非线性系统

摩擦特性 • ５.摩擦特性是机械传动机构中普遍存在的非线性特性。摩擦力阻
挠系统的运动，即表现为与物体运动方向相反的制动力。 •
• 为改善系统跟踪过程的平稳性，可采取如下措施： １）取良好的润滑或外加高频颤振信号的办法以减小静动摩擦力 矩的差值。 ２）采取干扰补偿的办法，校正抵消摩擦力矩的影响。 ３）采取增加系统阻尼的办法，减小转速脉动，提高平稳性
４.逆系统法 逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统，并 以此为基础，设计外环控制网络。该方法应用数学工具直接研究 非线性控制问题，不必求解非线性系统的运动方程，是非线性系 统控制研究的一个发展方向。
三、常见非线性特性及其对系统运动的 影响
• 死区特性一般是由测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区所 造成的。死区特性如图７-１所示。
• 2.饱和（限幅）特性放大器及执行机构受电源电压或 功率的限制导致了饱和现象，饱和特性如图７-２所示。
• 3.间隙（滞环）特性
４.继电特性
• 继电器、接触器和晶闸管等电气元件的特性通常都表现为继电
特性。继电特性有不同的形式，图７-４ａ所示为理想继电特性。 对于实际的继电器，当线圈中的电流大到某一定值时，即线圈两 端电压达到一定数值后，方能使继电器的衔铁吸合，因而继电特 性一般都有死区，如图７-４ｂ所示。此外，鉴于继电器的吸合 电压一般都大于释放电压，继电器还具有回环的特性，如图７４ｃ。 •
四、非线性系统稳定性分析的描述函数法
１.非线性系统的稳定判据 当非线性特性采用描述函数Ｎ（Ａ）近似等效时， 图７-５所示系统的闭环特征方程为
1 N ( A)G( j ) 0
1 G ( j ) N ( A)
• 若线性部分开环频率特性是稳定的， 则
• （1） 如果曲线不包围曲线，则非线性系 统是稳定的。 • （2） 如果曲线包围曲线，则非线性系统 是不稳定的。 • （3） 如果曲线与曲线相交，则在非线性 系统中产生周期运动。

[ kA sin 2 tdt ka sin tdt ]

• （3） 饱和特性的描述函数为
2 B1 2k a a a N ( A) arcsin 1 A A A A
Aa
• 上式表明，饱和特性的描述函数是一个只与输入信号振幅有关的实 函数
n 1


式中
Yn A B
2 n
2 n
A B
2 n
2 n
An n tg Bn
1
1 An2 y( t ) cos ntd(t ) n A n tg B0n 1 2 Bn y( t ) sin ntd(t ) 0
1
n 1
• 如果非线性元件的静特性具有中心对称性质和低通滤波 特性，，则可近似认为非线性环节的正弦响应只有一次 谐波分量，即基波分量。
2
三、非线性系统的简化
• 等效变换的原则是在ｒ（ｔ）＝０的条件下，根据 非线性特性的串、并联，简化非线性部分为一个等效非 线性环节，再保持等效非线性环节的输入输出关系不变， 简化线性部分。下面示例说明简化的一般方法。
• １.非线性特性的并联
两个非线性特性并联时，可先将两个非线性特性叠加得到等 效非线性特性，再求其描述函数。图７-８所示为死区非线性和死 区继电非线性并联的情况。也可由描述函数的定义，对两个并联 的非线性特性分别求描述函数，它们的代数和
２.可能出现自激振荡
• 所谓自激振荡，是指没有外界周期变化信号的作用时，系 统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自 振。

必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加 控制误差，因此在通常情况下，不希望系统产生自振，必 须设法抑制它。
３.频率响应复杂
线性系统的频率响应，即正弦信号作用下系统的稳态 输出是与输入同频率的正弦信号。而非线性系统的频率响 应除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外， 还含有关于ω的高次谐波分量。 有些系统当输入信号的频率由小到大和由大到小变化 时，其幅频的数值不完全相同，并有突跳式的不连续现象， 即所谓跳跃谐振和多值响应。
非线性系统
• 1 非线性系统概述 • 2 非线性系统的描述函数分析法 • 3 非线性系统的相平面分析法 • 4 改善非线性系统性能的措施 • 5 基于Simulink的非线性系统分析 • 小结
1 非线性系统概述
• 非线性系统的特征 • 非线性系统的分析与设计方法 • 常见非线性特性及其对系统运动的影响
N ( A) N ( A) e
jN ( A)
Y1 j1 B1 jA1 e A A
• 2. 描述函数的求取步骤 • （1） 取输入信号为，根据非线性环节的静态特性绘制
出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式写出 输出y(t)在一周期内的数学表达式。 • （2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达式， 求相关系数A1、B1。 • （3）用式(7-8)计算描述函数。
2 2 2M m h h 1- ＝ 1- A A
• 3） 死区滞环继电特性的描述函数为
2 2 2M mh 2Mh h 1- N ( A)＝ 1 - j 2 (m - 1) A A A பைடு நூலகம்≥h A • 取h=0可得理想继电特性的描述函数为
2. 死区与滞环继电特性
• （１）数学表达式
0, y (t ) M , 0, 0＜t＜ 1
1＜t＜ 2 2＜t＜
h 1 arcsin A
2 - arcsin
mh A
• 2）相关系数A1、B1 由图可见，y(t)为奇对称函数，而非奇函数， 故
一、非线性系统的特征
• 当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时，该 系统称为非线性系统。
１.稳定性分析复杂
• 在线性系统中，系统的稳定性只 取决于系统的结构和参数，即只 取决于系统特征方程根的分布， 而和初始条件、外作用没有关系。

如果系统中的一个运动，即系 统方程在一定外作用和初始条 件下的解是稳定的，那么线性 系统中可能的全部运动都是稳 定的，所以我们可以说某个线 性系统是稳定的或是不稳定的。
相平面法由庞加莱（Ｐｏｉｎ ｃａｒｅ）1885年首先提出。
第二节 非线性系统的描述函数分析法
• 描述函数法是达尼尔（Ｐ．Ｊ．Ｄ ａｎｉｅｌ）于１９４０年首先提 出的。 • 基本思想是：当系统满足一定的假 设条件时，系统中非线性环节在正 弦信号作用下的输出可用一次谐波 分量来近似，由此导出非线性环节 的近似等效频率特性，即描述函数。
一、描述函数的基本概念
二、典型非线性特性的描述函数
• 典型非线性特性具有分段线性特点，描述函数的计算重点在于确 定正弦响应曲线和积分区间，一般采用图解方法。 • １.饱和特性 • （１）数学表达式
kAsin t y(t ) ka
0 t t 2
• （2）求相关系数A1、B1 由于y(t)为奇函数，所以A0＝0，A1＝0。
二、非线性系统的分析与设计方法
• １.相平面法 相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。相平面法适 用于分析一、二阶线性或非线性系统。
• ２.描述函数法 描述函数法一种图解分析法，是一种工程近似方法。该方法对于满 足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表 示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡 • ３.李亚普诺夫第二法
• 设非线性环节输入输出描述为 • 当其输入信号为正弦函数
y f ( x)
x(t ) Asint
• 一般情况下，其输出y(t)为非正弦的周期信号。将y(t)按 傅里叶级数展开为
y(t ) A0 ( An cosnt Bn sin nt ) A0 Yn sin(nt n )
•有
y1 (t ) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1 )
式中
Y1 A B
2 1
2 1
A1 1 tg B1
1
• 上式表明，非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应 形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节输出量的一次谐 波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数。用N(A)表示
• 死区特性对系统产生的主要影响有： • （１）使系统存在稳态误差 系统受死区的影响，导致输出在时 间上的滞后，降低了系统的跟踪精度；而在另一方面，在系统动 态过程的稳态值附近，当系统输入端存在小扰动信号时，死区的 作用可减小扰动信号的影响。
• （２）对系统动态性能影响的利弊由具体系统的结构和参数确定 例如，对某些系统死区的存在，会使系统动态过程超调量较大， 甚至导致其产生自激振荡；而对另一些系统死区的存在会抑制其 振荡，降低系统的超调量。
A1

1
2 0
y (t )costdωt

2
2
1
Mcostd t
2Mh (sin 2 sin 1 ) (m-1) A
2M
B1

2

0
y (t )sintdt
2M

2
2
1
Msintdt
(cos 1 cos 2 )
N(A)＝N1(A)＋N2(A)
２.非线性特性的串联
• 当两个非线性环节串联时，因第一个环节的输出就是第二个环节的输 入，所以可以根据两个串联非线性环节的输入输出特性，求出总的复 合非线性，再求复合非线性的描述函数Ｎ（Ａ），即为串联非线性特 性总的描述函数。
特别需要注意的是，串联非线性特性总的描述函数绝不等于两个 非线性特性描述函数的乘积；而且，两个非线性环节串联的前后次序 不同，总的描述函数也不同。
2. 非线性系统存在周期运动时的稳定性分析
• 系统处于周期运动时，如果该周期运动能够维持，即考虑外 界小扰动作用使系统偏离该周期运动，当该扰动消失后，系统的 运动仍能恢复原周期运动，则称为稳定的周期运动，即自持振荡。 否则，为不稳定工作点。
第三节 非线性系统的相平面分析法
• 一、相平面的基本概念 • 二、绘制相轨迹的方法 • 三、相平面分析 • 四、用相平面法分析非线性系统
2 0
B1

4
1
2
0
y (t )sin td t

2
4
y (t )sin td t
0 4kA 1 a ( sin 2 cos ) 2 4 A 2 2kA a a a arcsin 1 A A A
（7-17）
4M • N ( A)＝ • 取m=1可得死区继电特性的描述函数为 A
（7-18）
2 • A≥h （7-19） 4M h N A)＝ 1- • 取m=－ 1( 可得滞环继电特性的描述函数为 A A • A≥h （7-20）
4M 4Mh h N ( A)＝ 1- - j 2 A A A
第二节 非线性系统的描述函数分析法
• 一、描述函数的基本概念 • 二、典型非线性特性的描述函数 • 三、非线性系统的简化 • 四、非线性系统稳定性分析的描述函数法
y f ( x)
一、描述函数的基本概念
• 含有非线性环节的控制系统经过适当的变换，可简化成一个非线 性环节和线性部分串联连接的典型结构形式，如图7-5所示。
• １.描述函数的定义 • 若含有非线性环节的控制系统经过适当的变换，简化成一 个非线性环节Ｎ（Ａ）和线性部分Ｇ（ｓ）串联连接的典 型结构形式，如图７-５所示
• ２.描述函数的求取步骤
• １）取输入信号为ｘ（ｔ）＝Ａｓｉｎωｔ，根据 非线性环节的静态特性绘制出输出非正弦周期信号 的曲线形式，根据曲线形式写出输出ｙ（ｔ）在一 周期内的数学表达式 • ２）据非线性环节的静态特性及输出ｙ（ｔ）的 数学表达式，求相关系数Ａ１、Ｂ１。 • ３）用式（７-８）计算描述函数。