《圆的极坐标方程》

把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ2cos 2θ＝1； (2)ρ＝2cos(θ－π4 )．
解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1. 所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1.
(2)因为 ρ＝2cos θcosπ4＋2sin θsinπ4＝ 2cos θ＋ 2sin θ， 所以 ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ. 所以化为直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
M
O
C
A
（a,0）
ρ=2acosθ
M
ρ θ百度文库
Or
x
ρ=r
M
· ρ a
θ
O
x
ρ=2asinθ
三.求曲线极坐标方程步骤：
1.建极坐标系，设动点M (,)； 2.找曲线上任一点满足的几何条件； 3.把上面的几何条件转化为与关系 4.化简，说明 5.极坐标方程与直角坐标方程可以相互转化
某些时候，用极坐标方程解决比较方便，这是一个重要的解题 技巧.在极坐标系中，当研究的问题用极坐标方程难以决时， 可转化为直角坐标方程求解.
4
4
2 2 cos 2 sin 即
2
2
x2 y2 2 x 2 y 0
2
2
(x 2 )2 (y 2 )2 1
4
44
4 、 圆 ＝ 1 0 c o s ( ) 的 圆 心 坐 标 是 (C ) 3
A、(5,0)
B、(5, )
3
C、(5, )
3
D、(5, 2 )
3
5 、 写 出 圆 心 在 点 A (2 ,)处 且 过 极 点 的 圆 的 极 坐 标 方 程 ，
例 3 . 已 知 一 个 圆 的 方 程 是 ρ ＝ 53 c o s θ -5 s i n θ 求 圆 心 坐 标 和 半 径 。
解：＝5 3cos 5sin两边同乘以得
2＝5 3 cos－5sin即化为直角坐标为
x2 y2 5 3x 5y 即(x 5 3)2 (y 5)2 25
2
2
6
圆心(a为 ,)(a0)半径a为
圆的极坐标 ＝ 方 2ac程 os为 ( )
此圆过O极点
1、曲线的极坐标方程＝4sin化为直角坐标
方程是什么？
x2(y2)24
2、极坐标方 ＝ 程 co和 s分 ＝ 别 sin的 是两个
圆的圆心距是多少？
解：圆＝cos圆心的坐标是(1,0)
2
圆 sin cos( )cos()
2 并 把 它 化 成 直 角 坐 标 方 程 。
解：＝4cos( ) 4sin,
2
化为直角坐标系为2＝4sin,
即x2 y2 4y x2 (y2)2 4.
6 、 已 知 圆 C 1: 2 c o s,圆 C 2: 2 23s in 2 0 ,
试 判 断 两 圆 的 位 置 关 系 。
所以圆心为(5 3 , 5),半径是5 22
例 3 . 已 知 一 个 圆 的 方 程 是 ρ ＝ 53 c o s θ -5 s i n θ 求 圆 心 坐 标 和 半 径 。
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为
＝10(cos 3 sin 1) 10cos( ),
2
2
6
所以圆心为(5, ),半径为5,
1.3.1 圆的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系
（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个） 符合方程f(,)=0;
（２）方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。 则称曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
二、求曲线的极坐标方程到底是求什么？
与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找 出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列出方程 f(,)=0 ，再化简并说明。
解：如图，圆C的圆心(4, 0), 半径r OC 4, 连结CM， Q M是弦ON的中点, CM ON,
所以，动点M的轨迹方程是＝4 cos .
N
M
O C(4
,0)
1.曲线的极坐标方程概念 2.怎样求曲线的极坐标方程 3.圆的极坐标方程
4.圆的极坐标方程有多种形式，极坐标方程
2 a 2 2 a c o s( ) r2可认为是圆的一般式方程.
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2
2
圆＝sin的圆心坐标是(1,),所以圆心距是 2
22
2
3 、 极 坐 标 方 程 c o s ( ) 所 表 示 的 曲 线 是 ( D ) 4
A、双曲线
B、椭圆
C、抛物线
D、圆
法一：
解：该方程可以＝ 化c为 os()
4
以(1,)为圆心1， 为半径的圆。
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2
法二：
解： ＝ cos cos sin sin
解：将两圆都化坐 为标 直方 角程为 C1:(x1)2 y2 1,圆心O1(1,0)半径1为 C2 :x2 (y 3)2 1，圆心 O2(0, 3)半径1为 O1O2 2所以两圆相外切。
7 、 从 极 点 O 作 圆 C ： ＝ 8 c o s的 弦 O N ， 求 O N 的
中 点 的 轨 迹 方 程 。