2016海淀区高二(上)期末数学(理科)

2016海淀区高二（上）期末数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）

A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．

2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）

A．B．1 C．2 D．4

3．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）

A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1

4．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A． B．0 C．D．1

6．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）

A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴

C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴

7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）

A．2 B．±2 C．﹣2 D．0

8．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）

A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥α

C．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β

9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）

A．0 B．C．D．

10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）

A．B．2 C．D．3

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

11．（4分）已知命题p：“?x∈R，x2≥0”，则￢p：．

12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为．

13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．

①在平面PAB内不存在直线与DC平行；

②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；

③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；

上述命题中正确命题的序号为．

15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．

16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．

三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．

18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD 的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．

（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；

（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；

（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．

19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与

椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．

（Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），

半径为．

故选：D．

2．【解答】抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．

故选：C．

3．【解答】双曲线4x2﹣y2=1即为

﹣y2=1，可得a=，b=1，

由双曲线的渐近线方程y=±x，

可得所求渐近线方程为y=±2x．

故选：A．

4．【解答】“直线a，b没有公共点”?“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，

“直线a，b互为异面直线”?“直线a，b没有公共点”，

∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．

故选：B．

5．【解答】∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，

∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，

∴2a+1=0，解之得a=﹣

故选：A．

6．【解答】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，

∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，

故选：B．

7．【解答】∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，

∴1×4﹣a?a=0，解得a=2或a=﹣2，

经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去

故选：A

8．【解答】对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；

对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；

对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；

对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；

故选：C．

9．【解答】由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），

设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，

∴∠APC=30°，

∴∠APB=120°，

∴cos∠APB=﹣．

故选：C．

10．【解答】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），

=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），

∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，

∴a+2b﹣2=0，

∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，

设CD中点F，则点P在线段AF上，

当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；

当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，