第七章磁流体力学方程

∂ui ∂t
+ (ui
⋅ grad)ui ⎥⎦⎤⎥
=
enE + en[ui
×B]− gradpi
+ nRie
（7-54）
把这两个方程相加，并考虑到 Rei = −Rie ，我们得到如下形状的平均速度方程
ρ du = [j×B]− gradp
dt
（7-55）
这里 p = pi + pe 总压强， j = en(ui −ue ) 电流密度，全导数
∂ ∂xl
(nuk
ul
)
+
1 m
l
∂π kl
∂xl
+
1 m
∂p ∂ xk
第三项和第四项为
qn E⋅ m
gradυ g
=
qn m
Ek
qn m
[υ×B]⋅ gradυ g
= qn [υ×B]
m
k
把所有的项合起起来，得到
∑ ∑ ∂(nuk
∂t
)
+
l
∂ ∂xl
(nukul ) +
1 m
∂p ∂xk
+
1 m
l
1. 能量通量散度（ divQ ） 所描述的粒子运动时的能量迁移；
2. 与等离子体中的电流有关的粒子加热，这种加热的功率密度是电流密度（ j = qnu ）
与电场强度（ E ）的乘积；
3. 碰撞时的能量变化。
利用动能表示成定向运动能量和无规运动能量之和 K = mu2 / 2 + 3T / 2 ，以及能量
在连续性方程中略去源项，在运动方程中略去粘性应力项和碰撞摩擦力项，利用理想气
体的状态方程及麦克斯韦方程，能得到完整描述等离子体的双流体力学方程组（α = e, i ）
∂nα ∂t
+
div(nαuα )
=
0
（7-43）
mα nα
⎡⎢⎢⎣
∂uα ∂t
+ (uα
⋅ grad)uα ⎤⎥⎥⎦
=
nαqαE + nαqα
右边等于作用于单位体积给定类型粒子的力之和：电力 nqE ，洛仑兹力 nq[u×B] ，气体压
JG 强梯度产生的力 (−gradp) ，在粘性应力作用下产生的力 (−gradπ) ，以及与粒子碰撞有关
87
JG 的摩擦力 nmδu/δt 。与 gradp 和 gradπ 相联系的力纯粹是动力学性质的，由粒子热运动
υ
g
(υ)
∂f ∂υ
d
3υ
∫ =
nq m
E⋅
⎡⎢⎢⎣−
υ
f
∂g ∂υ
d 3υ⎤⎥⎥⎦
= − n qE⋅ m
gradυ g
（7-23）
分部积分的时候利用了υk → ±∞ 是分布函数应该等于零。第四项得
85
∫ ∑ ∫ q
m
υ
{[υ×B]⋅
gradυ
(nf
)}gd
3υ
=
qn m
k
[υ×B]
υ
∂f ∂υ
gd 3υ
时的动量输运引起。
经过复杂的运算可推导由弹性碰撞导致的对 α 粒子流体元摩擦阻力
∑ mα nα
δuα δt
= nα
β
Rαβ
β ≠α
（7-37）
式中
Rαβ = −µαβναβ (uα − uβ )
（7-38）
是正比与定向速度之差 uα − uβ 和有效碰撞频率 ναβ 的摩擦力。
推导能量平衡方程即二级矩方程。设 g = mυ2/2 ，进入方程（7-25）式量的平均值为
通量密度矢量表达式（7-18）式，得
3 n ∂T + mnu ⋅ ∂u + ( 3 T + mu2 ) ∂n
2 ∂t
∂t 2 2 ∂t
+divq
+
JG div(π
⋅ u)
+
div(nu
mu 2
)
+
Zenu
⋅
E
=
∂(n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
K
)
2
∂t
（7-41）
88
由（7-27）和（7-36）式得到的 ∂n / ∂t 和 ∂u / ∂t 表达式代入（7-41）式，并将碰撞项代入，
第七章 磁流体力学方程
7.1 分布函数的矩
由动力学方程在原则上可以求得粒子分布函数，并能借助他们来确定等离子体的宏观特
征量。由于动力学方程的复杂性，远不是总能得到它们的完整解。但是，可以从动力学方程
得到分布函数矩的近似方程，由此许多问题得以解决。下面将确定由这些矩决定的物理量。
三个一级矩是速度分量的平均值
得
3 2
nα
∂Tα ∂t
+ divqα
+
3 2
nαuα
⋅ gradTα
+ nαTαdivuα
∑ ∑ =
−
3 2
nα
β
καβναβ (Tα −Tβ ) + nα
β
ναβ
mα mβ2 (mα + mβ )2
(uα
−uβ )2
（7-42）
表达式（7-42）称为能量平衡方程。由于碰撞项的推导比较复杂，这里略去了推导过程。
k
k
-
∑ ∫ = − qn
mk
υ
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩[
υ×B] k
∂g ∂υ
k
+
g
∂ ∂υ
k
[
υ×B
]
k
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭⋅
fd 3υ
= − qn m
[υ×B]⋅gradυ g
考虑到（7-21）—（7-24）式，最后得到矩方程的一般表达式
∂(n g ∂t
) + div(n
gυ
) − qn E⋅ m
gradυ g
(7-8)
∫ plk = nm wk wl = nm wk wl f (υ)d 3υ
（7-9）
称为压强张量，因为其对角项（k=l）为 pkk = nm wk2 ，当麦克斯韦分布时，有
pkk = nT = p
（7-10）
由此可以定义粒子系的总动能
∑ n
K
=1 3 2 k=1
Pkk
=
1 2
nmu 2
+
3 2
7.4 磁流体力学方程
我们引入等离子体的质量密度
ρ = mini + mene = (mi + me )n ≈ min
和质心速度（流体速度）
u=
miui + meue mi + me
=
n ρ
(miui
+ meue ) ≈ ui
+
me mi
ue
（7-50） （7-51）
把电子和离子的连续性方程（7-43）式分别乘以 me 和 mi ，再把它们加在一起，得到等
du dt
, Kw
=
mw2 2
= 3T 2
（7-7）
（7-7）式表示粒子平均动能等于定向运动动能和无规运动动能之和，引进温度 T 作为无规
运动平均动能的量度。有九个分量的张量称动量通量密度张量
83
其中
Plk
= nm
υυ kl
∫ = nm
υυ kl
f
(υ)d 3υ
= nm(ukul + wk wl ) = nmukul + plk
独立分量，但有明显物理意义的是其中的三个分量，它们构成能流失量
∫ Qk = n
(υ )
1 2
mυ
2
υ k
f
d 3υ
=
1 2
nm
υ υ2 k
上式表示在 k 轴方向迁移的能量通量密度。矢量形式
（7-14）
Q = 1 nm υυ2 2
（7-15）
将速度表示成定向速度与无规速度之和的形式，考虑到 w = 0 ，能流矢量 k 分量为
二级矩可以由速度分量乘积的平均值组成。粒子平均动能是它们中的一个
∫ K = mυ2 = mυ 2 f (υ)d 3υ
2
υ2
（7-5）
利用（7-3）和（7-4）式，得
υ 2 =u2 + 2u ⋅ w + w2 = u2 + w2
（7-6）
将（7-6）代入（7-5）式，得
K = Ku + Kw
Ku
=
mu 2 2
∫ ∑ ∫ g [υ⋅grad(nf )]d 3υ = υ k
υ
g
υ k
∂(nf ∂xk
)
d 3υ
∑ ∫ = k
∂ ∂xk
⎡⎢⎣n
υ gυk fd 3υ⎤⎥⎦ = div(n
υg )
（7-22）
利用分部积分，可得到第三项，即正比于电场的项
∫ ∫ υ
g
q E⋅ m
gradυ
(nf
)d
3υ
=
nq m
E⋅
∂π kl
∂xl
−
qn m
{Ek
+[υ×B] k
}
=
δ(nuk δt
)
利用连续性方程（7-27）式，有
∑ ∂(nuk ) ∂t
=
n
∂uk ∂t
+ uk
∂n ∂t
=
n
∂uk ∂t
− uk
l
∂(nul ) ∂xl
+ uk
δn δt
将（7-34）式代入（7-33）式，则方程变为
∑ ∑ mn
∂uk ∂t
+ mn
离子体质量守恒方程
89
∂ρ ∂t
+
div(ρu)
=
0
（7-52）
流体元运动方程可以从双流体运动方程（7-36）式得到。考虑完全电离等离子体，各组
元运动方程
nme
⎡⎢⎢⎣
∂ue ∂t
+
(ue
⋅ grad)ue ⎤⎥⎥⎦
=
−enE − en[ue
×B]− gradpe
+
nR ei
（7-53）
nmi
⎢⎣⎡⎢
(nf δt
)
（7-20）
∫ 用 g (υ) 表示速度投影的某组合量，它的分布函数矩为 g = g f (υ)d 3υ 。将 g (υ) 乘方程
（7-20）式，并按速度积分，可得到分布函数矩方程。第一项
∫ ∫ υ
g
∂(nf ∂t
)
d
3υ
=
∂ ∂t
(n
υ
gfd
3υ)
=
∂ ∂t
(n
g)
（7-21）
这里考虑到时间、坐标和速度是独立变量，改变积分和微分的顺序。类似的可以得到第二项
g = mυ2 / 2 = K
gυ = υmυ2 / 2 = Q / n
gradg = mυ = mu
（7-39）
[υ×B]⋅ gradυ g = [υ×B]⋅ mυ = 0
将（7-39）代入（7-25）式，得
∂(n K ∂t
)
=
−divQ
+
nqu ⋅
E
+
δ(n K δt
)
（7-40）
这里 Q 是能量通量矢量。上式表面每类粒子能量的变化由于三个原因发生：
这里
q = 1 nm w2w 2
（7-19）
表征粒子无规运动的能量输运，称为热通量密度矢量，而 ku = mu2/2, kw = m w2 /2 。
7.2 矩方程推导
可以从动力学方程得到分布函数矩方程。动力学方程
∂
(nf ∂t
)
+
υ
⋅
grad(nf
)
+
q m
{E
+
[υ×B
]}
⋅
grad
υ
(nf
)
=
δ
∫ uk =
υ k
=
υ
υ k
f
(υ)d
3υ
也可以写成矢量形式
（7-1）
∫ u = υ f (υ)d 3υ (υ)
每个粒子的总速度可以表示成和的形式
υ= u+w
(7-2) (7-3)
显然有
∫ w = w f (υ)d 3υ = 0 υ
(7-4)
因此矢量 w 被称为无规速度，平均速度 u 被称为定向速度。
可写成
Qk
= 1 nm 2
(uk + wk )(u + w)2
∑ =
1 2
nm(uk u 2
+
uk
w2
+2
l
ul wl wk + wk w2 )
（7-16）
84
∑ Qk = qk + nKuuk + nKwuk +
pkl ul
l
或者用矢量形式
G Q = q + nKuu + nKwu + p⋅u
（7-17） （7-18）
p
其中第一项是流体元平均的运动能，第二项是热运动动能。
通常把压强张量分成两项
pkl
=
pδkl
+π kl
其中非对角分量构成粘性应力张量
∫ π kl
=
nm
wk wl fd 3υ
k ≠l
（7-11）
（7-12） （7-13）
三级矩由三个速度分量乘积的平均值 vkvlvm 所组成。是有 27 个分量的张量，有十个
[uα
×B]− gradpα
（7-44）
pα = nαTα
（7-45）
∇
⋅E
=
e ε0
(ni
−
ne )
∇ × E = − ∂B ∂t
∇⋅B = 0
∇
×
B
=
∂E ∂t
+
µ0e(niui
−
neue
)
有时也用能量平衡方程（7-42）式代替气体状态方程（7-45）式。
（7-46）
（7-47） （7-48） （7-49）
（7-28）
求一级矩方程，设 g = vk , 则平均值为
g
=
vk
= uk ，引入通量密度张量，量
g
υ l
为
g
υ l
=
υυ kl
=
Pkl nm
=
uk ul
+
p mn
δ kl
+
π kl
nm
方程（7-25）式第二项成为
（7-29）
86
∑ div(n gυ ) =
l
∂ ∂xl (n
g
υ l
)
∑ ∑ =
l
∂n ∂t
+
div(nu)
=
δn δt
（7-27）
第一项是密度随时间的改变率，第二项表示粒子运动引起的粒子密度变化，第三项表示因非
弹性碰撞而导致的粒子数增加（电离）或减少（复合）率，当不考虑电离和复合时δ n/δ t=0 ，
表示流体元中的粒子数守恒。可以把（7-27）式中的碰撞项表示为
δ n =( ν i − ν r )n δt 这里 ν i 和 ν r 分别是平均电离和复合频率。
l
ul
∂uk ∂xl
=
−
∂p ∂xk
−
l
∂π kl
∂xl
+ nqEk
+
nq[u×B] k
+
mn
δuk δt
式中 nδuk /δt = δ(nuk )/δt −ukδn/δt 。上方程的矢量方程为
mn
⎢⎣⎡⎢ ∂∂ut
+
(u
⋅
grad)u⎥⎦⎤⎥
=
nqE
+
nq
[u×B]−
gradp
−
grad
JG π
+
− qn m
[υ×B]⋅gradυ g
=
δ(n g δt
)
方程右边是由积分碰撞项而得到的
（7-24） （7-25）
∫
δ(nf δt
)
gd
3υ
=
δ(n g δt
)
（7-26）
在一般情况下，可以将它表示为所讨论类别粒子与所有其它类别粒子的碰撞和所有碰撞类型
求和的形式。
7.3 矩方程与双流体方程
先求零级矩方程，令 g=1 ， 便得到连续性方程
nm
δu δt
（7-30） （7-31） （7-32） （7-33） （7-34） （7-35）
（7-36）
它是单位体积给定类型粒子气体的运动方程。考虑到
∑ ∑ (u⋅grad)u =
l
ul
∂u ∂xl
=
l
∂u ∂xl ∂xl ∂t
方程（7-36）式左边方括号内是定向速度时间全导数 du / dt=∂u/∂t+(u ⋅ grad)u 。运动方程