傅里叶级数在数项级数求和上的应用
关于级数求和方法的探讨
关于级数求和方法的探讨摘要：无穷级数包括常数项级数和函数项级数，常数项级数在其收敛时可以求和，函数项级数在其收敛域内可以求和。
本文对常数项级数讨论了利用级数定义求和的常用方法：等差数列求和公式法、等比数列求和公式法、裂项相消法、错位相消法；对函数项级数则选取特殊的幂级数讨论了其求和方法：幂级数性质法、转化成微分方程法；最后利用幂级数的有关知识，求一些特殊类型级数的和。
其中定义法与幂级数性质法是基础，其他方法的应用需要掌握技巧。
关键词：无穷级数幂级数收敛Calculating Sums of SeriesAbstract: Infinite series including constants of series and function of series, constant of series in its convergence can be summed when series of function to the summation in its convergence region. This article discusses the constant of series including the following methods: arithmetic series summation formula method cancellation of splitting method, dislocation destructive method. Then series of function selects the specific power series to discuss its summation: such as power series properties method, into the calculus equation method. Finally, via the use of the knowledge of power series to seek the summation of some special types. Among these methods, the definition method and the power series properties method is the basis and the application of other methods needs master skills.Keywords: infinite series power series convergence1.引言无穷级数的概念是在极限概念形成的基础上形成的，无穷级数的理论是伴随着微积分理论的发展而发展起来的。
傅里叶级数展开公式用法
傅里叶级数展开公式用法标题：傅里叶级数展开公式的用法与意义导语：傅里叶级数展开公式是数学中的一项重要工具，它可以将周期函数分解成一组正弦和余弦函数的无限级数。
本文将深入探讨傅里叶级数展开公式的用法和意义，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一数学工具。
一、傅里叶级数展开公式的基本形式及含义傅里叶级数展开公式可以用以下形式表示：f(x) = a₀ + Σ(aₙcos(nx) + bₙsin(nx))其中f(x)表示一个周期为2π的函数，Σ表示对所有整数n的求和。
展开公式右侧的项包含了一组正弦和余弦函数，其中a₀、aₙ和bₙ是傅里叶系数，它们的取值与待展开的函数f(x)的性质有关。
二、傅里叶级数展开公式的应用领域1. 信号处理：傅里叶级数展开公式是信号处理领域中的基础概念。
通过对信号进行傅里叶分析，可以将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数，从而帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
2. 图像处理：在图像处理中，傅里叶级数展开公式被广泛应用于图像压缩和频域滤波。
通过将图像转换到频域，我们可以使用傅里叶级数展开公式对图像进行压缩和去噪处理，从而提高图像的质量和处理效果。
3. 物理学：傅里叶级数展开公式在物理学中有着广泛的应用。
例如，在热传导方程中，可以使用傅里叶级数展开公式求解温度在空间和时间上的分布。
此外，傅里叶级数展开公式在量子力学、振动学等领域也有重要的应用。
三、傅里叶级数展开公式的意义傅里叶级数展开公式的使用具有以下几个重要意义：1. 分解函数：傅里叶级数展开公式可以将一个复杂的周期函数分解成若干个简单的正弦和余弦函数，从而更好地理解函数的性质和行为。
2. 近似函数：通过截取傅里叶级数展开公式的有限项，可以近似表示一个周期函数，从而简化对函数的分析和计算。
3. 频谱分析：傅里叶级数展开公式提供了一种分析函数频谱的方法，通过求解傅里叶系数，可以得到函数在不同频率上的能量分布情况，从而揭示函数的频域特性。
级数求和的常用方法
四川师范大学本科毕业论文级数求和的常用方法学生姓名刘学江院系名称数学与软件科学学院专业名称数学与应用数学班级2008级01班学号2008060122指导教师李红梅完成时间2012年4月30日级数求和的常用方法学生姓名：刘学江指导老师：李红梅内容摘要：级数在数值计算中有广泛的运用，级数首先要考虑其收敛性，在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及级数求和的内容，即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求级数求和的常用方法加以总结提炼，揭开级数和的神秘面纱.本文整体布局可分为部分：一、数项级数求和的常用方法二、函数项级数求和的常用方法.由于级数的敛散性是分析级数求和的先导，但是本文重在于讨论级数求和，所以级数敛散性内容讨论从简，且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上，选取一些典型题目加以分析，使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运用”景象，在实例中说明方法，用实例体会方法.关键词：级数求和数项级数求和函数项级数求和Common Methods of Summing of SeriesAbstract: Series widely used in the numerical calculation, the series must first consider its convergence, covergent series for the sum mability method.In many textbooks or other mathematical books for the summation of our national content, even if the domestic authority of mathematical analysis textbooks just made a series approximation .Under the guidance of the teachers Honmei Li, and strike to seek the summation of the commonly used method to sum up refining, opened the mystery of series The overall of this article can be divided into two parts: several summation of commonly used methods,common methods summation for funtional sreies, series summation’s theory，The convergence and divergence of the series is the summation anlysis of the pilot,but important point is to discuss the summation, so the convergence of the series discussion is simple in this text. Based on excellent books from home and abroad ,every method for series summation show the fact that “method of skill in actual use” scene as far as possible.Keywords:sum of series sum of numerial series sum of function series目录1数项级数求和 (1)1.1等差级数求和 (1)1.2首尾相加法 (1)1.3等比级数求和 (1)1.4错位相减法 (2)1.5蕴含型级数相消法 (2)1.6有理化法求级数和 (2)1.7方程式法 (3)1.8原级数转化为子序列求和 (3)1.9数项级数化为函数项级数求和 (3)1.10化数项级数为积分函数求原级数和 (4)1.11三角型数项级数转化为复数系级数 (4)1.12构造函数计算级数和 (5)1.13级数讨论其子序列 (5)1.14裂项法求级数和 (6)1.15裂项+分拆组合法 (7)1.16夹逼法求解级数和 (7)2函数项级数求和 (8)2.1方程式法 (8)2.2积分型级数求和 (8)2.3逐项求导求级数和 (9)2.4逐项积分求级数和 (9)2.5将原级数分解转化为已知级数 (10)2.6利用傅里叶级数求级数和 (10)2.7三角级数对应复数求级数和 (11)2.8利用三角公式化简级数 (12)2.9针对2.7的延伸 (12)2.10添加项处理系数 (12)2.11应用留数定理计算级数和 (13)2.12利用Beta函数求级数和 (14)参考文献 (15)级数求和的常用方法级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n →∞的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.1数项级数求和1.1等差级数求和等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.11((1)22n n a a n n s na d +-=+=），其中1a 为首项，d 为公差 证明：12=++...+n s a a a ①，21s=+...++n a a a ②①+②得：()12-112(+++...+(+)n n n s a a a a a a =+）因为等差级数11...+n n a a a a +== 所以1(2n n a a s +=）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 1.2首尾相加法此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和. 例1:求01235...(21)n n n n n c c c n c +++++.解：01235...(21)n n n n n s c c c n c =+++++，210(21)...53n n n n n s n c c c c =++++，两式相加得：21012(22)(...)(1)2n n n n n n s n c c c c n +=++++=+⋅，即： 01235...(21)(1)2n n n n n n c c c n c n +++++=+.1.3等比级数求和等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1)1n a q s q-=-，其中1a 为首项，q 为公比. 证明：当q =1，易得1s na =，当q ≠1，11111=++...+n s a a q a q - ①， 2111=++...+n qs a q a q a q ②，①-②得11(1)n q s a a q -=-.可以导出一种方法“错位相减”见下1.41.4错位相减法此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比q ，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.例2：计算212n n -∑. 解： 2313521...2222n n s -=++++ ①，21352121 (222)n n s --=++++ ②， ②-①得：121121************nn n k k k n k k k k k n s s s -===---=-=+-=+-=∑∑∑111121121213122212n n n n n n -----+-=---，lim n s →∞=3. 1.5蕴含型级数相消法此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和. 例3：计算1ni =∑.解：将各项展开可得：(1...s =-+++++11==lim n s →∞= 1.6有理化法求级数和 对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.例4：计算n ∞=. 解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项n a =对其分母有理化得：−−−−=−分母有理化，则原级数可以采用本文中的1.5“蕴含型级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1.1.7方程式法此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.例5：计算2cos cos 2...cos n q q n q θθθ+++，其中1q <.解：记2cos cos 2...cos =n q q n s q θθθ+++= =1cos nk k k q θ∑ 两边同时乘以cos 2q θ得[]+1+1=1=1cos cos cos =2=2cos +1+cos -1)n nk k k k k k k q s qq θθθθθ•••∑∑（）（ 即：+1222cos cos+1cos )(cos )2=n n n n q s q s q q q s q θθθθ+•++-+-（）（ 解此方程得：2122cos cos(1)cos =12cos n n q n q n q q s q q θθθθ++-++-+- 22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-.1.8原级数转化为子序列求和若下列条件成立[1]:（1）当n →∞时级数的通项0n a →（2）级数各项没有破坏次序的情况而得新序列n 1n b ∞=∑收敛于原级数 .例6：计算11111111111++-1+++-+++-+ (2345627893)（）（）（）. 解：lim 0n n a →∞=，应用欧拉公式1111++...ln 23n c n e n++=++，其中c 为欧拉常数，0()n e n →→∞111111+++...+-1--...-2332s n n= 3ln 3ln n n n n e e =-+-，lim ln3n s →∞=.1.9数项级数化为函数项级数求和数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.例7：求级数和11135...n n ∞=••••∑（2-1）. 解：建立函数项级数2111()135...n n s x x n ∞-==••••∑（2-1）由函数敛散性知识可知其收敛域为(,)-∞+∞，将函数项级数逐项求导可得：'2211()1135...n n s x x n ∞-==+••••∑（2-3）= 211111()135...n n x x xs x n ∞-=+=+••••∑（2-1），由此可知()s x 满足微分方程'()()1s x xs x -=，且易知(0)0s =，解此常微分方程得：2211220()xx t dt s x e e -=⎰，令1x =则可以求出原级数和：2111220s t e e dt =⎰.1.10化数项级数为积分函数求原级数和将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将n 与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式子的桥梁.例8：计算11k n k ∞=+∑，其中()n →∞. 解：记1011111lim =ln21+1n n n k k dx s k n k nx n∞→∞==−−−−−−−−→==←−−−−−−−−++∑∑⎰分子分母同时除以构造分割建立级数与积分的桥梁. 1.11三角型数项级数转化为复数系级数将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级数进而求原级数和.例9[7]：设2cos cos 2...cos = n s q q n q θθθ+++，求s .解：由于1cos =nk k s q k θ=∑，令(cos sin )i z qe q i θθθ==+为复数，其中0,1,2...k =(cos sin )k k ik k z q e q k i k θθθ==+，其中1,2...k =，得：122011+...1(cos sin )(cos 2sin 2)+1n n k n k z z z z z q i q i z θθθθ+=-==+++=++++-∑ 323cos 2cos 3(cos3sin 3)+...+(cos sin )1cos n q q q i q n i n q θθθθθθθ++++=++ 2...+cos (sin )sin 2...sin n n q n i q q q n θθθθ++++而另一方面1111(cos(+1)sin(+1))11(cos sin )n n z q n i n z q i θθθθ++--+=--+=211-2cos q q θ+ ｛1221cos cos(1)cos(1)cos sin(1)sin n n n q q n q n q n θθθθθθ+++⎡⎤--+++++⎣⎦+212sin cos(1)sin sin(1)sin(1)cos n n n i q q n q n q n θθθθθθ+++⎡⎤-+-+++⎣⎦｝取实部对应原级数和即得：12211(1cos cos(1)cos )1-2cos n n q q s q q n q n θθθθ+++=--+++即： 11221(1cos cos(1)cos 12cos )1-2cos n n s q q n q n q q q qθθθθθ++=--++-+-+ 当n →∞，且1q <时22lim cos 12cos n q q s q q θθ→∞-=+-. 1.12构造函数计算级数和将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.例10[7]：请计算下面的级数式子：记2323=1-+......)1111nn t t t t s t t t t t ++++++++（）(，其中1t →-. 解：构造函数式子：1()11x x xe f x e e --==++,此函数在[0,)+∞单调递减. 由于000(1)ln(1)|ln 211x x x xx e d e dx dx e e e --+∞+∞-+∞---+==-+=++⎰⎰， 令ln h t =-，满足11lim limln t t h t →→==0 ln 1111ht h e t e e h h----=-=-=，ln ln ()()1()11k t k hk k t k hk t e e f kh t e e ----===+++. 代入题目中的级数式子得：23231lim 1-+......)111nn t t t t t t t t t t -→+++++++（）(+1= 011lim ()h h k e h f kh h -∞→=-∑=0011lim ()ln 21h x x h k e e h f kh dx h e --∞+∞-→=-==+∑⎰. 1.13级数讨论其子序列引理[1]：数列}{n s 收敛的充分必要条件是}{n s 的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：数列}{n s 收敛于s 的充分必要条件是两个互补的子列}{2n s ,}{12-n s ,收敛于同一极限.推广可得：定理[1]：若级数∑∞=1n n a 通项满足当n →∞时， 0→n a （收敛判别的必要条件），∑∞=1n n a 收敛于s 的充分必要条件是：部分和}{n s 的一个子序列}{np s 收敛于s ，其中p 满足：p 是某个正整数p =1，2，… 将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序列之和求解原级数和，关键在于如何分解原级数为不同子序列，然而子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和1.6的“原级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.例11[6]：计算：12cos32nn n π∞=∑. 解：记12cos 32n n n s π∞==∑，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级数分解为：1{|3,0,1,2...}A n n k k ===，2{|31,0,1,2...}A n n k k ==+=，3{|32,0,1,2...}A n n k k ==+=. 则：12302222cos cos cos cos 3333=++2222n n n n n n A n A n A n n n n ππππ∞∞∞∞=∈∈∈∑∑∑∑ 331320002cos cos +133+222k k k k k k πππ∞∞∞++====+∑∑∑（） 1211+cos +cos +()2343k k πππ∞=∑3=01（（））2 1115(1)148718=--=-，所以：12cos 23127n n n s π∞==-=-∑. 1.14裂项法求级数和针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，从而原级数和可以求出. 裂项一般形式：1111()()(+)x m x n n m x m x n =-+-++，此处m n >. 例12：计算111...123234(1)(2)s n n n =+++++.解:记1(1)(2)n a n n n =++，111[]2(1)(1)(2)n a n n n n =-+++ 针对11(1)nk k k =⋅+∑同理采用裂项法记111(1)1n b n n n n ==-++则11(1)nk k k =+∑=11111111111(1)()()()()+...+()2233445561n n −−−−−−−−−−→-+-+-+-+--←−−−−−−−−−−+裂项后后面项可以消去前面项部分这就是裂项法的好处！ 11-1n +，111lim lim[1-]1(1)1nn n k k k n →∞→∞===++∑，所以 111111lim lim [](1)(2)2(1)(1)(2)nnn n k k k k k k k k k →∞→∞===++++++∑∑= 11111111lim lim()2(1)2(1)2n n n n k k k k k k +→∞→∞==--++∑∑=1111(1)2224--=. 1.15裂项+分拆组合法将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.例13：计算1(+1)(+2)n nn n n ∞=∑（+3）.解：11235+1+2+3(+1)(+2)n n n n n n n ++-=（+3）111111251()(+1)(+2)3+1+2+33(+1)(+2)n n n n n n n n n n n n n ∞∞∞===∴=+--∑∑∑（+3）（+3）=1125111()()3233464+--=. 1.16夹逼法求解级数和在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级数和.例14[8]：设m 为一给定的正整数，求221,1n m n m n∞=≠-∑. 解：12222221,11111m Nm m Nm Nn m n n n ms m n m n m n +-++=≠==+==+---∑∑∑ 1111111111[ (21122121)m Nn m m m m m m m m n m n +=+=++++++++-+-+--+∑]1111111(1...1...)22222m m N N m m =+++------+ 21112...2122+1m m N m N N N m N +++++++<<且∞→N 时，2lim 0+1N mN →∞=，且2lim 0+2N m N m →∞=，所以23lim 04m N N s m +→∞=-，即2221,134n m nm n m ∞=≠=--∑ 2 函数项级数求和函数项级数和依据未知数x 的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和.2.1方程式法类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和.例15：计算函数项级数23456()1 (21324135246)x x x x x s x x =+++++++ 解：由函数项级数收敛性知识可知题中函数项级数收敛半径为+∞，逐项求导得3'2()1 (2)x s x x x =++++即：'()1()s x xs x =+(0)1s =解此微分方程得：2222()(1)x t x s xe e dt -=+⎰.2.2积分型级数求和积分型级数求和显然直接求和会带来困难，通常积分也积不出来，所以要转化，将积分式子化简是个想法，通过变量替换等积分技术化简积分式子，再求级数和，所以关键在于处理积分式子，下面我们看个例题.例16：计算级数(21)220x k k k eππ∞+-=∑⎰.解：因为(2,(21x k k ππ∈+）），作变量替换tk x +=π2得： (21)(222200=xt tk k k k edx e e e ππππππ+--+--=⎰⎰⎰）再根据：'22t tee dt--=⎰⎰C +得：(42224tt tk ee eπππππ-+--=-+⎰⎰⎰）=4042|2eeπππ--=84042|24eeec ππππ---=.所以原级数=8211t k k eee ππππ∞----==-∑⎰. 2.3逐项求导求级数和根据幂级数逐项求导收敛半径不变原理，对原级数逐项求导后化为一些易求和的幂级数，再往回求积分，从而求原级数和.易知的级数往往是通过泰勒展式或者麦克劳林展式获得的。
傅里叶级数原理的应用
傅里叶级数原理的应用1. 什么是傅里叶级数原理？傅里叶级数原理是一种数学方法，它可以将任意周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和。
具体来说，傅里叶级数将一个周期为T的函数表示为一组正弦和余弦函数的加权和，这些函数的频率是原函数频率的整数倍。
2. 傅里叶级数的数学表示傅里叶级数的数学表示如下：$$ f(t) = a_0 + \\sum_{n=1}^{\\infty} (a_n \\cdot \\cos(n \\omega t) + b_n\\cdot \\sin(n \\omega t)) $$其中，f(t)是要分解的周期函数，a0是直流分量，a n和b n是傅里叶系数，$\\omega=\\frac{2\\pi}{T}$是角频率，n为正整数。
3. 傅里叶级数的应用领域傅里叶级数在许多领域有着广泛的应用。
下面是一些常见的应用领域：3.1 信号处理傅里叶级数在信号处理中起着重要的作用。
通过将信号分解为不同频率的正弦和余弦分量，我们可以分析信号的频谱特性，从而实现滤波、频谱分析等操作。
3.2 图像处理在图像处理中，傅里叶级数被用于图像的频域分析和滤波。
通过将图像转换到频域，我们可以对图像进行频谱分析，并对图像进行滤波操作，如去噪、增强等。
3.3 通信系统傅里叶级数在通信系统中也有着广泛的应用。
通过将信号转换为频域表示，可以实现信号的调制、解调、编码、解码等操作，从而实现高效的数据传输。
3.4 电力系统傅里叶级数在电力系统中的应用主要是用于电力信号的分析和计算。
通过分析电力信号的频谱特性，可以判断电力系统中的异常情况，如电压波动、谐波等问题。
4. 总结傅里叶级数原理是一种重要的数学工具，它可以将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的加权和。
傅里叶级数在信号处理、图像处理、通信系统、电力系统等领域都有着广泛的应用。
通过傅里叶级数的分解和合成操作，我们可以分析和处理各种周期信号，从而实现许多实际应用。
了解傅里叶级数原理及其应用，对于从事相关领域的研究和工程师来说是非常重要的。
数学分析15.1傅里叶级数
第十5章 傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |， 由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则 称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ； 又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。
数项级数和的几种求法
3 结论
不同个人背景的山东省高校体育教师工作 满意度不同院不同职称尧工作性质尧学校类别的山 东省高校体育教师工作满意度之间差异具有显
调查显示袁部属院校体育教师的构面工作满意度要普遍高于普通
著性遥
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随着各种类型题材的网络小说的发展袁为影视剧改编提供了广阔 的剧本市场遥 视频网站在面对如此众多小说改编成的影视剧袁应该注 重原作品的质量和较高的受众基础遥 保证了收看人数和会员的性价 比袁基于此才能更好的发展网络收费制度袁增加会员数量遥 猿援圆 选择具有吸引力的明星
傅里叶级数用处
傅里叶级数用处傅里叶级数是数学领域中的一种重要概念，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学等领域。
本文将从不同的角度介绍傅里叶级数的应用。
1. 信号处理领域傅里叶级数在信号处理中有着广泛的应用。
信号是一种代表信息的波动，可以是声音、图像、视频等。
傅里叶级数可以将信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加，从而帮助我们理解信号的频率特征和时域特征。
例如，我们可以通过傅里叶级数分析音频信号的频谱，从而得到音频的频率成分，进而实现音频的压缩、滤波等处理。
2. 图像处理领域图像是由像素点组成的二维数据，傅里叶级数可以用来对图像进行频域分析和处理。
通过傅里叶级数，我们可以将图像分解为不同频率的正弦和余弦分量，从而实现图像的压缩、滤波、图像增强等操作。
傅里叶级数在图像压缩中的应用尤为重要，例如JPEG压缩算法中就使用了傅里叶变换和傅里叶级数的思想。
3. 物理学领域傅里叶级数在物理学中有着广泛的应用。
物理学研究的对象包括电磁波、声波、热传导等，而这些波动现象都可以用傅里叶级数进行分析和描述。
例如，通过傅里叶级数可以将复杂的电磁波分解为不同频率的正弦和余弦分量，从而帮助我们理解电磁波的频谱特性、传播规律等。
傅里叶级数也在热传导方程中有着重要的应用，通过傅里叶级数可以求解热传导方程的解析解，从而帮助我们理解热传导的规律。
4. 工程应用傅里叶级数在工程领域中也有着重要的应用。
例如，通过傅里叶级数可以分析电路中的交流信号，帮助我们理解电路的频率响应和频率特性。
傅里叶级数还可以应用于通信系统中的调制与解调技术，通过将信号转换为频域表示，实现信号的传输和恢复。
此外，傅里叶级数还可以应用于声学工程、振动工程等领域，帮助我们分析和设计各种工程系统。
傅里叶级数作为一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、物理学和工程等领域。
通过傅里叶级数，我们可以对信号和波动进行频域分析，从而更好地理解和处理各种复杂的现象。
在实际应用中，我们可以利用傅里叶级数的性质和方法，实现信号的压缩、滤波、频谱分析等操作，从而提高系统的性能和效率。
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数用处
傅里叶级数用处傅里叶级数是一种将周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。
它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将从几个方面介绍傅里叶级数的用处。
一、信号处理傅里叶级数在信号处理中有着广泛的应用。
在数字信号处理中，我们经常需要将信号分解成一系列频率不同的正弦和余弦函数，以便进行滤波、降噪、压缩等操作。
傅里叶级数提供了一种有效的方法来实现这一目的。
通过傅里叶级数，我们可以将信号分解成一系列频率不同的正弦和余弦函数，然后对这些函数进行滤波、降噪、压缩等操作，最终得到我们需要的信号。
二、图像处理傅里叶级数在图像处理中也有着广泛的应用。
在数字图像处理中，我们经常需要将图像分解成一系列频率不同的正弦和余弦函数，以便进行滤波、增强、压缩等操作。
傅里叶级数提供了一种有效的方法来实现这一目的。
通过傅里叶级数，我们可以将图像分解成一系列频率不同的正弦和余弦函数，然后对这些函数进行滤波、增强、压缩等操作，最终得到我们需要的图像。
三、物理学傅里叶级数在物理学中也有着广泛的应用。
在物理学中，我们经常需要将周期性的物理量分解成一系列频率不同的正弦和余弦函数，以便进行分析和计算。
傅里叶级数提供了一种有效的方法来实现这一目的。
通过傅里叶级数，我们可以将周期性的物理量分解成一系列频率不同的正弦和余弦函数，然后对这些函数进行分析和计算，最终得到我们需要的结果。
四、工程学傅里叶级数在工程学中也有着广泛的应用。
在工程学中，我们经常需要将周期性的信号或物理量分解成一系列频率不同的正弦和余弦函数，以便进行分析和设计。
傅里叶级数提供了一种有效的方法来实现这一目的。
通过傅里叶级数，我们可以将周期性的信号或物理量分解成一系列频率不同的正弦和余弦函数，然后对这些函数进行分析和设计，最终得到我们需要的结果。
傅里叶级数在信号处理、图像处理、物理学和工程学等领域都有着广泛的应用。
它提供了一种有效的方法来分解周期性的信号或物理量，以便进行分析、计算、设计等操作。
傅里叶级数及其应用
毕业论文题目：傅里叶级数及其应用作者：姜广辉指导教师：**职称：讲师院系：理学院数学系专业：数学与应用数学班级：10级1班日期： 2014年5月傅里叶级数及其应用摘要：傅里叶级数是数学分析中的一个重要概念，具有较好的几何和代数性质，伴随着科技的进步与发展，涉及了许多数学命题的讨论和应用，傅里叶级数的相关知识已经成为从事科学研究和工程设计等科技人员必备的数学基础.通过对傅里叶、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里叶级数方面的贡献，介绍了傅里叶级数起源和发展历程.同时文章以在图案设计和铁路客运量预测上的应用说明了傅里叶级数的价值.在图案设计设计方面，运用MATLAB软件，编写傅里叶级数的程序语言，通过自定义函数、编写画图函数程序、对图形多余部分处理、图形线条加粗等步骤，进而得到傅里叶级数的图形.通过对最基本的傅里叶级数的图形的组合、排列可以构成丰富的图案.在铁路客运量预测方面，基于傅里叶级数预测模型，以我国2004—2009年铁路客运量为数据基础，通过将时间序列划分为趋势性和季节性部分，分别采用最小二乘法和傅里叶级数预测法对两者进行拟合，应用MATLAB软件，求出预测模型，并进行预测.通过对预测结果的误差分析，表明：采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.因此傅里叶级数在一定程度上受到了很多数学家的欢迎.关键词：傅里叶级数；收敛性；MATLAB软件；图案设计；预测模型Fourier series and its applicationsAbstract：Fourier series is a mathematical analysis of an important concept，and has good geometry and algebraic properties，along with the progress and development of technology，involving a lot of discussion and application of mathematical propositions，Fourier series of relevant knowledge has become a mathematical foundation for scientific research and engineering design and other technical personnel necessary. Through Fourier，Lagrange，Dirichlet, Riemann，who contribute in terms of Fourier series，Fourier series introduces the origin and development process，while the article in the graphic design and rail application passenger traffic forecast illustrates the value of the Fourier series. In the design of graphic design，the use of MATLAB software program written in the language of Fourier series，via a custom function，the preparation process of drawing functions，the excess part of the graphics processing，graphics，bold lines and other steps，then get the Fourier series pattern by the combination of the basic pattern of the Fourier series，the arrangement may constitute a rich patterns. Railway passenger traffic forecast，prediction model based on Fourier series to the railway passenger traffic volume of 2004-2009 data base，by the time series into trend and seasonal part，respectively，using the least squares method and fourier Fourier series prediction method for both fitting using MATLAB software，find the prediction model and predict the outcome of the prediction error by analysis showed that：Fourier series prediction method to predict the effect of China's railway passenger volume better. So to some extent，the Fourier series has been welcomed by many mathematicians.Keywords：Fourier series；convergence；MATLAB software；graphic design；prediction model目录引言 (1)1 傅里叶级数的起源 (2)2 傅里叶级数的严密化 (5)2.1 狄利克雷条件 (5)2.2 黎曼引理 (5)2.3 吉布斯现象与一致收敛 (6)2.4 连续傅里叶级数的收敛性 (6)3 傅里叶级数的应用 (8)3.1 傅里叶级数在图案设计上的应用 (8)3.2 傅立叶级数在铁路客运量预测上的应用 (14)3.2.1 傅里叶级数预测模型 (14)3.2.2 实证分析 (16)小结 (19)致谢 (20)参考文献 (21)引言在五千年的数学历史长河中，傅里叶级数的诞生和发展，构成了数学史上非常重要的部分.在无法进行理论证明时，采用直观推断的研究方法在早期的科学研究中已被广泛应用.由此带来了许多重要发现，傅里叶级数就是其中之一.傅里叶在研究热传导方程时继承了前人研究天文理论和弦震动方程的方法，直观地断定每一个周期函数都可以表示为三角级数，但他并没有给出一个函数可以展开为三角级数的条件，也没有给出严格的证明.尽管如此，傅里叶将、欧拉、黎曼等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展为内容丰富的一般理论，从而开创了数学物理学的一个时代.在当代，傅里叶级数在物理学、计算机、移动通信等学科具有非常广泛的应用，同时也是处理工程学中诸多问题不可或缺的理论工具.在图案设计中，通过傅里叶级数的变换，可以设计出许多精美的图案.在铁路客运量预测中，通过傅里叶级数预测法，可以为铁路部门安排车次提供可靠的理论依据.所以，探究傅里叶级数的起源发展及其应用，对于培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用.1 傅里叶级数的起源1753年，伯努利，提出了采用三角级数解弦振动方程的方法.1759年，拉格朗日，在给达朗贝尔的信中称32x 可以表示为三角级数.1777年，欧拉在研究天文问题时得到()01cos 2k k a k x f x a l π∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ （1） 00,cos cos ,02,0l m n m x n x l dx m n l l l m n ππ≠⎧⎪⎪==≠⎨⎪==⎪⎩⎰ 因此推出了 ()02cos l k k x a f x dx l l π⎛⎫=⎪⎝⎭⎰， 观察此式的结果可知： （1）除了因缺少正弦项而只能表示周期为l 的偶函数，欧拉得到的三角级数与今天我们使用的傅里叶级数已经没有区别.（2）欧拉推出级数系数的方法运用三角函数的正交性，这正是现在“信号与系统”课程在推导傅里叶系数公式时所采取的方法.尽管欧拉已经得到了类似傅里叶级数的表达式，他所采取的推导级数系数的方法我们今天仍在使用.然而，他与拉格朗日及达朗贝尔却始终坚持这样的观点：并非是任意的周期函数都可以表示为三角函数.十九世纪，傅里叶迈出了重要的一步.傅里叶像他同时代的科学家一样，也从事热传导的研究.他在解如下偏微分方程：2222222T T T T a x y z t∂∂∂∂++=∂∂∂∂ 时得到，初始条件()(),0T x f x =必须有()1sin k k k x f x b l π∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 于是，傅里叶面临这样的问题：()f x 能表示成三角级数吗？特别是k b 能确定吗？不妨取l π=，上式简化为()1sin k k f x b kx ∞==∑傅里叶把等式左边()f x 和右边的sin kx 展开为幂级数，经过并不严格的推导得到()02sin k b f x kxdx ππ=⎰ 傅里叶敏锐的观察到，()02sin k b f x kxdx ππ=⎰就是函数()2sin f x kx π在区间()0,π上的面积，而计算面积对相当广泛的函数都有意义.因此他得出结论：每一个周期函数都可表示为()1sin k k f x b kx ∞==∑，0x π<<然而，这个结论却不为当时大多数科学家接受，傅里叶仍坚信自己的结论.随后他得到了更精确的结论，即对于任意周期函数，在周期区间(),ππ-上都可以表示为()01(cos sin ),2k k k a f x a kx b kx x ππ∞==++-<<∑ （2） 傅里叶从没有给出“任意”函数可以这样表示的一个完全的证明，也没有说出一个函数可以展开为三角级数所必须满足的条件，但他对此是坚信的.1807年，傅里叶提交的论文被巴黎科学院拒绝了，论文评委之一的Lagrange 坚决否认周期函数可以展开为三角级数，并批评了该论文缺乏严密性.事实上，傅里叶始终没有能在他的论文中对傅里叶级数理论做出严格的证明.经过15年的抗争，直到拉格朗日离世9年后的1822年，他终于出版了专著《热的解析理论》，直到此时人们才勉强地承认他的思想.我们可以列出傅里叶在方法上存在的缺陷.比如傅里叶在求级数系数时采用的方法不够严密，并且比欧拉所采用的运用三角函数的正交性质的方法要复杂得多.尽管存在一些缺陷，傅里叶得到了正确的结论.傅里叶的结论展示了强大的生命力，对数学的发展也产生了深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且这种影响至今还在发展之中.（1）傅里叶级数促进了偏微分方程理论的发展，成功的解决了关于弦振动问题的解的争论；（2）傅里叶级数促进了函数概念的发展，傅里叶级数理论的先驱者们认为函数必须由一个解析表达式表示；（3）傅里叶级数标志人们从解析函数或可发展成泰勒级数的函数中解放出来.泰勒级数仅在函数的解析点附近表示该函数，而傅里叶级数在一整段上表示一个函数.2 傅里叶级数的严密化随着数学思想的进步，傅里叶的成就在后来赢得了广泛的赞许.但严格地讲并不是任意周期函数的傅里叶级数都收敛.关于收敛条件和收敛证明问题的研究，后继者柯西和泊松的努力没有结果，代表性的成果是狄利克雷和黎曼做出的.2.1 狄利克雷条件狄利克雷在1822年至1825年间在巴黎几次会见傅里叶之后，对傅里叶级数产生了兴趣.1829年他在论文《关于三角级数的收敛性》中给定并证明了：当()f x 满足下列条件时其傅里叶级数是收敛的，这就是狄利克雷条件：（1）()f x 是单值有界的；（2）()f x 是分段连续的，即在一个周期内只有有限多个间断点；（3）()f x 是分段单调的，即在一个周期内只有有限多个极值点.今天的教科书中，条件（1）已放宽为绝对可积，使得工程上所遇到的绝大多数函数都满足狄利克雷条件.条件（2）和（3）排除了无穷间断点和无穷振荡的情形.狄利克雷迈开了傅里叶级数严密化的坚实的第一步，以致黎曼尊称他为傅里叶级数理论的真正奠基者.关于傅里叶级数收敛性的研究持续到今天有很多结果，但狄利克雷条件在今天“信号与系统”教科书中使用最为广泛.2.2 黎曼引理黎曼曾在狄利克雷指导下研究傅里叶级数.1854年他在论文《用三角级数表示函数》中证明了：如果()f x 在周期[],ππ-上有界可积，则有||||lim 0,lim 0,k k k k a b →∞→∞== 其中， ()1cos ,k a f x kxdx πππ-=⎰()1sin k b f x kxdx πππ-=⎰ 这就是黎曼引理.进一步将定理有界可积条件放宽为勒贝格绝对可积，该定理称为黎曼—勒贝格引理.黎曼同时还证明了()f x 在一点的收敛特性只依赖于()f x 在该点邻域中的特性.黎曼—勒贝格引理是证明傅里叶级数收敛性的重要工具.1880年迪尼，给出了另一个傅里叶级数收敛的充分条件：满足科普希茨条件的函数()f x 其傅里叶级数收敛.对该定理的证明就采取了黎曼—勒贝格引理.2.3 吉布斯现象与一致收敛1881年约当条件给出了另一个傅里叶级数收敛的充分条件：有界变差函数()f x 的傅里叶级数收敛于()()002f x f x ++-. 1898年，吉布斯发表文章证明了有界变差函数的傅里叶级数在间断点的振荡规律，因此这一现象称为吉布斯现象.这一现象展示了傅里叶级数在间断点收敛的不一致性.记()f x 的傅里叶级数的部分和为()N S x ，级数在0x 收敛的定义为：()()lim N N S x f x →∞=；级数在周期T 上的一致收敛的定义为：()(){}lim max N x x T f x S x →∞∈-.关于函数()f x 的傅里叶级数一致收敛的一个充分条件是：()f x 在一个周期上满足一致科普希茨条件.2.4 连续傅里叶级数的收敛性在狄利克雷的研究工作之后的约50年间，人们相信任何连续周期函数的傅里叶级数都收敛到该函数.然而在1873年雷蒙德给出了一个连续函数，其傅里叶级数在一点发散.1904年费耶证明了可采用算术平方方法由任何连续周期函数的傅里叶级数（即使该级数发散）重构该函数，即任何连续周期函数()f x 的傅里叶级数在算术平方和的意义下总是收敛于该函数.记()f x 得傅里叶级数的部分和为()N S x ，上述结论用公式表示()()lim N N x f x σ→∞=总是成立.其中， ()()()()0111[]N N x S x S x S X Nσ-=++⋅⋅⋅+ . 雷蒙德指出连续函数的傅里叶级数在某些点发散，而费耶则证明了级数在算术平方和意义下总是收敛于该函数.关于连续函数的傅里叶级数的收敛问题似乎解决了.然而1926年柯尔莫果洛夫证明存在勒贝格可积的周期函数，它的傅里叶级数处处发散.1966年，卡亨和卡茨纳尔松指出在任意给定的零侧集上，存在连续周期函数的傅里叶级数在该集合上所有点都发散.关于连续周期函数的傅里叶级数的收敛性似乎又不乐观了.然而在同一年卡尔松发表文章指出：对于平方可积的周期函数，其傅里叶级数几乎处处收敛.这是一个人们预料之外的好结果，因为连续周期函数在一个周期内是平方可积的.综合卡尔松和卡茨纳尔的结果，即连续周期函数的傅里叶级数只在零侧集上发散，亦即几乎处处收敛.至此关于连续函数傅里叶级数的收敛性问题就完全清楚了.3 傅里叶级数的应用傅里叶级数从产生到现在虽然只有短短的一百多年的时间，但是它的应用却是非常的广泛.他被广泛地应用在物理学、计算机、图案设计和预测模型等很多方面.下面就在图案设计和事件预测方面的应用做简单介绍.3.1 傅里叶级数在图案设计上的应用艺术与数学有着极其丰富的普遍意义和极其深刻的美妙联系.多少世纪以来，艺术家在进行艺术的创作中，利用数学原理和数学方法而使画面充满了和谐与美感.古希腊雕塑家们黄金分割用在他们的许多作品的比例中.伟大的达芬奇在其绘画研究中运用黄金矩形、比例和射影几何，取得了非凡的成就.今天，数学在为艺术家提供创造和传达他们思想的灵感和工具方面仍然起着积极的作用.艺术家利用数学思想创造更深邃的艺术.事实上，有许多艺术家正在进行与数学思想——多维空间和计算机在现技术的数学思想有关的艺术探索.数学（特别是现代数学）的研究对象在很大程度上可以被看成是“思维的自由想象和创造”.因此，美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位，以致在一定程度上数学就可被看成一种艺术.数学理论以逻辑的严密性和规律性，在艺术的领域里借助于直觉、想象等非逻辑思维.提出新的概念和理论.所以，数学不仅有利于发展人们的逻辑思维，而且有利于人们的创造活动中对审美、直觉的发展.近代计算机技术更是将数学与美术这两者紧密地结合起来，形成了一门崭新的边缘学科——数学美术学.1980年当计算机的图形功能日趋完善的时候，数学公式所具有的美术价值被曼德布鲁尔斯所发现，这就打开了数学美术宝库的大门，使常人也有幸目睹了数学公式所蕴藏的美学内涵.由一些简单的数学公式经过上亿次迭代计算所产生的数学美术作品，可以用电脑根据实物自行改变大小进行组合形成局部图案，在自动拓展设计出复杂的图案，广泛用于印染、针织、装潢.许多复杂设计的绘制过程和难以得到的视觉效果，在电脑中变得轻而易举.现在绘制傅里叶级数的图形，以()f x x =为例，具体步骤如下：（1）运用MATLAB软件，编写一个自定义的傅里叶级数的程序如下：function y=fly(f，k，l)syms x n；a0=int(f，x，-l，l)/l；an=int(f*cos(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；bn=int(f*sin(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；for n=1：ka(n)=int(f*cos(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；b(n)=int(f*sin(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；endg=0；for n=1：ks=a(n)*cos(n*pi*x/l)+b(n)*sin(n*pi*x/l)；g=g+s；endy=a0/2+g；（2）编写画图函数程序：syms x nf=x；fly(f，1，pi)%调用傅里叶函数x=-pi：0.1：pi；x=-pi：0.1：pi；f1=2*sin(x)；f2=-2*sin(x)；f3=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)；f4=-2*sin(x)+sin(2*x)-2/3*sin(3*x)；f5=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)-1/2*sin(4*x)+2/5*sin(5*x)； plot(x，x，x，f1，x，f2，x，f3，x，f4，x，f5)；得到的到傅里叶级数的图形，如图1：图1 傅里叶级数图形在图1中将另一部分进行对称叠加达到对称的效果，如图2：图2 傅里叶级数叠加效果图（3）对多余部分进行处理findobj(allchild(gca)，'Type'，'line')ans =180.0021179.0021178.0021177.0021176.0021175.0026>> get(ans(1))DisplayName： ''Annotation： [1x1 hg.Annotation] Color： [0.7500 0.7500 0] LineStyle： '-'LineWidth： 0.5000Marker： 'none'MarkerSize： 6MarkerEdgeColor： 'auto'MarkerFaceColor： 'none'XData： [1x63 double]YData： [1x63 double]ZData： [1x0 double]BeingDeleted： 'off'ButtonDownFcn： []Children： [0x1 double]Clipping： 'on'CreateFcn： []DeleteFcn： []BusyAction： 'queue'HandleVisibility： 'on'HitTest： 'on'Interruptible： 'on'Selected： 'off'SelectionHighlight： 'on'Tag： ''Type： 'line'UIContextMenu： []UserData： []Visible： 'on'Parent： 174.0024XDataMode： 'manual'XDataSource： ''YDataSource： ''ZDataSource： ''对其中的对象进行设置set(ans(6)，'LineWidth'，7)将对象加粗，找到需要删除的线图3set(ans(6)，'Color'，[1 1 1]) 将y=x这条直线的颜色设置为白色，达到这条线消失的结果（这些点对于后期处理没有影响，不影响这题效果）图4 淡化效果图（4）将其他的线条加粗set(ans(1)，'LineWidth'，3) 改变ans()中的值改变操作的线条图5 傅里叶级数加粗效果图得到最后的效果图图6 傅里叶级数最终的效果图通过以上一个简单的例子，我们可以看出：傅里叶级数图形非常具有节奏韵律感，并且，当改变变量的取值范围，就可以生成重复的、变化的图案，由此得到的单元及重复的有节奏的构图.对以上图形进行组合、排列或者发展、衍生，可构成丰富的图案变化.他被广泛应用于：室内的装饰浮雕、壁饰、椅子背、服装的前身、领角、领带及皮包、发卡等；纺织品的床单、毛巾、手绢等以及地砖、墙线装饰铁艺栅栏等许多方面.3.2 傅立叶级数在铁路客运量预测上的应用铁路客运量预测是铁路部门进行决策的重要依据.铁路客运量波动具有较强的季节性特征，对于季节性预测常用的方法由：霍尔特-温特预测、ARIMA预测、傅里叶级数预测等.选择傅里叶级数预测法对我国2010年的铁路客运量月度数据进行预测，并且对预测结果进行误差分析.3.2.1 傅里叶级数预测模型在解决同时伴有趋势性变化的时间序列预测问题时，可将时间序列分为趋势性部分和季节性部分进行预测.其中，趋势性部分可以通过最小二乘法得到，对季节性部分用傅里叶级数预测法进行预测.将时间序列分解为：()()()w x f t y t ∧=+ 1,2,,t n =⋅⋅⋅ （3） 式中：()f t 为趋势性部分；()y t 为季节性部分.用最小二乘法对()f t 进行拟合，用傅里叶级数预测法对()y t 进行预测，预测过程分为以下4个步骤.（1）季节性部分预测.离散函数()y t 满足一定的光滑性条件时，可以在区间[]1,1-上展开为傅里叶级数：()0122cos sin 2m k k k a kt kt y t a b nn ππ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑（4） （2）采用最小二乘法求解系数.011nt t a y n ==∑122cos n k t t kt a y n n π==∑122sin n k t t kt b y n nπ==∑1,2,,k m =⋅⋅⋅其中，m 为不超过2n的最大整数. （3）选出影响较大的季节性部分.由公式（4）转化得到：()022m k a kt y t n πϕ=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭式中：()tan k ka b ϕ=，当存在k()y t 具有季节性成分，即原时间序列具有季节性；反之，若对所有的k说明()y t 是不具有季节性成分，即原时间序列不存在季节性.傅里叶级数预测法的思路是选取22k k a b +取值较大的点，将此时的k a 、k b 带入公式（4），预测时间序列的季节性部分，得到()y t .（4）总体预测.将计算得到的()f t 、()y t 带入公式（3），得到该时间序列的预测方程.3.2.2 实证分析3.2.2.1 客运量预测将我国2004—2009年铁路客运量作为初始数据，利用傅里叶级数展开式预测2010年铁路客运量.（1）利用最小二乘法对我国铁路客运量2004—2009年的数据进行拟合，得到总体变化趋势()f t .()0.010.86f t t =+ 1,2,,t n =⋅⋅⋅（2）用原始数据减去其对应的趋势性部分()f t ，得到季节性部分()f t 、()y t 为离散的点.（3）假定()y t 满足傅里叶级数展开的一切条件，将函数()y t 以72n =为周期延展至(),-∞+∞，在区间[]1,1-上展开成公式（4），运用MATLAB 软件编程解得22kk a b +的值，如图7所示.图7 22k k a b +的值由图7可知，当6k =时，22k k a b +的取值很大，说明我国铁路客运量在这6年中带有季节性成分，每个季节成分的长度72126n L k ===. 根据傅里叶级数预测原理，选出使22k k a b +的取值很大的k a 、k b .当k 分别取6、12、24、30时22k k a b +的取值相对很大，将6a 、12a 、24a 、30a 、6b 、12b 、24b 、30b 代入公式（4），得到我国2004—2010年的铁路客运量中带有季节成分的预测值()y t ，2010年的预测值如表1所示.将预测值与实际数据进行比较，如图8所示.表1 我国铁路2010年客运量预测值 亿人月份 预测值 月份 预测值 1 1.50 7 1.45 2 1.40 8 1.48 3 1.28 9 1.30 4 1.28 10 1.35 5 1.36 11 1.22 61.27121.23图8 预测值与实际数据的比较3.2.2.2 误差分析对预测的相对误差、平均误差平方和平均绝对百分数误差进行分析.相对误差： t tt tx x r x ∧-=13,14,,60t =⋅⋅⋅ 式中：t x ∧为预测值.将数据带入后，预测的相对误差为0.01%~0.02%. 平均误差平方：2121 3.1178n t t t tMSE x x E n ∧=⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑ 60n =平均绝对百分数误差：211100%0.02%t t ntt tx x MAPE n x ∧=⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯=∑60n = 通过误差分析可见，采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.小结在欧拉、伯努利等数学家讨论过三角级数之后，傅里叶将它发展成为处理数学物理问题的有力工具和具有普遍意义的方法，从而开创傅里叶分析这一近代数学的重要分支.三角级数的研究从19世纪起至今仍相当活跃，对整个数学的发展产生了巨大的影响.文章主要介绍了傅里叶级数的起源、发展及其应用.在介绍傅里叶级数的起源与发展方面，本文围绕傅里叶的主要工作，以时间为线索以关键人物的工作为依托，介绍了傅里叶级数的起源与发展.在傅里叶级数的应用方面，第一，介绍了在图案设计应用，傅里叶级数的基本形、变体和组合，通过不同的构图方法，创作出丰富的图案.第二，介绍了在铁路客运量预测上的应用，傅里叶级数预测法对于带有季节性的时间序列预测效果较好.傅里叶级数是一种非常重要的级数，学习和了解傅里叶级数起源与发展，有助于激发我们学习无穷级数的兴趣甚至是学习数学的兴趣；加深对有关傅里叶级数的概念和性质的理解，对于解决和傅里叶级数有关的问题有很大的帮助.致谢本文从拟定题目到定稿，历时数月.在本论文完成之际，首先要向我的指导老师李博老师致以诚挚的谢意.在论文的写作过程中，李老师给了我许多的帮助和关怀.在李老师的悉心指导下，我不仅学到了扎实的专业知识，也在怎么处事等方面受益很多；在此我谨向李老师表示衷心的感谢和深深的敬意.同时，我要感谢我们学院给我们授课的各位老师，正是由于他们的传道、授业、解惑，让我学到了专业知识，并从他们身上学到了如何求知治学、如何为人处事.我也要感谢我的母校河北北方学院，是她提供了良好的学习环境，让我的大学生活丰富多姿，为我的人生留下了精彩的一笔.另外，衷心感谢我的同窗同学们和数学系的师兄师姐们，在我毕业论文写作中，与他们的探讨交流使我受益匪浅；同时，他们也给了我许多无私的帮助和支持，我在此深表谢意！参考文献[1] Lars Garding，胡作玄译.数学概观[M].北京：科学出版社，2001：26—29.[2] Morris Kline，朱学贤等译.无穷级数，《古今数学思想》第二册第20章[M].上海：上海科学技术出版社，2002：53—57.[3] Moris Kline，邓东皋等译.分析中注入严密性，《古今数学思想》第四册第40章[M].上海：上海科学技术出版社，2002：136—139.[4] 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傅里叶级数的和函数与原函数的关系
傅里叶级数的和函数与原函数的关系引言傅里叶级数是一个重要的数学工具，它可以将一个周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的和函数与原函数之间存在着紧密的关系，本文将深入探讨这一关系。
傅里叶级数的定义与性质傅里叶级数是将一个周期为T的函数f(t)展开为三角函数的级数表示。
它的定义如下：其中，a0是常数，n是整数，an和bn是系数，它们可以通过下式计算：傅里叶级数具有以下性质：1.傅里叶级数是周期函数f(t)的连续函数表示。
2.对于奇函数和偶函数，傅里叶级数的系数具有对称性。
和函数与原函数之间的关系傅里叶级数的和函数与原函数之间存在着紧密的关系。
具体来说，和函数是原函数的周期延拓，它在一个周期内和原函数完全一致，但在周期之外可能存在差异。
原函数是一个周期函数，而和函数是一个在整个实数轴上连续的周期延拓函数。
和函数的周期为T，可以看作是原函数在整个实数轴上的周期重复。
当原函数是一个三角函数时，和函数将是该三角函数的周期延拓。
傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性是指它是否能够以和函数的形式表示原函数。
根据傅里叶级数的收敛定理，对于大多数函数，它的傅里叶级数是收敛的。
然而，对于某些特殊的函数，傅里叶级数可能会发散或者收敛到一个与原函数不同的函数。
这是由于傅里叶级数的收敛性依赖于原函数的性质。
当原函数在某些点上不连续或者具有间断点时，傅里叶级数可能无法完全表示原函数。
傅里叶级数的逼近性质傅里叶级数具有良好的逼近性质，即它能够用有限项级数逼近任意周期函数。
这是由于傅里叶级数的基函数具有正交性质。
对于一个周期为T的函数f(t)，当级数中的项数增加时，傅里叶级数的逼近效果会越来越好。
当项数趋向于无穷大时，傅里叶级数能够完美地表示原函数。
傅里叶级数的应用傅里叶级数在信号处理、图像处理、物理学和工程学等领域广泛应用。
它可以用于信号的频谱分析、滤波、噪声去除和图像压缩等任务。
傅里叶级数还可以用于解决偏微分方程，例如热传导方程和波动方程。
傅里叶级数概念
傅里叶级数概念什么是傅里叶级数傅里叶级数是一种数学工具，用于将周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的和。
它是由法国数学家傅里叶在19世纪提出的，被广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。
傅里叶级数的基本原理傅里叶级数的基本原理是任何一个周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和。
具体而言，对于一个周期为T的函数f(t)，可以表示为以下形式的级数：其中，a0、an和bn是系数，可以通过计算积分得到。
an和bn表示了不同频率的正弦和余弦函数在级数中的权重。
傅里叶级数的应用信号处理傅里叶级数在信号处理中起到了至关重要的作用。
通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的和，可以对信号进行频谱分析，从而了解信号的频率成分和能量分布。
这对于音频、视频等信号的压缩、滤波、特征提取等操作非常有用。
图像处理傅里叶级数在图像处理中也有广泛应用。
通过将图像看作一个二维函数，可以将其分解成一系列二维正弦和余弦函数的和。
这样可以对图像进行频域处理，例如图像去噪、边缘检测、图像增强等操作。
物理学傅里叶级数在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于描述周期性运动，如弦乐器的振动、电磁波的传播等。
此外，傅里叶级数还可以用于解决热传导方程、波动方程等偏微分方程的初值问题。
工程学在工程学中，傅里叶级数可以用于信号处理、控制系统分析、电路分析等方面。
通过将信号或系统分解成不同频率的正弦和余弦函数的和，可以对系统的频率特性进行研究和设计。
傅里叶级数的性质傅里叶级数具有许多重要的性质，这些性质使得它在各个领域中得到广泛应用。
线性性质傅里叶级数具有线性性质，即线性组合的函数的傅里叶级数等于各个函数的傅里叶级数的线性组合。
周期性质傅里叶级数适用于周期函数，并且周期函数的傅里叶级数也是周期函数。
当函数不是周期函数时，可以通过将其扩展为周期函数来应用傅里叶级数。
对称性质对称函数的傅里叶级数具有特殊的性质。
例如，奇对称函数的傅里叶级数只包含正弦函数，偶对称函数的傅里叶级数只包含余弦函数。
傅里叶级数在一些特殊数项级数的求和问题上的应用
傅里叶级数在一些特殊数项级数的求和问题上的应用1 序言级数是研究函数的一个重要工具．在抽象理论与应用学科中，级数都处于重要的地位．这是因为一方面能够借助函数项级数表示很多有用的非初等函数，另一方面，函数项级数又是研究函数性质的一个重要手段．傅里叶级数是函数项级数的一种特殊形式，它是研究周期函数的有力工具．19世纪法国的数学家傅里叶拉开了傅里叶级数发展的序幕．他在研究热的传播时，推导出著名的热传导方程．在求解该方程时，发现了函数可以由三角函数构成的级数来表示．从而，提出了任一函数都可以展开成为三角函数的无穷级数的形式．傅里叶级数、傅里叶分析等理论都由此开始产生．这也使得偏微分方程的理论得到了发展，而且也使函数概念得到改进，标志着人们从解析函数或可展成泰勒级数的函数中解放出来．傅里叶级数是函数项级数的重要组成部分，在理论上对研究函数有着重要的意义，同时在生活实践中有着重要的应用．在研究科学实验与工程技术的复杂的周期现象的时候，一般的级数是解决不了问题的，傅里叶级数是解决该问题的必不可少的一种工具．此外，傅里叶级数在级数求和方面的应用也是很广泛的，对于解决p 级数、三角级数等特殊的级数的求和问题，傅里叶级数起的作用是一般的级数求和方法所不能代替的．2 傅里叶级数2.1 三角级数的概念函数列：ΛΛ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x (1) 称为三角函数系．此三角函数系中的每个函数都以π2为周期，不妨在],[ππ-上讨论三角函数系．具有下列性质：sin sin mx nxdx ππ-=⎰π≠=≠n m nmcos cos mx nxdx ππ-=⎰ π00≠=≠n m nm⎰-=ππ0cos sin nxdx mxcos sin 0nxdx nxdx ππππ--==⎰⎰212dx πππ-=⎰即在三角函数系(1)中，任意两个函数之积在],[ππ-上的定积分是0，而每个函数自身的平方在],[ππ-上的定积分不是0，我们称三角函数系(1)是正交的．以三角函数系⑴为基础作成的函数级数ΛΛ++++++nx b nx a x b x a a n n sin cos sin cos 2110或简写成)sin cos (21nx b nx a a n n n ++∑∞= 其中n n b a a ,,0),2,1(Λ=n 皆为常数 (2) 称为三角级数．2.2 周期为π2的函数的傅里叶级数若函数)(x f 在区间],[ππ-上能展成三角级数(2)，或三角级数(2)在],[ππ-上收敛于函数)(x f ，即()f x =)sin cos (21nx b nx a a n n n ++∑∞= (3) 那么，级数(3)的系数),2,1(,,0Λ=n b a a n n 与和函数)(x f 的关系可以由以下定义说明：定义[1](P103) 如果函数)(x f 在],[ππ-区间上可积，令⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1),2,1,0(Λ=n⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1),2,1(Λ=n称为函数)(x f 的傅里叶系数．以函数)(x f 的傅里叶系数为系数的三角级数)sin cos (21nx b nx a a n n n ++∑∞= 称为)(x f 的傅里叶级数．表示为)(x f ～)sin cos (21nx b nx a a n n n ++∑∞= (4) 2.3 周期为l 2的函数的傅里叶级数这里我们讨论以l 2为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式． 2.3.1 周期为l 2的函数的傅里叶级数 设f 是以l 2为周期的函数，通过变量代换t lx=π 或πltx =，把f 变成以π2为周期的t 的函数)()(πltf t F =．如果f 在],[l l -上可积，则F 在],[ππ-上也可积，此时函数F 的傅里叶级数展开式是：()F t ～01(cos sin )2n n n a a nt b nt ∞=++∑， (5)其中， ⎰-=πππntdt t F a n cos )(1，Λ,2,1,0=n ，(6)⎰-=πππntdt t F b n sin )(1，Λ,2,1=n ． 因为 lxt π=，所以)()()(x f ltf t F ==π．于是由(5)与(6)式分别得∑∞=++10)sin cos (2)(n n n lxn b l x n a a ～x f ππ (7)与 dx lx n x f l a l l n ⎰-=πcos )(1，Λ,2,1,0=n ， (8)dx lxn x f l b l l n ⎰-=πsin )(1 Λ,2,1=n ．这里(8)式是以l 2为周期的函数f 的傅里叶系数，(7)式是f 的傅里叶级数．2.3.2 偶函数与奇函数的傅里叶级数设f 是以l 2为周期的偶函数，或是定义在],[l l -上的偶函数，则在],[l l -上，f 的傅里叶系数(8)是dx lxn x f l dx l x n x f l a l l n ⎰⎰==-10cos )(2cos )(1ππ Λ,2,1,0=n ， (9)0sin )(1==⎰-dx lx n x f l b l l n π Λ,2,1=n ． 于是f 的傅里叶级数就只含有余弦函数的项，即∑∞=+10cos 2)(n n lx n a a ～x f π (10)其中n a 如(9)式所示．(10)式右边的级数称为余弦级数．同理，若f 是以l 2为周期的奇函数，或是定义在],[l l -上的奇函数，则在],[l l -上，可以推出以下结论：,0cos )(1==⎰-dx l xn x f l a l l n π Λ,2,1,0=n (11)dx lxn x f l b l n ⎰=0sin )(2π， Λ,2,1=n 所以，当f 为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即∑∞=1sin)(n n lxn b ～x f π (12) 其中，n b 如(11)式所示．(12)式右边的级数称为正弦级数．3 收敛定理如果)(x f 在],[ππ-上可积，我们总是可以作出函数)(x f 的傅里叶级数，并且要讨论此级数的收敛性．然而，)(x f 在什么条件下，它的傅里叶级数在],[ππ-上收敛呢？并且是否收敛于)(x f 本身呢？下面我们就这个问题进行讨论．定义[1](P109) 如果)(x f 在区间[]b a ,上只有有限个第一类不连续点，称函数)(x f 在[]b a ,上逐段连续．函数)(x f 与它的导数)(x f '都逐段连续，则称)(x f 在[]b a ,上逐段光滑．收敛定理[2](P65) 若函数)(x f 以π2为周期，在],[ππ-上逐段光滑，则在每一点x ∈],[ππ-，)(x f 的傅里叶级数(4)收敛于)(x f 在点x 的左、右极限的算术平均值．即)sin cos (22)0()0(10nx b nx a a x f x f n n n ++=-++∑∞=, 其中n n b a a ,,0为)(x f 的傅里叶系数．收敛定理给出了函数)(x f 可展成傅里叶级数的充分条件．显然，可展成傅里叶级数的函数（逐段光滑）比可展成幂级数的函数（存在任意阶导数）要广泛得多．4 傅里叶级数展开式4.1 求傅里叶级数展开式的基本方法将可积函数展开成为傅里叶级数的最基本的方法是按系数公式计算系数．步骤如下： 1) 求傅里叶系数dx nx x f l a ba n ⎰=cos )(1 Λ,2,1,0=n ,dx nx x f l b ban ⎰=sin )(1 Λ,2,1=n ,其中 2ab l -=． 2) 计算得到的系数代入级数∑∞=++10)sin cos (2)(n n n lx n b l x n a a ～x f ππ． 3) 根据收敛定理，判定＂～＂改为＂=＂． 4.2 傅里叶级数展开的几个问题在级数展开的过程中，值得注意的是：可积函数在指定区间],[b a 上的傅里叶级数展开式是唯一的，而三角展开式却是随意的．将)(x f 以不同的方式延拓到比],[b a 大的区间上，在较大区间上求延拓后的傅里叶级数展开式，就可以得到)(x f 在],[b a 上不同的三角展开式．例如],0[l 上给定的函数)(x f ，若将)(x f 奇延拓到]0,[l -上，便可以获得0=n a （即只含有正弦）的展开式，若将)(x f 偶延拓到]0,[l -上，便可以获得0=n b （即只含有余弦）的展开式．例 把x x f =)(在)2,0(内展开成：1) 正弦级数；2) 余弦级数．解 1) 要把)(x f 展开成为正弦级数，我们对)(x f 作奇式周期延拓，由公式(11)有ΛΛ,2,1,)1(4cos 42sin 22,,2,1,0,0120=-=-====+⎰n n n n dx x n x b n a n n n ππππ 所以，当)2,0(∈x 时，由(12)及收敛定理得到)23sin 3122sin 212(sin 42sin )1(4)(11Λ++-=-==+∞=∑xx x x n n x x f n n ππππππ.同时，当2,0=x 时，右边级数收敛于0．2) 要把)(x f 展开成为余弦级数，这里对)(x f 作偶式周期延拓，由公式(9)得到)(x f 傅里叶系数为：,,2,1,0Λ==n b n,220==⎰xdx aΛ2,1],1)1[(4)1(cos 42cos 22222220=--=-==⎰n n n n dx x n x a nn ππππ． 或 2212)12(8π--=-k a k ，02=k a ),2,1(Λ=k ．所以，当)2,0(∈x 时，由(10)及收敛定理得到)25cos 5123cos 312(cos 812)12(cos )12(81)(222122Λ+++-=---+==∑∞=xx x x k k x x f k ππππππ由上述例题可以看出在函数展成傅里叶级数的时候应注意以下几点：1) 首先应检验函数是否满足收敛定理条件；2) 其次要明确函数在什么区间上展开，从而确定傅里叶系数与傅里叶级数的形式； 3) 如果函数是奇函数或偶函数，只需计算相应的系数即可．傅里叶级数是一类在理论上和应用上都很重要的函数级数—三角函数级数．由于三角函数的周期性，因而傅里叶级数对于研究具有周期性的物理现象特别有用．能展成傅里叶级数的函数是比较广泛的，因为相对于展成幂级数而言，要求能展成傅里叶级数的条件要弱．5 在数项级数求和上的应用傅里叶级数是函数项级数的重要组成部分，在理论上对研究函数有着重要的意义，同时在生活实践中有着重要的作用．在研究科学实验与工程技术的复杂的周期现象的时候，一般的级数是解决不了问题的．而傅里叶级数是解决该问题的必不可少的一种方法．特别的，傅里叶级数在解决数项级数求和的问题上起着重要的作用．在这里，我们用具体的实例来加以说明．例1 把x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成为傅里叶级数．并求∑∞=+--1112)1(n n n ．解 )(x f 显然逐段光滑，因此可以展成傅里叶级数． 因为x x f =)(在],[ππ-上是奇函数，则有0=n a ，n nxdx x b n n 2)1(sin 21+-==⎰ππ于是，)33sin 22sin 1sin (2Λ-+-=xx x x ，x π≤． 特别地，当2π=x 时，有∑∞=+--=1112)1(4n n n π．例2 把x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成为傅里叶级数．并求∑∞=-12)12(1n n ．[1](P116) 解 )(x f 显然逐段光滑，因此可以展成傅里叶级数． 因为x x f =)(在],[ππ-上是偶函数．则πππ==⎰02xdx a ．24n π-， n 为奇数， 2022cos [(1)1]nn a x nxdx n πππ==--=⎰0， n 为偶数．0=n b ．于是， )55cos 33cos (cos 4222Λ+++-=xx x x ππ， x π≤． 特别地，当π=x 时，有Λ+++=-=∑∞=2212251311)12(18n n π． 例3 将2)(x x f = )(ππ≤≤-x 展成傅里叶级数．并求∑∞=121n n 及∑∞=--121)1(n n n ． 解 )(x f 显然逐段光滑，因此可以展成傅里叶级数．2)(x x f =在],[ππ-上是偶函数，则2020322πππ==⎰dx x a ． 24n， n 是偶数， ===⎰)cos (4cos 2202πππππn ndx nx x a n24n-， n 是奇数．0=n b ．于是， )33cos 22cos 1cos (432222Λ-+--=xx x x π， x π≤． 特别地，当π=x 时，有Λ+++==∑∞=221223121116n n π． 当0=x 时，有Λ+-+-=-=∑∞=-22212124131211)1(12n n n π． 例 4 1) 将周期为π2的函数)2(41)(x x x f -=π，]2,0[π∈x 展开为傅里叶级数，并由此求出∑∞=121n n．2) 通过傅里叶级数的逐项积分求出∑∞=141n n ． 解 1) )(x f 显然逐段光滑，因此可以展成傅里叶级数．,31)2(4112200ππππ=-=⎰dx x x a 2201cos )2(411n nxdx x x a n -=-=⎰πππ，0sin )2(41120=-=⎰nxdx x x b n πππ ),2,1(Λ=n ，且 )2(41)(x x x f -=π在]2,0[π上处处可导， )02()00(-=+πf f由收敛定理得nxdx nx x n cos 161)2(41122∑∞=-=-ππ ]2,0[π∈x ．（＊） 令0=x 可得 61212π=∑∞=n n．2) 将（＊）常数项移至左端，根据傅里叶级数逐项积分的定理有⎰∑⎰∞=-=--x n xntdt n dt t t 01202cos 1]61)2(41[ππ， 即 ∑∞==+-13322sin 11214161n nx nx x x ππ 此式为左端函数的傅里叶级数展开式．同理继续逐项积分两次，得)sin (1240481361145432x nnx n x x x n -=-+-∑∞=ππ，]2,0[π∈x ． 令 π2=x ，可得4411190n nπ∞==∑． 在上面的例题中可以发现：在求解过程中，我们首先判断该函数是否能展开成为傅里叶级数，然后求出傅里叶系数n n b a a ,,0．当得到展开式后，我们需要对其进行仔细的观察，可以发现当x 取某一特殊值时，展开式不知不觉地已经变化成为所求级数的和的形式或其相关形式．由此，我们便轻松地通过傅里叶级数展开式解决了级数的求和问题．由于展开式都是由三角函数组成的，所以在得到展开式后对x进行赋值时，就很容易的想到三角函数的特殊值，从而简单快捷的解决问题．但是，有时在得到展开式后运用直接赋值的方法不能达到目的，比如求∑∞=14 1n n．这时应对展开式进行观察，适当的应用逐项积分或逐项微分的方法，对函数的展开式的左右两端进行运算，之后再进行赋值运算也可以解决问题．。
(完整版)傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用本科毕业论文
本科生毕业论文（申请学士学位）论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用学生：（签字）论文答辩日期：2014年x月xx日指导教师：（签字）目录摘要： ...........................................................................................................................................................关键词 ........................................................................................................................................................... Abstract....................................................................................................................................................... 1绪论 ............................................................................................................................................................ 2傅里叶级数的概念 ....................................................................................................................................2.1周期函数 ................................................................................................................................................2.2傅里叶级数的定义 ................................................................................................................................3 傅里叶变换的概念及性质 .......................................................................................................................3.1傅里叶变换的概念 ................................................................................................................................3.2傅立叶变换的性质 ................................................................................................................................ 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 ........................................................................................ 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 ............................................................................................................5.1傅里叶级数的应用 ................................................................................................................................5.2傅里叶变换的应用 ................................................................................................................................参考文献 .......................................................................................................................................................傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。
利用傅里叶级数进行数列求和的方法【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学利用傅里叶级数进行数列求和的方法一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。
数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等等。
但我们发现不是所有的数列都可以利用这些方法进行求和，因此我们就需要去寻找新的方法。
这时，我们不妨可以引入傅里叶级数来对某些数列进行求和。
傅里叶级数是一种特殊的三角级数，是由法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出的。
有了傅里叶级数，就可以在这个方向上对一类数列求和进行探讨。
傅里叶级数，即Fourier series ，定义作：如果一个给定的非正弦周期函数()f t 满足狄利克雷条件，它能展开为一个收敛的级数。
设f 是以2l 为周期的函数，通过变量置换xt l π=或ltx π=可以把f 变换成以2π为周期的t 的函数()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。
若f 在[],l l -上可积，则F 在[],ππ-上也可积，这时函数F 的傅里叶级数展开式是：()01()~cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑， （1） 其中1()cos ,0,1,2,...,1()sin ,1,2,....n n a F t ntdt n b F t ntdt n ππππππ--====⎰⎰ （2） 因为x t l π=，所以()()lt F t f f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭。
于是由（1）和（2）式分别01()~cos sin 2n n n a n x n x f t a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑ （3） 与 1()cos ,0,1,2,...,1()sin ,1,2,....l n l l n l n x a f x dx n l l n x b f x dx n l lππ--====⎰⎰ （4） 这里（4）式是以2l 为周期的函数f 的傅里叶系数，（3）式是f 的傅里叶系数。
傅里叶级数实例
傅里叶级数实例傅里叶级数是数学中的一个重要工具，可以将一个周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的和。
在实际应用中，傅里叶级数有广泛的用途，如信号处理、图像压缩、音频分析等。
本文将以一个实例来介绍傅里叶级数的应用。
假设有一个周期为T的函数f(x)，我们希望将其展开成一系列正弦和余弦函数的和。
首先，我们需要求解函数f(x)的周期T和其在一个周期内的表达式。
假设函数f(x)的周期T为2π，即f(x+2π) = f(x)，我们可以取一个周期内的任意一点x0作为参考点，求解f(x)在该点的函数值。
对于周期函数，我们只需求解一个周期内的函数值即可。
接下来，我们需要将函数f(x)展开成正弦和余弦函数的和。
根据傅里叶级数的定义，我们可以得到如下的展开式：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，a0、an和bn分别为展开式中的常数项、余弦项和正弦项的系数，n为正整数，ω为角频率，ω = 2π/T。
我们需要求解展开式中的各项系数。
首先，我们来求解常数项a0。
根据傅里叶级数的定义，常数项a0为函数f(x)在一个周期内的平均值，即a0 = (1/T) * ∫(f(x)dx)其中积分范围为一个周期内的任意一段。
接下来，我们来求解余弦项的系数an。
根据傅里叶级数的定义，余弦项的系数an为函数f(x)与cos(nωx)的乘积在一个周期内的平均值，即an = (2/T) * ∫(f(x)*cos(nωx)dx)其中积分范围为一个周期内的任意一段。
我们来求解正弦项的系数bn。
根据傅里叶级数的定义，正弦项的系数bn为函数f(x)与sin(nωx)的乘积在一个周期内的平均值，即bn = (2/T) * ∫(f(x)*sin(nωx)dx)其中积分范围为一个周期内的任意一段。
通过求解常数项、余弦项和正弦项的系数，我们就可以得到函数f(x)的傅里叶级数展开式。
傅里叶级数的应用非常广泛。
例如，在信号处理中，我们可以将一个信号展开成傅里叶级数，利用其频谱分析的特性来实现滤波、降噪等操作。
高等数学第15章第1节傅里叶级数
第十五章 傅里叶级数§1 傅里叶级数傅里叶是法国最伟大的科学家之一．他对数学、科学以及我们当代生活的影响是不可估量的。
然而，他并不是一位职业数学家或科学家，他所做的巨大贡献都是忙里偷闲完成的。
傅里叶于１７６８年生于法国，幼年父母就去世了。
１３岁时他开始对数学十分着迷，常常一个人爬进教室，点着蜡烛研究数学问题到深夜。
后来，法国革命暴发，傅立叶于１７９３年参加了革命委员会，１７９５年先后两次被捕。
法国革命结束后，傅立叶到巴黎教书，之后随拿破仑到埃及并成为埃及研究院的长久负责人，在那里他写了一本关于埃及的书。
直到今天，仍然有人认为他是一位埃及学家，并不知道他对数学和物理学的重大贡献。
１８０２年，傅立叶回到法国，拿破仑任命他为巴黎警察局长长达１４年之久，他作为行政官员，工作十分出色，在政界享有崇高威望。
１８１７年，傅立叶被送入法国科学院，从此步入较为正规的学术研究阶段。
多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使傅里叶放弃研究数学的强烈兴趣。
事实上，早在１８０７年他就研究了现在称之为傅里叶分析的核心内容。
目前，傅里叶的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电话、收音机、Ｘ射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科学研究开发的系统平台。
所以，有的科学家称赞傅里叶分析是一首伟大的数学史诗。
傅里叶分析的贡献在于两点：（１）他用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余弦函数之和，这一无限和，现称之为傅里叶级数。
也就是说，任何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑曲线之和。
这种表达方式实际上是将信号函数投影在由正弦函数和余弦函数组成的正交基上，实施对信号的傅里叶变换。
（２）他解释了为什么这一数学论断是有用的。
１８０７年，傅立叶显示任何周期函数是由正弦和余弦函数叠加而成。
傅里叶分析从本质上改变了数学家对函数的看法，提供了某些微分方程的直接求解方法，为计算机和ＣＤ等数字技术的实现铺平了道路。