2016海淀区高二(上)期末数学(理科)

2016海淀区高二（上）期末数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）
A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．
2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）
A．B．1 C．2 D．4
3．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）
A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1
4．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A． B．0 C．D．1
6．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）
A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴
C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴
7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）
A．2 B．±2 C．﹣2 D．0
8．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）
A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥α
C．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β
9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）
A．0 B．C．D．
10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）
A．B．2 C．D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
11．（4分）已知命题p：“?x∈R，x2≥0”，则￢p：．
12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为．
13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．
①在平面PAB内不存在直线与DC平行；
②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；
③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；
上述命题中正确命题的序号为．
15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．
16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．
三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．
18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD 的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；
（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．
19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与
椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），
半径为．
故选：D．
2．【解答】抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．
故选：C．
3．【解答】双曲线4x2﹣y2=1即为
﹣y2=1，可得a=，b=1，
由双曲线的渐近线方程y=±x，
可得所求渐近线方程为y=±2x．
故选：A．
4．【解答】“直线a，b没有公共点”?“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，
“直线a，b互为异面直线”?“直线a，b没有公共点”，
∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．
故选：B．
5．【解答】∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，
∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，
∴2a+1=0，解之得a=﹣
故选：A．
6．【解答】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，
∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，
故选：B．
7．【解答】∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，
∴1×4﹣a?a=0，解得a=2或a=﹣2，
经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去
故选：A
8．【解答】对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；
对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；
对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；
对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；
故选：C．
9．【解答】由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），
设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，
∴∠APC=30°，
∴∠APB=120°，
∴cos∠APB=﹣．
故选：C．
10．【解答】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），
=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），
∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，
∴a+2b﹣2=0，
∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，
设CD中点F，则点P在线段AF上，
当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；
当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，
当P在线段AF的中点时，P（1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度||=
=．
∴线段B1P的长度的最大值为3．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
11．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“?x∈R，x2≥0”，则￢p：?x∈R，x2＜0．
故答案为：?x∈R，x2＜0．
12．【解答】椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，
即有a=3，b=1，
则长轴长为2a=6．
故答案为：6．
13．【解答】曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，
可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，
解得m＞2．
故答案为：（2，+∞）．
14．【解答】①用反证法．
设在平面PAB内存在直线与DC平行，
则CD∥平面PAB，
又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，
故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；
②设平面PAB∩平面PDC=l，
则l?平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，
故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；
③用反证法．
设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，
则l∥AB，l∥CD，
可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．
故答案为：①②③．
15．【解答】∵向量，
∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），
设平面BCD的法向量为=（x，y，z），
则，取x=6，得=（6，3，2），
设与平面BCD所成角为θ，
则sinθ＝==．
∴与平面BCD所成角的正弦值为．
故答案为：．
16．【解答】由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，
∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．
∴V==，S=+××2+=3．
故答案为，
三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4），
∴=（8，4），=（﹣2，4），
∴?=﹣16+16=0，
∴⊥，
∴ABC是直角三角形；
（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，
∴圆心到直线的距离d=4=，
∴m=﹣4或﹣44．
18．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，
所以CC1∥AA1，（1分）
因为ABCD是正方形，
所以AD∥BC，（2分）
因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，
所以平面AA1D∥平面CC1B．（3分）
因为AE?平面AA1D，
所以AE∥平面CC1B．（4分）
（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，（5分）
因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，
以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），（6分），，（7分）
因为，
所以，（8分）
所以A1D⊥平面ABE．（9分）
法2：因为AA1⊥平面ABCD，
所以AA1⊥AB．（5分）
因为ABCD是正方形，
所以AB⊥AD，
所以AB⊥平面AA1D，（6分）
所以AB⊥A1D．（7分）
因为E为棱A1D中点，且，
所以AE⊥A1D，（8分）
所以A1D⊥平面ABE．（9分）
（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D?平面EFD，（10分）
所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）
因为平面ABE即平面BEF，
所以二面角D﹣EF﹣B为90°．（12分）
设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），（13分）
因为A1D⊥平面ABE，BG?平面ABE，
所以A1D⊥BG，
所以，即，所以．（14分）
19．【解答】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，
由已知可得，且c=1，
所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3，
则椭圆G的方程为；
（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），
由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，
所以，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣y C），
所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，
所以，
解得，即．
所以直线l的方程为或．。