是2212k ππππωω<+<，解得11424212k k ω+<<+，因01ω<<，所以当0k =时，124ω<<1k =时，772412ω<<；当2k =时，13124ω<<.故选ACD.12.BCD 【解析】由条件知112a S ==-，23a =，当n 为奇数且3n …时，131122n n n n n a S S n -+-=-=--=--，1a 也符合，所以当n 为奇数时，1n a n =--，B 正确；当n 为偶数时，112n n n n a S S n -⎛=-=-=+ ⎝，A 错误，C 正确；于是()()112n n a a n n +=-++，()()111111212n n a a n n n n +⎛⎫=-=-- ⎪++++⎝⎭，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()1111111111233445122222n n n n n ⎛⎫--+-+-+⋅⋅⋅+-=-+=- ⎪++++⎝⎭，D 正确.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】【解析】由已知得a = ，由()2a a b ⊥+ 得()2220a a b a a b ⋅+=+⋅= ，所以52a b ⋅=- ，于是cos ,a b a b a b⋅=== .14.【答案】6【解析】由22a b +=知()214a b ++=，所以()()2121214221226111a b a a b b b a b a b a b ++++++=++=+++=+++…，当且仅当13a =，43b =时等号成立，最小值为6.15.【答案】803π【解析】作DE AB ⊥于点E ，则根据条件可得1AE =，3DE =，设四边形ABCD 的外接圆半径大小为r ，圆心到AB 的距离为d ，则()22222213r d d =+=+-，解得1d =，r =，根据侧棱PA 与底面ABCD所成角的大小为3π知点P 到平面ABCD的距离为=.设球O 的半径为R ，则)222R R =+，解得R =，所以球O 的表面积为2280443R πππ=⨯=.16.【答案】6【解析】对所给不等式两边同时取自然对数，则()()()2221ln 1log 2023log 2023ln 2n n -+>⋅，于是()()22ln 1log 2023ln 2log 202321n n +>-.构造函数()()ln 1x f x x +=，()1x …，求导得()()2ln 11xx x f x x -++='，令()()ln 11xg x x x =-++，()1x …，求导得()()()22110111x g x x x x =-='-<+++，所以函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，则()()11ln202g x g =-<…，所以()0f x '<，于是函数()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以221log 2023n ->，解得21log 20232n +>，又102420232048<<，所以210log 202311<<，于是21log 202311622+<<，又n 是正整数，所以n 的最小值等于6.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分10分）解：因()2cos 2cos cos212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭所以[]1,3B =-（1）当2a =时，2230x x +-…，解得31x -……，所以[]3,1A =-于是[]3,3A B =- （2）由条件知集合A 是集合B 的真子集，又31,22A a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以132312a a ⎧⎪⎪⎨⎪--⎪⎩……且两等号不能同时成立，解得23a …又0a >，所以正数a 的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦18.（本小题满分12分）解：（1）由条件可知函数()y f x =的定义域为R ，由()y f x =是奇函数知()00f =，即201m n-=+，解得2m =，所以()()12212222x x xxf x n n +--==++，又()()()()()2212212212212x xxxx x x f x f x nn n------==-=-=-+⋅++，于是212xxn n ⋅+=+对任意的x ∈R 恒成立，即()()1210xn --=对任意的x ∈R 恒成立，解得1n =，所以()12221x x f x +-=+，又()()()12212212224221212121x xx x x x xf x +-+--====-++++，因21x +在R 上单调递增，且210x+>，所以421x +在R上单调递减，421x -+在R 上单调递增，于是函数()y f x =在R 上单调递增.（2）由（1）知当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的值域为26,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又根据条件得()2(2)3g x a x =--且0a >，当1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]2log 1,3x ∈-，则函数()2log g x 的值域为[]3,93a --，于是[]26,3,9335a ⎡⎤-⊆--⎢⎥⎣⎦，所以6935a -…，解得715a …，因此实数a 的取值范围为7,15⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19.（本小题满分12分）解：（1）延长AO 交外接圆于点D ，则221111cos 82222AO AB AD AB AB AD BAD AB c ∠⋅=⋅=⋅⋅===，所以4c =118tan tan A B b⎫+=⎪⎭，cos cos sin cos cos sin 82sin sin sin sin A B B A B A c A B A B b b +⎫+=====⎪⎭，解得sin A =，因0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=，（2）在ABC △中，由正弦定理得sin sin b cB C=，于是124sin 4sin 224sin 32sin sin sin C C C B b C CC π⎫⎛⎫+⎪-⎪⎝⎭⎝⎭====，因,43C ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以tan C ⎡∈⎣，于是4,2b ⎡⎤∈+⎣⎦所以边长b的最大值为2+，最小值为4.解：（1）连PE ，由条件知点F 是BCD △的重心，则12EF DF =，又12PG GD =，所以12EF PG DF DG ==，于是FG PE ∥.因FG ⊄平面PBC ，PE ⊂平面PBC ，所以FG ∥平面PBC .（2）设BD CF O = ，以点O 为原点，以OB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间坐标系，如图所示，因PO BD ⊥，CO BD ⊥，则POC ∠为二面角P BD C --的平面角，于是23POC π∠=，因4BC =，3BAD π∠=，所以OP OC ==所以()0,P ，()2,0,0B，()0,C，()E ，()2,0,0D -，于是()2,DP =，()DE =，设平面PDE 的法向量为(),,m x y z = ，则00m DP m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23030x z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得53y z x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，不妨取3x =，则()3,5m =--又平面CDE 的法向量为()0,0,1n =则cos m n m n m n⋅⋅==⋅所以二面角P DE C --=.21.（本小题满分12分）解：（1）由()221121n n n n na n a a ++-+=得()2211210n n n n na n a a ++-+=，两边同除以()1n n +，得221201n n a a n n +=+，即2220=，于是0=，因0na >>==，10=≠，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（111122n n --=⨯=，所以12n n a -=，于是214n n n b a n -==⋅，所以()02211231142434144n n n n n S b b b b b n n ---=+++⋅⋅⋅++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⋅，()12314142434144n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⋅，上述两式相减得12311441314444444143n n n nn nn S n n n ----=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅-所以()31419n n n S -+=.22.（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，对其求导得()()221ln 1ln a x x ax x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减所以函数()f x 的最大值为()112f a =-+…，解得1a -…，因此实数a 的取值范围是[)1,-+∞.（2）由题意可知1122ln 1ln 1x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，所以21122112ln ln ln ln 2x x x x a x x x x -++==-+（*）因123x x <，令21x t x =，则3t >于是由（*）式可得()()()22111221ln1ln ln 21x x x t t x x x x x t +++==--，构造函数()()1ln 1t t g t t +=-，3t >对其求导得()()()()()2211ln 11ln 2ln 11t t t t t t t t t g t t t +⎛⎫+--+'-- ⎪⎝⎭==--，令()12ln h t t t t =--，3t >对其求导得()221210h t t t '=+-=>所以函数()h t 在()3,+∞上单调递增，所以()()1332ln303h t h >=-->，于是()0g t '>，函数()g t 在()3,+∞上单调递增，所以()()32ln3g t g >=，因此()12ln 22ln3x x +>，1229e x x>于是126e x x +>>，得证.。
2021届江淮十校联考新高考原创预测试卷(二)文科数学
2021届江淮十校联考新高考原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：1.已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}35x x <≤ B. {3x x <-或}5x >C. {}32x x -≤≤- D. {}35x x -≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据韦恩图可确定所表示集合为()R NM ，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合,M N ，根据补集和交集定义可求得结果. 【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示()R NM ，()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<，{}{}29033N x x x x =-≥=-≤≤， (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-.故选：C .【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.2.演讲比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分．8个有效评分与10个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）． A. 中位数 B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案. 【详解】设10位评委评分按从小到大排列为12348910x x x x x x x ≤≤≤≤≤≤，则①原始中位数为562x x +，去掉最低分1x ，最高分10x ，后剩余23489x x x x x ≤≤≤≤，中位数仍为562x x +，∴A 正确． ②原始平均数123489101()10x x x x x x x x =++++++，后来平均数2348918x x x x x x '=++++（），平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确；③()()()22221210110S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，()()2222981S x x x x ⎡⎤'=-++-⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差101=x -x ，后来极差92=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．故选：A.【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.属于较易题. 3.已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则向量AB 在向量CD 方向上的投影为D.5【答案】B 【解析】 【分析】分别求出向量AB 、CD 的坐标和数量积，以及模，再由向量AB 在向量CD 方向上的投影为AB CD CD⋅，计算即可得到所求值．【详解】由()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，可得()()2,2,1,3AB CD ==-，()21234AB CD ⋅=⨯-+⨯=，1CD =+=，则向量AB 在向量CD 方向上的投影为2105AB CD CD⋅==，故选B.【点睛】本题考查向量的投影的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示和模的求法，考查化简整理的运算能力，属于基础题．4.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表:得到正确结论是( )A. 有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B. 有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 【答案】B 【解析】 【分析】通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.5.如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）A. 6B. 7C. 5D. 8【答案】B 【解析】 【分析】列举出循环的每一步，可得出输出结果.【详解】4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=； 22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.6.已知实数0,a b m R >>∈，则下列不等式中成立的是（ ） A.b m ba m a+>+ B. 11()()22ab<C.m m a b> D. 22a b -->【答案】B 【解析】 【分析】此题要结合指数函数的图象，利用指数函数的单调性解决．【详解】由指数函数1()2xy =图象与性质得，此指数函数在R 是减函数，a b 0＞＞，11()()22a b ∴<.故选B ．【点睛】同底数幂比较大小，通常利用指数函数的图象与性质中单调性解决，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.7.已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A. 3B.C. 3-D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x=，一条渐近线的倾斜角为56π，5tan 6π==3a =-. 故选：D .【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.8.已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n α⊥成立的是（ ）．A. αβ⊥，n β⊂B. αβ∥，n β⊥C. αβ⊥， n βD.m α，n m ⊥【答案】B 【解析】A 中，αβ⊥，m β⊂，不能说明n 与α的关系，错误；B 中，αβ∥，n β⊥能推出n α⊥，正确；C 中，αβ⊥，n β可以得到n 与面α平行，相交，故C 错误；D 中，m α，n m ⊥，则n 与平面α可能平行，D 错误；故选B9.已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题：（ ） ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时,函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是 A. ①③ B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C 【解析】试题分析：①函数()f x 的图象关于原点对称，此命题正确，因为函数()f x 满足，()()22sin sin ()()11x xf x f x x x --==-=-+-+，故函数()f x 为奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于x 轴，故不是周期函数；③当2x π=时,函数()f x 取最大值，由函数()f x 的图象可以看出，当2x π=时,函数()f x 不是最大值，另外可用导数法，求出函数()f x 的导函数，()()2221cos 2sin '()1x x x xf x x+-=+，当2x π=时'()02f π≠，故当2x π=时,函数()f x 不是最大值，此命题不正确；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，由图像可以看出，函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，此命题正确．考点：函数的周期性；函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性． 10.设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A. ()1,+∞ B. ()(),11,-∞-+∞ C. ()1,1- D. ()()1,00,1-【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，211y x=+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x 的取值范围为()(),11,-∞-+∞.故选：B .【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.11.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 3ca Bb A -=，则cos cos cos a Ba Ab B+的最大值为（ ）A.B.2C.2D.3【答案】B 【解析】 【分析】利用边角互化思想结合等式cos cos 3ca Bb A -=可得tan 2tan A B =，利用边角互化思想可得cos 1cos sin cos cos cos sin a B A B a A b B B A=++，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值.【详解】cos cos 3ca Bb A -=，()()3sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A C A B A B B A∴-==+=+，即tan 2tan A B =，A ∴、B 均为锐角且cos sin cos cos cos sin cos sin cos a B A Ba Ab B A A B B=++1cos sin 2cos sin A BB A====+， 故选：B ．【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题．12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ） A.12B.3 C.22D.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率. 【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+. 由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =；由椭圆定义知2ABF 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率22e =. 故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.二、填空题：13.如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z =_______.【答案】12i -+ 【解析】试题分析：由坐标系可知122,z i z i =--=12212z i i z i--∴==-+ 考点：复数运算14.在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()512P -，，则sin 2α=______________. 【答案】120169- 【解析】 【分析】根据终边经过的点,可先求得sin ,cos αα,结合正弦二倍角公式即可求解. 【详解】一个角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边经过点()P 5,12,-∴由三角函数定义可得12sin α,1325144==-+5cos α1325144==+则由正弦二倍角公式可得120sin2α2sin αcos α169=⋅=-. 故答案:120169- 【点睛】本题考查了三角函数定义,正弦二倍角公式的用法,属于基础题. 15.已知log 2a+log 2b≥1，则3a +9b 的最小值为 ． 【答案】18 【解析】试题分析：先把已知条件转化为ab≥2，且a ＞0，b ＞0；再把所求用基本不等式转化到用ab 表示即可．解：由log 2a+log 2b≥1得ab≥2，且a ＞0，b ＞0． 又3a +9b =3a +32b ≥2=2， 因为a+2b≥2=2≥2=4，所以3a +9b ≥2=18．即3a +9b 的最小值为18． 故答案为18．点评：本题是对指数的运算性质，对数的运算性质以及基本不等式的综合考查．考查的都是基本知识点，只要课本知识掌握熟练，是道基础题．16.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 ．【答案】20π 【解析】【详解】24π20S R π∴==三、解答题：17.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70),,[90,100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别分组 频数 频率第1组 [50,60)8 0.16第2组 [60,70) a▆第3组 [70,80)20 0.40第4组 [80,90)▆ 0.08第5组 [90,100] 2 b合计▆▆（1）求,,,a b x y 的值；（2）若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.【答案】（1）16,0.04,0.032,0.004a b x y ====；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表可得b.先求得[80,90)内的频数,即可由总数减去其余部分求得a .结合频率分布直方图,即可求得,x y 的值.（2）根据频率分布表可知在[80,90)内有4人,在[90,100]有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布表可得20.0450b ==[80,90)内的频数为500.084⨯=,∴508204216a =----= ∴[60,70)内的频率为160.3250= ∴0.320.03210x == ∵[90,100]内的频率为0.04 ∴0.040.00410y == （2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,设第4组的4人分别为1a 、2a 、3a 、4a ；第5组的2人分别为1b 、2b 从中任取2人的所有基本事件为：()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()34,a a ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()12,b b 共15个.至少一人来自第5组的基本事件有：()11,a b ,()12,a b ,()21,a b ,()22,a b ,()31,a b ,()32,a b ,()41,a b ,()42,a b ()12,b b 共9个.所以93155P ==. ∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为35. 【点睛】本题考查了频率分布表及频率分布直方图的应用,列举法表示事件的可能,古典概型概率计算方法,属于基础题.18.如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，M 、N 、F 分别是A C '、BC 、A C ''的中点.（1）证明：//MN 平面CFB '；（2）若底面A B C '''是正三角形，1A C ''=，C 在底面的投影为F ，求B '到平面AA C C ''的距离.【答案】（1）证明见解析；（23【解析】 【分析】（1）连接A B '，连接BC '、B C '交于点E ，并连接EF ，则点E 为BC '的中点，利用中位线的性质得出//EF A B '，//MN A B '，利用空间平行线的传递性可得出//EF MN ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）推导出B F '⊥平面AA C C ''，并计算出B F '，由此可得出B '到平面AA C C ''的距离为B F '，即可得解.【详解】（1）连接A B '，连接BC '、B C '交于点E ，并连接EF ，则点E 为BC '中点，E 、F 分别为BC '、A C ''的中点，则//EF A B '，同理可得//MN A B '，//EF MN ∴.MN ⊄平面CFB '，EF ⊂平面CFB '，因此，//MN 平面CFB '；（2）由于C 在底面A B C '''的投影为F ，CF ∴⊥平面A B C '''，B F '⊂平面A BC '''，B F CF '∴⊥，A B C '''为正三角形，且F 为A C ''的中点，B F A C '''∴⊥， CFA C F ''=，B F '∴⊥平面AAC C ''，且3sin 3B F A B π'''=⋅=因此，B'到平面AA C C''的距离为3.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.已知数列{}n a的前n项和为n S，满足11n n a S+=-（n∈+N），12a=，（1）求证：数列{1}nS-为等比数列；（2）记n nb nS=，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】(1)见解析.(2) ()()11212nnn nT n+=-++.【解析】分析：第一问根据数列的项与和的关系，将题中式子可以转化为121n nS S+=-再进一步对式子进行变形，可以整理得出1122211n nn nS SS S+--==--，利用等比数列的定义求得结果，第二问分析其通项的特征，采用分组求和法与错位相减法对数列求和，得出结果.详解：（1）由11121n n n na S S S++=-⇒=-由12a=，故111S-=进而：1122211n nn nS SS S+--==--故数列{}1n S -是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）知：111221n n n n S S ---=⇒=+故1·2n n n b nS n n -==+ 分别记数列{}1·2n n -，{}n 的前n 项和为nA ，nB则0211?22?23?2?2n n A n -=++++ 12321?22?23?2?2n n A n =++++两式相减得()21222?2121n n n n A n n -=++++-=--所以()121nn A n =-+()11232n n n B n +=++++=故()()11212n n n n n n T A B n +=+=-++点睛：该题考查的是有关数列的问题，在求解的过程中，一是需要对利用定义证明对应数列是等比数列的步骤要熟悉，二是对数列求和时，要注意对数列的通项公式进行分析，选择合适的求和方法，在求和的过程中，一定要认真运算. 20.已知()x f x e mx =-.（1）若曲线ln y x =在点2(,2)e 处的切线也与曲线()y f x =相切，求实数m 的值；（2）试讨论函数()f x 零点的个数.【答案】（1）21m e -=-（2）答案不唯一具体见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标000(,)xx e mx -，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组000201x x x e m ee x e -⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，再构造函数研究其最大值，进而求得21m e -=-；（2）对函数进行求导后得()xf x e m '=-，对m 分三种情况进行一级讨论，即0m <，0m =，0m >，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.【详解】解: （1）曲线ln y x =在点2(,2)e 处的切线方程为2212()y x e e -=-，即211y x e=+. 令切线与曲线()xf x e mx =-相切于点000(,)xx e mx -，则切线方程为000()(1)x x y e m x e x =---，∴000201x x x e m e e x e -⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， ∴()221ln()1m em e--⎡⎤+-+=⎣⎦，令2m e t -+=，则(1ln )1t t -=，记()(1ln )g t t t =-，()1(1ln )ln g t t t '=-+=- 于是，()g t 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ∴max ()(1)1g t g ==，于是21t m e -=+=，21m e -=-. （2）()xf x e m '=-，①当0m <时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增，且(0)10f m =->，11()10m f e m=-< ∴函数()f x 在R 上有且仅有一个零点； ②当0m =时，()xf x e =在R 上没有零点；③当0m >时，令()0f x '>，则ln x m >，即函数()f x 的增区间是(ln ,)m +∞， 同理，减区间是(,ln )m -∞， ∴min ()(1ln )f x m m =-.ⅰ）若0m e <<，则min ()(1ln )0f x m m =->，()f x 在R 上没有零点； ⅱ）若m e =，则()x f x e ex =-有且仅有一个零点；ⅲ）若m e >，则min ()(1ln )0f x m m =-<.2(2ln )2ln (2ln )f m m m m m m m =-=-，令()2ln h m m m =-，则2()1h m m'=-， ∴当m e >时，()h m 单调递增，()()0h m h e >>.∴2(2ln )2ln (2ln )(2)0f m m m m m m m m e =-=->-> 又∵(0)10=>f ，∴()f x 在R 上恰有两个零点，综上所述，当0m e ≤<时，函数()f x 没有零点；当0m <或m e =时，函数()f x 恰有一个零点；当m e >时，()f x 恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上E 上一点，且点P 的横坐标为2，3PF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线E 交于A 、B 两点，过点F 且与直线m 垂直的直线n 与准线l 交于点M ，设AB 的中点为N ，若O 、M N 、F 四点共圆，求直线m 的方程.【答案】（1）24y x =（2）)1y x =-【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得22pPF =+，即可求出p ，从而得到抛物线方程； （2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，列出韦达定理，表示出中点N 的坐标，若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥，则0OM ON ⋅=即可求出参数t ，从而得解； 【详解】解：（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.（2）设直线m 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.由2114y x =，2224y x =，得()()()22222121212122424424444y y y y t y y x x t +--⨯-+=+===+， 所以()221,2N t t +.因为直线m 的斜率为1t，所以直线n 的斜率为t -，则直线n 的方程为()1y t x =--.由()1,1,x y t x =-⎧⎨=--⎩解得()1,2M t -.若O 、M 、N 、F 四点共圆，再结合FN FM ⊥，得OM ON ⊥， 则()2212122210OM ON t t t t ⋅=-⨯++⋅=-=，解得22t =±， 所以直线m 的方程为()21y x =±-.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用，直线与抛物线综合问题，属于中档题.选考题：22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a >）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为1333x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长. 【答案】（1）6πθ=（ρ∈R ）；（2）2a【解析】 【分析】（1）化简得到直线方程为y x =，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫⎪⎝⎭，37,26a B π⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到答案 . 【详解】（1）由13x y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消t得，0x -=即y =， 2C 是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C 的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R ）.（2）由6(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由76(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26a B π⎛⎫⎪⎝⎭，∴3||222a a AB a =+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 23.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 【答案】(1) 43；(2)见详解. 【解析】 【分析】(1)根据条件1x y z ++=，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，再讨论,,x y z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,,x y z 代入原不- 21 - 等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得531313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩时等号成立 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2) 因为2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥. 根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a -=-=-，即22321323a x a y a z a +⎧=-⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=-⎪⎩时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立. 所以2(2)1a +≥成立，所以有3a ≤-或1a ≥-.【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.。
安徽省“江淮十校”2021届高三11月联考数学文试题 Word版含解析
2021届江淮十校11月联考 文科数学试题【试卷综述】本套试题主要对集合、函数、平面对量、三角、导数等概念以及应用进行了考察 ，留意基础学问、基本技能的考查，符合高考命题的趋势和同学的实际.同时也留意力量考查，较多试题是以综合题的形式消灭，在考查同学基础学问的同时，也考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷. 能考查同学的力量.考试时间120分钟，满分150分 第Ⅰ卷 选择题 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．【题文】1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ） A.4 B.2 C.8 D.1 【学问点】扇形面积G1【答案】【解析】A 解析：依据扇形面积公式21122S lR R α==，可求得4α=，故选择A.【思路点拨】由扇形面积公式即可求得. 【题文】2．设集合}032{2<--=x x x M ，{}1)1(log 2≤-=x x N ，则N M 等于（ ）A ．{}31<<-x x B.{}31≤<x x C.{}31<<x x D. {}31≤≤x x【学问点】集合的运算A1 【答案】【解析】C 解析:集合{}{}13,N 13M x x x x =-<<=<≤，所以{}13M N x x ⋂=<<，故选择C.【思路点拨】先求得集合,M N ，然后利用交集定义求得结果. 【题文】3．命题“存在2cos sin ,000≤+∈x x R x 使”的否定是（ ）A.任意2cos sin ,000≤+∈x x R x 都有B.任意2cos sin ,>+∈x x R x 都有C.存在2cos sin ,000>+∈x x R x 使D.任意2cos sin ,≥+∈x x R x 都有【学问点】命题的否定A3 【答案】【解析】B 解析：依据“存在量词”的否定为“全称量词”，可得原命题的否定为：任意2cos sin ,>+∈x x R x 都有，故选择B.【思路点拨】依据特称命题的否定为全称命题，进行推断，留意不能只否定结论，而遗忘了对量词的否定，也不能只否定量词，而遗忘了对结论的否定. 【题文】4.在ABC △中，已知51cos sin =+A A ，则角A 为（ ）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角 【学问点】同角三角函数的基本关系式C2【答案】【解析】C 解析：由于()21sin cos 12sin cos 25A A A A +=+=，所以242sin cos 025A A =-<，即cos 0A <，所以A 为钝角，故选择C.【思路点拨】依据三角形角的范围，以及同角的基本关系式即可求得.【题文】5. 在ABC ∆中，有如下三个命题：①AB BC CA ++=0；②若D 为BC 边中点，则)(21AC AB AD +=；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形．其中正确的命题序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【学问点】平面对量的线性运算F1【答案】【解析】D 解析：①由于0AB BC CA AC CA ++=+=，所以正确；②由于D 为BC 边中点，所以可得)(21AC AB AD +=，正确；③由于0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，可得220AB AC -=，即AB AC =，所以ABC ∆为等腰三角形正确，故正确的有①②③，故选择D.【思路点拨】依据向量的基本加减法运算即可. 【题文】6.将函数x y 2sin 2=的图像（ ），可得函数)32sin(2π+=x y 的图像.A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位【学问点】三角函数的通项变换C3【答案】【解析】B 解析：由于2sin 22sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可得只需将x y 2sin 2=，向左平移6π个单位，故选择B.【思路点拨】依据函数()sin y A x ωϕ=+图像的变换，以及“左加右减”的平移法则即可得到.【题文】7. 已知),21(),1,2(λ=-=b a ，则“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【学问点】平面对量的数量积F3【答案】【解析】A 解析：若向量b a ,的夹角为锐角，则需满足1.2102122a b λλ⎧=⨯-⨯>⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩解得114λλ<≠-且，所以由“向量b a ,的夹角为锐角”能推出“1<λ”，反之不成立，所以“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的充分不必要条件，故选择A.【思路点拨】 解题时留意在两个向量在不共线的条件下，夹角为锐角的充要条件是它们的数量积大于零，由此列出不等式组，再解出这个不等式组，所得解集即为λ实数的取值范围．【题文】8．若函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（ ）A.2)(x x f =B. 3)1()(-=x x fC. 1)(-=x e x fD. 3)(x x f =【学问点】函数的奇偶性B4【答案】【解析】B 解析：依据题意函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，即若函数关于(),00a a ≠对称，即可称)(x f 为“准奇函数”，而只有B 中函数关于()1,0点对称，故选择B.【思路点拨】推断对于函数)(x f 为准奇函数的主要标准是：若存在常数0a ≠，使()()2f x f a x =--，则称)(x f 为准奇函数定义可得，函数关于(),0a 对称，即可称)(x f 为“准奇函数”.【题文】9．已知函数θsin 43)(23x x x f -=，其中x R ∈，θ为参数，且πθ≤≤0．若函数()f x 的微小值小于1281-，则参数θ的取值范围是（ ）[A. ]ππ,6( B. ⎥⎦⎤2,6(ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D. )65,6(ππ【学问点】导数的应用 三角函数的图像与性质B12 C3【答案】【解析】D 解析：由题意可得()sin '32f x x x θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由于πθ≤≤0，所以sin 012θ<<，可得函数θsin 43)(23x x x f -=在(),0-∞和sin ,2θ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，在sin 0,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，所以在sin 2x θ=处取得微小值，即33sin sin 3sin 1.2844128f θθθ⎛⎫=-<-⎪⎝⎭，解得1sin 2θ>，又由于πθ≤≤0，所以566ππθ<<，故选择D.【思路点拨】由题意可得函数在sin 2x θ=处取得微小值，代入可得不等式1sin 2θ>，即可得到结果.【题文】10.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-3)3sin(2)3(39)3sin(2)3(333y y y x x x ，则=+y x （ ）A.0B.3C.6D.9 【学问点】函数的奇偶性B4 【答案】【解析】C 解析：由于()()()()()33332sin 33323sin 3963x x x x x x -+--=-+---=-=，()()()()()33332sin 33323sin 3363y y y y y y -+--=-+---=-=-，设函数()332sin f x t t t=+-，则函数()332sin f x t t t=+-为奇函数，而()()33,33f x f y -=-=-，所以()33,x y -=--，即6x y +=，故选择C.【思路点拨】依据已知函数的特点构造函数()332sin f x t t t=+-，且为奇函数，利用()()33,33f x f y -=-=-，结合奇函数的性质求得6x y +=.第Ⅱ卷 非选择题（共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 【题文】11. 设向量b a ,满足：,32==且b a ,的夹角是3π，则=-a 2_________【学问点】平面对量的数量积F3 【答案】222244.16423cos9133a b a a b b π-=-+=-⨯⨯+=，所以213a b -=【思路点拨】求向量的模一般接受先平方再开方，然后依据向量的数量积进行计算求得.【题文】12.[]=-+-21266)21(2log 12log __________【学问点】对数的运算B7【答案】解析：原式=()6666log 26log 21log 21log 21⎤⨯-+=+-=⎦，故答.【思路点拨】利用对数的运算法则进行化简即可.【题文】13. 设)2,0(πα∈，若53)6sin(=-πα，则=αcos ___________【学问点】两角和与差的余弦开放式C5【答案】【解析】解析：由于)2,0(πα∈，所以4cos 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，而4313cos cos cos cos sin sin 666666525210ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⨯-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为310.【思路点拨】依据已知角的范围，求得4cos 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用凑角公式可得cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用两角和的余弦开放式求得.【题文】14. 在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3,32π==A a ，则此三角形周长的最大值为________【学问点】余弦定理 基本不等式C8 E1【答案】【解析】22222cos 122b c a A bc b c bc +-=⇒=+-，整理可得()2123b c bc +-=，由不等式可得()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭解得b c +≤，故三角形周长的最大值为a b c ++=【思路点拨】依据已知由余弦定理可得2212bc b c =+-，再由不等式可得()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即可得到b c +≤，进而求得三角形周长的最大值.【题文】15. 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意R y x ∈,均有：)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++且)(x f 不恒为零。
安徽省江南十校2021届高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
安徽省江南十校2021届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x∈N|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|log2（x﹣2）≤1}，则A∩B=（）A．（﹣1，4] B．（2，4] C．（3，4）D．{3，4}2．设i是虚数单位，复数z满足z•（1+i）=﹣i，则复数z的虚部等于（）A．﹣B．C．2 D．﹣3．设向量，是互相垂直的两个单位向量，且|﹣3|=m|+|，则实数m的值为（）A．B．±C．D．±4．设命题p：∀x∈R，e x≥x+1，则￢p为（）A．∀x∈R，e x＜x+1 B．∃x0∈R，e x0＜x+1C．∃x0∈R，e x0≤x+1 D．∃x∈R，e x0≥x+15．连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）A．B．C．D．6．“a=﹣1”是“直线ax+3y+3=0与直线x+（a﹣2）y﹣3=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．某程序框图如图所示，若输出的S=29，则判断框内应填（）A．k＞5？B．k＞4？C．k＞7？D．k＞6？8．已知函数f（x）=x2+bx过（1，3）点，若数列{}的前n项和为Sn ，则Sn的值为（）A．B．C．﹣D．﹣9．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上任意一点M与左右顶点A1、A2连线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1＜x2）都有x2f（x1）＞x1f（x2），记a=f（2），b=f（1），c=﹣f（﹣3），则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b11．如图，已知A、B分别是函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=f（x）的图象（）A．向左平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度12．已知函数f（x）=e|ln2x|﹣|x﹣|，若f（x1）=f（x2）且x1≠x2，则下面结论正确的是（）A．x1+x2﹣1＞0 B．x1+x2﹣1＜0 C．x2﹣x1＞0 D．x2﹣x1＜0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为．14．已知数列{an }满足a1=1， =+，则数列{an}的通项an= ．15．如图是某多面体的三视图，则该几何体的外接球体积为．16．某地突发地震后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队分别从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区，已知下面四种说法都是正确的．（1）甲轻型救援队所在方向不是A方向，也不是D方向；（2）乙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；（3）丙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；（4）丁轻型救援队所在方向不是C方向，也不是D方向；此外还可确定：如果丙所在方向不是D方向，那么丁所在方向就不是A方向，有下列判断：①甲所在方向是B方向②乙所在方向是D方向③丙所在方向是D方向④丁所在方向是C方向其中判断正确的序号是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，c=2，且（2+b）（sinC ﹣sinB）=a（sinA﹣sinB）．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求△ABC周长l的最大值．18．（12分）下表是某位理科学生连续5次月考的物理、数学的成绩，结果如下：次数12345物理（x分）9085746863数学（y分）1301251109590（Ⅰ）求该生5次月考物理成绩的平均分和方差；（Ⅱ）一般来说，学生的数学成绩与物理成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程．（小数点后保留一位有效数字）参考公式： =， =﹣，，表示样本均值参考数据：902+852+742+682+632=29394，90×130×85×125×74×110×68×95+63×90=42595．19．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，四边形ABEG是平行四边形，且平面ABCD⊥平面ABEG，AE⊥AB，EF⊥AG于F，设线段CD、AE的中点分别为P、M．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：MP∥平面BCE；（Ⅲ）若∠EAF=30°，求三棱锥M﹣BDP和三棱锥F﹣BCE的体积之比．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与圆O：x2+y2=8在第一象限内的交点为M，抛物线C与圆O在点M处的切线斜率分别为k1，k2，且k1+k2=1．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设抛物线C在点M处的切线为l，过圆O上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l 于A点，求|PA|的最大值．21．（12分）设函数f（x）=﹣alnx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=e x（x2﹣3x+3），当a≤1时，若存在x1∈（0，+∞），使得对任意x2∈（0，+∞），都有f（x1）≤g（x2），求a的取值范围．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2=．（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|（x∈R）．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥3；（Ⅱ）若不等式f（x）≥对任意实数x与任意非零实数m都恒成立，求a的取值范围．安徽省江南十校2021届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x∈N|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|log（x﹣2）≤1}，则A∩B=（）2A．（﹣1，4] B．（2，4] C．（3，4）D．{3，4}【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x∈N|x2﹣4x﹣5＜0}={x∈N|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，（x﹣2）≤1}={x|0＜x﹣2≤2}={x|2＜x≤4}，B={x|log2∴A∩B={3，4}．故选：D．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．设i是虚数单位，复数z满足z•（1+i）=﹣i，则复数z的虚部等于（）A．﹣B．C．2 D．﹣【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】z•（1+i）=﹣i，可得z•（1+i）（1﹣i）=﹣i（1﹣i），化简即可得出．【解答】解：z•（1+i）=﹣i，∴z•（1+i）（1﹣i）=﹣i（1﹣i），∴3z=﹣2﹣i，即z=﹣﹣i．则复数z的虚部等于﹣．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．设向量，是互相垂直的两个单位向量，且|﹣3|=m|+|，则实数m的值为（）A．B．±C．D．±【考点】93：向量的模．【分析】首先求出向量，的数量积以及模长，然后对已知等式平方展开，转化为关于m的方程解之．【解答】解：因为向量，是互相垂直的两个单位向量，所以=0，，|﹣3|=m|+|，所以|﹣3|2=m2|+|2，展开得10=2m2，又由题意，m≥0，所以m=；故选C【点评】本题考查了平面向量的运算；利用了向量的平方与其模长平方相等．4．设命题p：∀x∈R，e x≥x+1，则￢p为（）A．∀x∈R，e x＜x+1 B．∃x0∈R，e x0＜x+1C．∃x0∈R，e x0≤x+1 D．∃x∈R，e x0≥x+1【考点】2J：命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，e x≥x+1，则￢p为∃x∈R，e x0＜x+1，故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．5．连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再求出向上的点数之差的绝对值为3包含的基本事件个数，由此能求出向上的点数之差的绝对值为3的概率．【解答】解：连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之差的绝对值为3包含的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），共6个，∴向上的点数之差的绝对值为3的概率p=．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．6．“a=﹣1”是“直线ax+3y+3=0与直线x+（a﹣2）y﹣3=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线平行的等价条件求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a=﹣1时，两直线方程为﹣x+3y+3=0和x﹣3y﹣3=0，此时两直线重合，不满足条件．若直线ax+3y+3=0与直线x+（a﹣2）y﹣3=0平行，若a=0时，两直线方程为3y+3=0和x﹣2y﹣3=0，此时两直线相交，不满足条件．若a≠0，若两直线平行，则，由得a（a﹣2）=3，即a2﹣2a﹣3=0，得a=﹣1或a=3，当a=﹣1时，两直线重合，∴a=3，则“a=﹣1”是“直线ax+3y+3=0与直线x+（a﹣2）y﹣3=0平行”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出a的值是解决本题的关键．7．某程序框图如图所示，若输出的S=29，则判断框内应填（）A．k＞5？B．k＞4？C．k＞7？D．k＞6？【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：k S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 5 是第二圈 3 11 是第三圈 4 19 是第四圈 5 29 否故退出循环的条件应为k＞4．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．已知函数f（x）=x2+bx过（1，3）点，若数列{}的前n项和为Sn ，则Sn的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】利用数列与函数的关系求出b，得到数列的通项公式，然后利用裂项法求解数列的和即可．【解答】解：函数f（x）=x2+bx过（1，3）点，可得：3=1+b，解得b=2，可知：f（n）=n（n+2），∴，∴Sn==﹣．故选：D．【点评】本题考查数列与函数相结合，数列的通项公式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．9．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上任意一点M与左右顶点A1、A2连线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设出M的坐标，利用已知条件，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：设M（m，n），由题意可得：，，并且：，可得=，所以==，∴ =，e=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10．函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1＜x2）都有x2f（x1）＞x1f（x2），记a=f（2），b=f（1），c=﹣f（﹣3），则a，b，c之间的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据题意得出＞，构造函数g（x）=，则g（x）在（0，+∞）上是单调减函数；变形a、b、c，比较它们的大小即可．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意两个正数x1，x2（x1＜x2），都有x2f（x1）＞x1f（x2），∴＞；设g（x）=，g（x）在（0，+∞）上是单调减函数；又a=f（2）=，b=f（1）=，c=﹣f（﹣3）=f（3）=，∴g（1）＞g（2）＞g（3），即b＞a＞c．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了构造函数的应用问题，是中档题．11．如图，已知A、B分别是函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=f（x）的图象（）A．向左平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】先求得A、B的坐标，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式求得T的值，可得ω的值，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，的出结论．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）=sinωx，设函数f（x）的周期为T，则点A （，）、B（，﹣），根据∠AOB=，可得=﹣3=0，∴T=4=，∴ω=，f（x）=sin x．由于函数y=sin（x+）=sin（x+），故只需把函数y=f（x）的图象向左平行移动个单位长度，故选：C．【点评】本题中主要考查诱导公式，正弦函数的周期性，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12．已知函数f（x）=e|ln2x|﹣|x﹣|，若f（x1）=f（x2）且x1≠x2，则下面结论正确的是（）A．x1+x2﹣1＞0 B．x1+x2﹣1＜0 C．x2﹣x1＞0 D．x2﹣x1＜0【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】通过分段化简函数解析式，结合f（x1）=f（x2），作差可得f（x2）﹣f（1﹣x1）=f（x1）﹣f（1﹣x1）．构造函数g（x）=f（x）﹣f（1﹣x）（0＜x＜）．利用导数可得该函数为定义域上的减函数，得到f（x2）＞f（1﹣x1）．再由f（x）=x+在（，+∞）上为增函数，可得x1+x2﹣1＞0．【解答】解：∵f（x）=e|ln2x|﹣|x﹣|=，∴f（x）=x+（x＞0），∵f（x1）=f（x2）且x1≠x2，∴不妨设x1＜x2，则0＜x1＜＜x2．故1﹣x1＞．∴f（x2）﹣f（1﹣x1）=f（x1）﹣f（1﹣x1）．设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x）（0＜x＜）．则g（x）=2x+．g′（x）=＜0．∴g（x）在（0，）内为减函数．得g（x）＞g（）=0，从而f（x2）﹣f（1﹣x1）=f（x1）﹣f（1﹣x1）＞0．故f（x2）＞f（1﹣x1）．又f（x）=x+在（，+∞）上为增函数，∴x2＞1﹣x1，即x1+x2﹣1＞0．故选：A．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知x，y满足约束条件则目标函数z=的最大值为 2 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义转化求解即可．【解答】解：x，y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=，目标函数的几何意义是可行域的点与（﹣2，0）斜率的2倍，由题意可知：DA的斜率最大．由，可得A（2，4），则目标函数的最大值为： =2．故答案为：2．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．14．已知数列{a n }满足a 1=1， =+，则数列{a n }的通项a n = 3n ﹣2（n ∈N*） ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】利用已知条件推出新数列是等比数列，然后求解通项公式即可． 【解答】解：数列{a n }满足a 1=1，=+，可得：a n+1=3a n +4，即a n+1+2=3（a n +2），所以数列{a n +2}是以3为首项以3为公比的等比数列，所以a n +2=3n ，可得a n =3n ﹣2（n ∈N*）． 故答案为：3n ﹣2（n ∈N*）．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查新数列的判断与应用，考查计算能力．15．如图是某多面体的三视图，则该几何体的外接球体积为 4π ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】利用补形法得到几何体是由棱长为2的正方体切割得到，然后计算外接球的体积． 【解答】解：由三视图得到几何体由棱长位的正方体截去两个侧棱长为2 的正三棱锥P ﹣ABC和E﹣BCD得到，如图所以几何体的外接球与正方体的外接球是同一个球，所以体积为；故答案为：4．【点评】本题考查了几何体的三视图；关键是利用补形法得到几何体的直观图．16．某地突发地震后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队分别从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区，已知下面四种说法都是正确的．（1）甲轻型救援队所在方向不是A方向，也不是D方向；（2）乙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；（3）丙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向；（4）丁轻型救援队所在方向不是C方向，也不是D方向；此外还可确定：如果丙所在方向不是D方向，那么丁所在方向就不是A方向，有下列判断：①甲所在方向是B方向②乙所在方向是D方向③丙所在方向是D方向④丁所在方向是C方向其中判断正确的序号是①③．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用反证法通过丙所在方向不是D方向，推出丁所在方向就不是A方向，然后推出结果．【解答】解：由题意，丁所在方向是A方向，又如果丙所在方向不是D方向，那么丁所在方向就不是A方向，所以丙所在方向是D方向，从而乙所在方向就不是C方向，所以甲所在方向是B方向，故正确判断①③．故答案为：①③．【点评】本题考查命题的真假的判断，反证法的应用，考查逻辑推理能力．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2017•安徽二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，c=2，且（2+b）（sinC﹣sinB）=a（sinA﹣sinB）．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求△ABC周长l的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（I）由c=2，且（2+b）（sinC﹣sinB）=a（sinA﹣sinB）．由正弦定理可得：（c+b）（c﹣b）=a（a﹣b），化为：a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理即可得出C．（II）由（I）可得：A+B=．可得B=﹣A．由正弦定理可得： ====．可得a=sinA，b=sinB．可得a+b+c=sinA+sinB+2=4sin+2．即可得出．【解答】解：（I）由c=2，且（2+b）（sinC﹣sinB）=a（sinA﹣sinB）．由正弦定理可得：（c+b）（c﹣b）=a（a﹣b），化为：a2+b2﹣c2=ab．∴cosC==，C∈（0，π）．∴C=．（II）由（I）可得：A+B=．∴B=﹣A．由正弦定理可得： ====．∴a=sinA，b=sinB．∴a+b+c=sinA+sinB+2= [sinA+sin（﹣A）]+2=（sinA+cosA）+2=4sin+2．故当A+=时，△ABC周长l的最大值为6．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角函数的单调性、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•安徽二模）下表是某位理科学生连续5次月考的物理、数学的成绩，结果如下：次数12345物理（x分）9085746863数学（y分）1301251109590（Ⅰ）求该生5次月考物理成绩的平均分和方差；（Ⅱ）一般来说，学生的数学成绩与物理成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程．（小数点后保留一位有效数字）参考公式： =， =﹣，，表示样本均值参考数据：902+852+742+682+632=29394，90×130×85×125×74×110×68×95+63×90=42595．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）利用定义计算月考物理成绩的平均分和方差；（Ⅱ）计算，求出回归系数、，即可写出线性回归方程．【解答】解：（Ⅰ）计算月考物理成绩的平均分为=×（90+85+74+68+63）=76，方差为s2=×[++…+]=×[（90﹣76）2+（85﹣76）2+…+（63﹣76）2]=102.8；（Ⅱ）计算=×（130+125+110+95+68+90）=110，回归系数为==≈1.5，=﹣=110﹣1.5×76=﹣4，所以变量x，y的线性回归方程为=1.5x﹣4．【点评】本题考查了求平均数和方差以及线性回归方程的应用问题，是基础题．19．（12分）（2017•安徽二模）如图，四边形ABCD是正方形，四边形ABEG是平行四边形，且平面ABCD⊥平面ABEG，AE⊥AB，EF⊥AG于F，设线段CD、AE的中点分别为P、M．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：MP∥平面BCE；（Ⅲ）若∠EAF=30°，求三棱锥M﹣BDP和三棱锥F﹣BCE的体积之比．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，得到EF⊥BC．再由已知证得EF⊥BE，利用线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE；（Ⅱ）设线段AB的中点为N，连接MN，PN．由三角形中位线定理可得MN∥BE，PN∥BC，再由面面平行的判定得平面MNP∥平面BCE，得MP∥平面BCE；（Ⅲ）设正方形ABCD的边长为a，连接MB，MD，BD，BP，解三角形可得VM﹣BDP ，同理可得VF﹣BCE，则三棱锥M﹣BDP和三棱锥F﹣BCE的体积之比可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEG，平面ABCD∩平面ABEG=AB，由ABCD为正方形，得BC⊥AB，∴BC⊥平面ABEG，又EF⊂平面ABEG，∴EF⊥BC．又四边形ABEG为平行四边形，EF⊥AG，∴EF⊥BE，又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE=B，∴EF⊥平面BCE；（Ⅱ）证明：设线段AB的中点为N，连接MN，PN．∵线段CD、AE的中点分别为P、M，∴MN∥BE，PN∥BC，则平面MNP∥平面BCE，故MP∥平面BCE；（Ⅲ）解：设正方形ABCD的边长为a，连接MB，MD，BD，BP，∵∠EAF=30°，则EF=，∠AEB=30°，∴BE=2AB=2a，∴=．同理，连接FB，FC，则=．∴VM﹣BDP ：VF﹣BCE=1：4．【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20．（12分）（2017•安徽二模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与圆O：x2+y2=8在第一象限内的交点为M，抛物线C与圆O在点M处的切线斜率分别为k1，k2，且k1+k2=1．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设抛物线C在点M处的切线为l，过圆O上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l 于A点，求|PA|的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K7：抛物线的标准方程；K8：抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设M点坐标，根据导数几何意义，求得切线斜率，列方程即可求得p的值，即可求得抛物线C的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）直线l的方程2x﹣y﹣2=0，则丨PA丨=d，dmax=+2，即可求得|PA|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x0，y），x＞0，y＞0，由y=，y′=，故k1=，由k2=﹣，k1+k2=1，，解得：，∴抛物线C的方程为x2=2y；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得直线l的方程2x﹣y﹣2=0，设点P到直线l的距离d，则丨PA丨==d，dmax=+2，∴|PA|的最大值（+2）=+4．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•安徽二模）设函数f（x）=﹣alnx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=e x（x2﹣3x+3），当a≤1时，若存在x1∈（0，+∞），使得对任意x2∈（0，+∞），都有f（x1）≤g（x2），求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，求出函数的导数，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，求出a 的范围即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，（Ⅰ）a≤1时，则e x﹣a≥0，由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，当1＜a＜e时，由f′（x）＞0，得0＜x＜lna或x＞1，由f′（x）＜0，得lna＜x＜1，故f（x）在（lna，1）递减，在（0，lna），（1，+∞）递增，a=e时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，a＞e时，由f′（x）＞0，得0＜a＜1或x＞lna，由f′（x）＜0，得1＜x＜lna，故f（x）在（1，lna）递减，在（0，1），（lna，+∞）递增，（Ⅱ）∵x∈（0，+∞），a≤1，故由（Ⅰ）得f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（1）=e﹣a，又g′（x）=x（x﹣1）e x，故x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）=g（1）=e，min由题意得：e﹣a≤e，即a≥0，故0≤a≤1即a的范围是[0，1]．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•安徽二模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ2=．（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程，由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）设直线l被曲线C截得的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，求出A、B的坐标，由此能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为2x﹣y﹣1=0．∵曲线C的极坐标方程是ρ2=，∴由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，得曲线C的直角坐标方程为=1．（Ⅱ）设直线l被曲线C截得的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），则，得或，∴|AB|==．【点评】本题考查直线的普通方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．五、选修4-5：不等式选讲23．（2017•安徽二模）设函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|（x∈R）．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥3；（Ⅱ）若不等式f（x）≥对任意实数x与任意非零实数m都恒成立，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）分x＞1，﹣1≤x≤1，x＜﹣1三种情况取绝对值解不等式即可；（Ⅱ）由≤，得|a+1|≥3，解得a≥2或a≤﹣4即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）≥3⇔|x﹣1+|x+1|≥3．当x＞1时，f（x）=2x≥3，解得≥；当﹣1≤x≤1时，f（x）=2≥3，不等式无解．当x＜﹣1时，f（x）=﹣2x≥3，解得x≤﹣；综上所述，不等式解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（Ⅱ）∵≤，又f（x）=|x﹣a|+|x+1|≥|（x﹣a）﹣（x+1）|=|a+1|∴|a+1|≥3，解得a≥2或a≤﹣4．即a的取值范围为：（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，属于中档题，。
2020-2021学年安徽省高考数学二模试卷(文科)及答案解析
安徽省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M={x||x﹣1|＜2，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}2．已知sin（π﹣α）=﹣2sin（+α），则tanα的值为（）A．B．2 C．﹣D．﹣23．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+2=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列{a n}满足：a n+1+2a n=0，且a2=2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1 D．1﹣2105．以双曲线﹣y2=1的左右焦点为焦点，离心率为的椭圆的标准方程为（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=16．函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A．B．C．D．7．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．8．若执行如图所示的程序框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数S等于（）A．B．1 C．D．9．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值是（）A．3 B．1 C．﹣3 D．不存在10．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为（）A．1000πB．125πC．D．12．已知y=f（x）为定义在R上的单调递增函数，y=f′（x）是其导函数，若对任意x∈R的总有＜x，则下列大小关系一定正确的是（）A．＞B．＜C．＞D．＜二、填空题（每题5分，满分20分）13．已知复数z=，则|z|= ．14．求函数f（x）=的单调减区间．15．过点（2，0）引直线l与圆x2+y2=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为．16．设数列{a n}的前项和为S n，若为常数，则称数列{a n}为“精致数列”．已知等差数列{b n}的首项为1，公差不为0，若数列{b n}为“精致数列”，则数列{b n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，边a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B0．（1）求B0的值；（2）当B=B0，a=3，b=6时，又=，求CD的长．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB 上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．19．为了传承经典，促进课外阅读，某市从高中年级和初中年级各随机抽取40名同学进行有关对“四大名著”常识了解的竞赛．如图1和图2分别是高中和初中年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到频率分布直方图．（1）若初中年级成绩在[70，80）之间的学生中恰有4名女同学，现从成绩在该组的初中年级的学生任选2名同学，求其中至少有1名男同学的概率；（2）完成下列2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对‘四大名著’的了解有差异”？成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计高一年级高二年级合计附：K2=临界值表：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 k0 2.706 3.841 6.63520．已知椭圆C：=1，（a＞b＞0）的两个焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）．其短轴长是2，原点O到过点A（a，0）和B（0，﹣b）两点的直线的距离为．（I）求椭圆C的方程；（II）若点PQ是定直线x=4上的两个动点，且•=0，证明以PQ为直径的圆过定点，并求定点的坐标．21．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x）（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2时，若对任意λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＜（m+ln3）a﹣2ln3恒成立，求m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．选做题：平面几何已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E．求证：（1）DE⊥AC；（2）BD2=CE•CA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
安徽省合肥市2021届高三下学期第二次教学质量检测文科数学试题含答案
【答案】C
5.设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）
A. B.2C. D.4
【答案】A
6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法.如图是秦九韶算法的一个程序框图，执行该程序框图，若输入 ， ，输出 ，则输入的实数 的值为（）
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
序号
1
2
3
4
5
6
年数据量
66
86
161
285
表中 ， .
（1）根据上表数据信息判断，方程 ( 是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程( 精确到0.01).
（2）有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.
参考数据： ， ，回归方程 中，斜率最小二乘法公式为 ， .
20.已知椭圆 的离心率为 ，椭圆C与y轴交于点A，B(点B在x轴下方)， ，直径为BD的圆过点 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过D点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M，N，设直线AN与BM交于点T，证明：点T在直线 上.
21.已知函数 ( ，e为自然对数的底数).
13.已知向量 ， ，且 ，则 ___________.
14.若直线 与圆 相交，则实数 的取值范围是___________.
15.已知函数 ， .若当 时， 恒成立，则实数 的值等于___________ .
16.如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依次类推，则该数表中，第n行第1个数是___________.
安徽省江淮十校联考2021届高三上学期8月月考数学试卷(文科) Word版含解析
安徽省江淮十校联考2021届高三上学期8月月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R ）为纯虚数，则为（）A．0B．2i C．﹣2i D．﹣1﹣2i2．（5分）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（2x ﹣） B．y=2sin （+）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin （﹣）3．（5分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣1）2+（y+a）2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A．﹣2或6 B．0或4 C．﹣1或D．﹣1或34．（5分）已知变量x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2B．C．﹣1 D ．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题6．（5分）按如图程序框图，若输出结果为S=42，则推断框内应补充的条件为（）A．i＞3 B．i＞5 C．i＞7 D．i＞97．（5分）椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（）A．B．1或﹣2 C．1或D．1 8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．220+15πB．208+15πC．200+9πD．200+18π9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣，则的值为（）A．0B．1C．D ．10．（5分）如图，已知点，正方形ABCD内接于圆O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O 旋转时，的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．C．[﹣1，1]D ．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．）11．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2+a3+a10=12，则S9=．12．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx 在上的最大值为．13．（5分）某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解状况，然后对全市饭店逐一检查．为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，依据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开头顺次向后读数，则这5个号码中的其次个号码是．随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76．14．（5分）已知A（x A，y A）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任一点，将射线OA绕点O 逆时针旋转到OB交单位圆于点B（x B，y B），则2y A﹣y B的最大值为．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若∀x∈D，∃y∈D，使得f（y）=﹣f（x）成立，则称函数f（x）为“秀丽函数”．下列所给出的五个函数：①y=x2；②y=；③f（x）=ln（2x+3）；④y=2x﹣2﹣x；⑤y=2sinx﹣1．其中是“秀丽函数”的序号有．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＜b＜c，sinA=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c及△ABC的面积．17．（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析争辩，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该小卖部的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（°C）9 10 12 11 8销量y（杯）23 25 30 26 21（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请依据所给五组数据，求出y关于x 的线性回归方程=x+；（Ⅲ）依据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请猜测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：=，=﹣）18．（12分）已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求T n并比较T n+b n与6大小．19．（13分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．20．（13分）已知函数f（x）=klnx﹣kx﹣3（k∈R）．（Ⅰ）当k=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，且函数g（x）=x3+f'（x）在区间（1，2）上有极值，求t的取值范围．21．（13分）已知椭圆C ：+=1（{a＞b＞0}）的离心率e=，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（﹣1，﹣2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2是否为定值？若是，恳求出此定值，若不是，请说明理由．安徽省江淮十校联考2021届高三上学期8月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R ）为纯虚数，则为（）A．0B．2i C．﹣2i D．﹣1﹣2i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由纯虚数的定义可得a值，进而可得复数z ，可得．解答：解：由纯虚数的定义可得，解得a=1，∴z=2i，∴故选：C点评：本题考查复数的基本概念，属基础题．2．（5分）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（2x ﹣） B．y=2sin （+）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin （﹣）考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：依据函数的周期性和对称性即可得到结论．解答：解：由周期为π可排解选项B和D，对于选项C ，当时，函数取得最大值，明显符合题意，故选：C点评：本题主要考查函数解析的确定，依据三角函数的周期性和对称性是解决本题的关键，本题使用排解法比较简洁．3．（5分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣1）2+（y+a）2=4所截得的弦长为，则实数a的值为（）A．﹣2或6 B．0或4 C．﹣1或D．﹣1或3考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由圆的性质可得圆心到直线的距离为，由此能求出a．解答：解：圆（x﹣1）2+（y+a）2=4的圆心C（1，﹣a），半径r=2，∵直线x﹣y=2被圆（x﹣1）2+（y+a）2=4所截得的弦长为，∴由圆的性质可得圆心到直线的距离为，解得a=﹣1或3．故选：D．点评：本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要留意直线与圆的性质的合理运用．4．（5分）已知变量x，y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2B．C．﹣1 D ．考点：简洁线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出平面区域，找到取最大值时过的点，代入即可．解答：解：其平面区域如右图：则由y=2x﹣z可知，z=2x﹣y的最大值时，y=2x﹣z过直线y=x与x=2y﹣2的交点B，由解得，x=y=2，则此时z=2×2﹣2=2是z=2x﹣y的最大值时，故选A．点评：本题考查了线性规划，要留意作图要精确．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的推断．分析：对于A：由于否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：由于x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：由于命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排解法即可得到答案．解答：解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．由于否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．由于x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．由于命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排解法得到D正确．故答案选择D．点评：此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的推断，对于命题的否命题和否定形式要留意区分，是易错点．6．（5分）按如图程序框图，若输出结果为S=42，则推断框内应补充的条件为（）A．i＞3 B．i＞5 C．i＞7 D．i＞9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由程序框图，写出每次循环i，S的取值，结合已知输出的结果为S=42即可确定推断框内应补充的条件．解答：解：由程序框图知：i=1，S=0，S=0+2=2，i=1+2=3，不满足条件，执行循环体；S=2+8=10，i=2+3=5，不满足条件，执行循环体；S=10+32=42，i=5+2=7，满足条件，退出循环体，故推断框内应补充的条件为i＞5故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．7．（5分）椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（）A．B．1或﹣2 C．1或D．1考点：双曲线的简洁性质；椭圆的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可知焦点在x轴上，且a＞0，c相等．解答：解：∵椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，∴它们的焦点在x轴上，且6﹣a2=a+4（a＞0），解得a=1，故选D．点评：本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题．8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．220+15πB．208+15πC．200+9πD．200+18π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图想象出空间几何体，代入数据求面积即可．解答：解析：由三视图易得，此几何体为一个长方体与半圆柱的组合体，其表面积为（10×4+10×5+4×5）×2﹣6×2+π×32+π×3×2=208+15π．故选B．点评：本题考查了同学的空间想象力，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x）．若当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣，则的值为（）A．0B．1C．D ．考点：函数的周期性；函数的值；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数的周期性和奇偶性将条件进行转化即可得到结论．解答：解：由题意知函数f（x）是周期为2的周期函数，而，所以，故选：A点评：本题主要考查函数值的计算，依据函数的周期性和奇偶性将条件进行转化是解决本题的关键．10．（5分）如图，已知点，正方形ABCD内接于圆O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O 旋转时，的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．C．[﹣1，1]D ．考点：平面对量数量积的运算；平面对量的坐标运算．专题：平面对量及应用．分析：由已知，将转化为，得到=﹣cos∠PON，结合角的范围求余弦值是范围．解答：解：==﹣cos∠PON∵∠PON∈R，∴cos∠PON∈[﹣1，1]，∴的取值范围为[﹣1，1]．故选C．点评：本题考查了向量的加减运算以及向量数量积的运算，本题留意利用余弦值的范围求向量的数量积的范围．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上．）11．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2+a3+a10=12，则S9=36．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．解答：解：由于a2+a3+a10=12，由等差数列的性质知3a5=12，故a5=4，所以．故答案为：36．点评：本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意等差数列的性质的合理运用．12．（5分）函数f（x）=xsinx+cosx在上的最大值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：求导分推断导数在上的正负，从而得出在上的单调性，从而求出最大值．解答：解：f′（x）=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，则当时，f′（x）＞0，当时，f'（x）＜0，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，故时，f（x）取得最大值．故答案为：．点评：本题考查了利用导数推断函数的单调性与最值，属于基础题．13．（5分）某市即将申报“全国卫生文明城市”，相关部门要对该市200家饭店进行卫生检查，先在这200家饭店中抽取5家大致了解状况，然后对全市饭店逐一检查．为了进行第一步抽查工作，相关部门先将这200家饭店按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5家饭店，依据下面的随机数表，要求从本数表的第5列开头顺次向后读数，则这5个号码中的其次个号码是068．随机数表：84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76．考点：简洁随机抽样．专题：概率与统计．分析：依据随机数表进行简洁随机抽样，抽取出符合条件的号码，对于不符合条件的号码，应舍去，直到取满样本容量为止．解答：解：依据随机数表进行简洁随机抽样的方法得，抽取的第一个号码为175，后面的数331，572，455都大于200，应舍去，∴其次个号码为068．故答案为：068．点评：本题考查了利用随机数表进行简洁随机抽样的问题，解题时应生疏随机数表的应用问题，是简洁题．14．（5分）已知A（x A，y A）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交单位圆于点B（x B，y B），则2y A﹣y B的最大值为．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：设A（cosα，sinα），则，代入要求的式子由三角函数的学问可得．解答：解：设A（cosα，sinα），则，∴=，∴其最大值为，故答案为：点评：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的最值，属基础题．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若∀x∈D，∃y∈D，使得f（y）=﹣f（x）成立，则称函数f（x）为“秀丽函数”．下列所给出的五个函数：①y=x2；②y=；③f（x）=ln（2x+3）；④y=2x﹣2﹣x；⑤y=2sinx﹣1．其中是“秀丽函数”的序号有②③④．考点：命题的真假推断与应用．专题：新定义．分析：由题意知“秀丽函数”即为值域关于原点对称的函数．解答：解：①函数y=x2≥0，所以不行能是“秀丽函数”，所以①错；②的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，所以②正确；③f（x）=ln（2x+3），值域为R，关于原点对称，所以③正确；④y=2x﹣2﹣x，令t=2x＞0，则y=，在（0，+∞）上单调递增，且值域为R，值域关于原点对称，所以④正确；⑤y=2sinx﹣1，则y∈[﹣3，1]，不关于原点对称，所以⑤错误．故答案为：②③④．点评：本题考查的函数的值域，新定义题型，关键是理解题目的意思．属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＜b＜c，sinA=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c及△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式变形后，利用正弦定理化简，依据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosB的值代入求出c的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC 面积即可．解答：解：（Ⅰ）∵sinA=，∴a=2bsinA ，由正弦定理可得sinA=2sinBsinA ，∵0＜A＜π，∴sinA ＞0，∴sinB=，∵a＜b＜c，∴B＜C，∴0＜B＜，则B=；（Ⅱ）∵a=2，b=，cosB=，∴由余弦定理可得：7=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣3=0，解得：c=3或c=﹣1（舍去），即c=3，则S△ABC=acsinB=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，娴熟把握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析争辩，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该小卖部的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（°C）9 10 12 11 8销量y（杯）23 25 30 26 21（Ⅰ）若先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）请依据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅲ）依据（Ⅱ）中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7（°C），请猜测该奶茶店这种饮料的销量．（参考公式：=，=﹣）考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）依据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种状况，每种状况都是可能消灭的，满足条件的大事包括的基本大事有4种．依据等可能大事的概率做出结果．（Ⅱ）依据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，依据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（Ⅲ）利用线性回归方程，x取7，即可猜测该奶茶店这种饮料的销量．解答：解：（Ⅰ）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为大事A，全部基本大事（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15），共有10种．大事A包括的基本大事有（11，12），（12，13），（13，14），（14，15）共4种．所以为所求．…6分（Ⅱ）由数据，求得，．由公式，求得，，所以y关于x 的线性回归方程为．…10分（Ⅲ）当x=7时，．所以该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯．…12分．点评：本题考查等可能大事的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估量验算所求的方程是否是牢靠的，是一个综合题目．18．（12分）已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求T n并比较T n+b n与6大小．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，由此求出公比，从而能求出数列{a n}通项公式．（Ⅱ），由此利用错位相减法能求出，并求出．解答：解：（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，即（S4﹣S2）+（S4﹣S3）=0，亦即（a4+a3）+a4=0，∴，∴公比，…4分于是数列{a n}通项公式为．…5分（Ⅱ），所以，①，②…8分①﹣②得，==，∴，…11分∴….12分．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，留意错位相减法的合理运用．19．（13分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能证明BC∥EF．（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，由已知得DE⊥BH，BH⊥平面ADEF，由此能求出三棱锥B﹣DEF 的体积．解答：解：（Ⅰ）由于AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，…3分又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，所以BC∥EF．…6分（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，由于DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以DE⊥BH，又AD、DE⊂平面ADEF，AD∩DE=D，所以BH⊥平面ADEF，所以BH是三棱锥B﹣DEF的高．…10分在直角三角形ABH中，∠BAD=60，AB=2，所以，由于DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，又由（Ⅰ）知，BC∥EF，且AD∥BC，所以AD∥EF，所以DE⊥EF，所以三棱锥B﹣DEF的体积：．…13分．点评：本题考查两直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，留意空间思维力量的培育．20．（13分）已知函数f（x）=klnx﹣kx﹣3（k∈R）．（Ⅰ）当k=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，且函数g（x）=x3+f'（x）在区间（1，2）上有极值，求t的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩函数的极值；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0 即可得出．（II）由函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，可得f′（2）=1，解出k=﹣2，．可得g′（x）=3x2+（t+4）x﹣2，由于函数g（x）在区间（1，2）上存在极值，留意到y=g′（x）的图象为开口向上的抛物线，且g′（0）=﹣2＜0，因此只需，解出即可．解答：解：．（Ⅰ）当k=﹣1 时，，令f′（x）＞0 时，解得x＞1，令f′（x）＜0 时，解得0＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y﹣3=0平行，∴f′（2）=1，即，∴k=﹣2，，，∴g′（x）=3x2+（t+4）x﹣2，∵函数g（x）在区间（1，2）上存在极值，留意到y=g′（x）的图象为开口向上的抛物线，且g′（0）=﹣2＜0，∴只需，解得﹣9＜t＜﹣5，∴t 的取值范围为（﹣9，﹣5）．点评：本题考查了利用导数争辩函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、二次函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理力量与计算力量，属于难题．21．（13分）已知椭圆C ：+=1（{a＞b＞0}）的离心率e=，且由椭圆上顶点、右焦点及坐标原点构成的三角形面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（0，2），过点Q（﹣1，﹣2）作直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．试问k1+k2是否为定值？若是，恳求出此定值，若不是，请说明理由．考点：圆锥曲线的实际背景及作用；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）留言椭圆的离心率，a、b、c的关系，以及三角形的面积，解方程组即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）利用直线斜率存在与不存在两种状况，通过直线方程与椭圆的方程，求出A、B坐标，求出直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．k1+k2为定值．解答：解：（Ⅰ）由题意得，解得a2=8，b2=4，所以椭圆C 的方程为=1．…5分（Ⅱ）k1+k2为定值4，证明如下：…6分（ⅰ）当直线l斜率不存在时，l方程为x=﹣1，由方程组易得，，于是k1=，k2=，所以k1+k2=4为定值．…8分（ⅱ）当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣（﹣2）=k[x﹣（﹣1）]，即y=kx+k﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由方程组，消去y，得（1+2k2）x2+4k（k﹣2）x+2k2﹣8k=0，由韦达定理得（*）…10分∴k1+k2====2k+（k﹣4）•，将（*）式代入上式得k1+k2=4为定值．…13分．点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算力量．。