北师大版数学：八年级上册教案4.4一次函数的应用

４.４一次函数的应用(1)

一、教学分析

【教材分析】

“一次函数的应用”是北师大版数学八年级上册第四章第四节，学生在七年级上册“整式及其加减”一章，让学生结合具体情境列出相应的代数式，实际上就是函数思想的初步渗透。在八年级有学习了平面直角坐标系、一次函数的概念、一次函数的图象。学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．

【教学目标分析】

根据《课程标准》的要求，结合本节课确定教学目标为：

知识技能：

1、经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。

2、进一步发展数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。

3、利用一次函数图象分析、解决简单的实际问题，发展几何直观。

4、初步体会函数与方程的联系。

数学思考：

体会数形结合的思想，解决实际问题，体会几何直观。

问题解决：

由现实背景确定一次函数，关注图象特征确定一次函数表达式。

情感态度：

积极参与数学活动，养成独立思考的能力，培养合作交流的意识

【教学重点难点】

教学重点：一次函数图像的应用。注重提高学生的数形结合的思想。

教学难点：从函数图像中正确读取信息，解决实际问题。

帮助学生建立转化的思想方法。

【我的思考】

本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的

一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练．

二、教学过程设计

第一环节：复习旧知

画出y=-2x-4的图象，根据图象回答下列问题：

（1）y的值随x值的增大而________；

（2）图象与x轴的交点坐标是_______，与y轴

的交点坐标是_______；

（3）判断下列各点是否在函数y＝-2x－4的图象上．

A （1，-6）B（-3，1）

分析：将x的值代入函数表达式，如果等于y的值，这个点就在函数的图象上；否则，这个点不在函数的图象上．

完成以上问题之后，和同学们一同复习一下关于一次函数的知识：

提问：（1）什么是一次函数？

（2）一次函数的图象是什么？

（3）一次函数具有什么性质？

目的：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．

第二环节：探索新知

展示实际情境1：图片展示，从学生所体验过的冰滑梯开始。

某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示．

(1)写出v与t之间的关系式；

(2)下滑3秒时物体的速度是多少？

分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．

设计意图：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景中学生更可能更易写出函数关系式．教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．

想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？

目的：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量k 、b ，所以需要两个条件来确定． 第三环节、深入探究

例1 、在弹性限度内，弹簧的长度y (厘米)是所挂物体的质量x (千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体

时长14.5cm ；当所挂物体的质量为3kg 时，弹簧长16cm 。写出y 与x 之间的关系式，并求所挂物体的质量为4kg 时弹簧的长度． 解：设b kx y +=，根据题意，得

14.5=b ， 16=3k +b ， 解得5.0=k ．

所以关系式为：5.145.0+=x y ．

当4=x 时，5.165.1445.0=+⨯=y （厘米）． 即物体的质量为4千克时，弹簧长度为5.16厘米．

设计意图：引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解． 教学注意事项：

学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到y 与x 间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．

想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤．

求函数表达式的步骤有： 1．设一次函数表达式． 2．根据已知条件列出有关方程． 3．解方程．

4．把求出的k ，b 值代回到表达式中即可．

设计目的：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．