圣彼得堡悖论的产生与解决-罗逸姝

P
1 2
1 ( )2 2
…
1 ( )k 2
…
1 ( )n 2
效用期望 E (U )
2
k 1
n
k
k
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2n
当 n 趋于无穷时，期望值 lim E (U ) 2 ，因此，将入场费用定位 2 元是公平的。
n
这一解释虽然符合实际情况，但仍有漏洞。如果把奖金额变动一下，将奖金额提高为
2 1 k ( ) 2
k
2n 1 ( )n 2
根据数学期望最大法，所获奖金的期望：
1 1 1 E (W ) 2 22 2 ... 2n n n 2 2 2
当 n 趋于无穷时，虽然获得大额奖金的概率很小，但由于奖金数目很大，所获奖金的期 望依然很大，即：
lim E (W )
参考文献
[1] 百 度 百 科 . 圣 彼 得 堡 悖 论 _ 百 度 百 科 [EB/OL]. [2014-3-8]. http://baike.baidu.com/view/1163899.htm. [2] 圣 才 学 习 网 . 博 弈 论 ： 圣 彼 得 堡 悖 论 [EB/OL]. [2012-12-26]. http://jr.100xuexi.com/view/otdetail/20121213/27e15cd9-633c-4dcd-8348-6fb6ede19888.html.
四．最终消解
圣彼得堡悖论的根源在于，样本均值与总体均值的差异，以及我们对于“无穷大”的理 解。根据伯努利大数定律，当样本容量 n 趋近于无穷时，样本均值依概率收敛于其期望值。
但这里的“无穷” ，我们平时的“ 大小”概念已经不能适用了。涉及无穷大概念比较的时候， 就需要用相应的比较方法。 圣彼得堡游戏的结果集合是一个无穷集合， 而实际实验的样本是 一个有穷集合，它们是不能用现有的办法比较的。 因此， 这一悖论的出现并非是由于我们的计算方法的缺陷。 我们需要承认它的期望值是 无穷大； 而实际上它的均值又不可能是无穷大， 由于试验次数没有办法达到真正意义上的 “无 穷大” ，它们之间的差异是必然存在的。 利用电脑进行模拟试验的结果说明， 实际试验的平均值— — 样本均值是随着实验次数 的增加而变化的。在大量实验以后，其试验均值 X 可以近似表示为 X≈logn/log2，可见当实 验次数趋向无穷大的时候， 样本均值也趋向无穷大。 比如 100 万即 106 次实验的平均值约等 于 6/0.301=19.9，即 20 元左右；要样本均值达到 1 000 元，实验次数就要达到 10332，这时 候有可能出现的最高投掷次数约为 1000 次左右， 相应的最高赔付金额已经达到了天文数字。
三．消解历史
边际效用递减论
Daniel Bernoulli 认为游戏的期望值计算不应该是金钱， 而应该是金钱的期望效用，应用 “期望效用递减律”， 将金钱的效用测度函数用货币值的对数来表示： 效用 U=log （货币值） 。 即 U log W log 2k k 新的分布列为： U 1 2 … k … n
102 n ，则其效用的期望值仍为无穷大。只要按照效用的 2n 倍增加奖金，悖论就总是存在。
风险厌恶论
圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制， 但出现高额奖金的概率极小， 如果花较高的入 场费用去参与游戏，虽然有的大奖的机会，但是风险太大。因此，考虑采用风险厌恶因素的 方法可以消解矛盾。Pual.Weirich 就提出在期望值计算中加入一种风险厌恶因子，并得出了 游戏费用的有限期望值。 这种方法仍然存在不合理之处。首先，并非所有人都是风险厌恶的，相反有很多人喜欢 冒险。风险厌恶的观点很难解释清楚实际游戏平均值非常有限的问题。其次，即便承认风险 厌恶的观点，矛盾仍然不能消除。我们仍然可以调整奖金额，最后，考虑风险厌恶情况的期 望值仍然是无穷大而与实际情况不符。 此外，提出解决此悖论的假说还有效用上限论和结果有限论，但同样由于存在纰漏 而未能解决问题。
n
二．悖论产生
设事件{前 k-1 次失败，第 k 次成功}为事件{X=k}，则
1 1 1 P{ X k} ( )k 1 ( ) k 2 2 2
获得的奖金数为 W，则 W 的分布列为： X=k W P 1 2 2 4 3 8 … … … k … … … n
1 2
1 ( )2 2
1 ( )3 2
圣彼得堡悖论的产生与解决
罗逸姝 201241025
一．故事背景
设定掷出硬币的正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金 2 元，游戏结束；第 一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金 4 元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成 功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第 n 次投掷成功，得奖金 2 ，游戏结束。 问：应先付多少钱才能使游戏公平？
n
不确定性下的决策原则之一是数学期望最大化原则， 如果采用此原则对游戏入场费进行 定价，则将入场费定为无限大才是公平的。但应用到实际则出现了矛盾： （1）根据辛钦大数定律，当试验次数 n 接近无限大时，样本均值接近于总体期望。但 实际的投掷结果表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。 （2）调查结果则显示，人们愿意付出的金额在 2-3 元之间。