用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法

用构造法求数列的通项公式

重庆市綦江县东溪中学 任德辉

求数列的通项公式是近几年高考重点考察的内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。

一、用构造法求数列的通项公式依照构造目标数列的不同可以分为构造等差数列、构造等比数列和构造其他数列。

1.构造等差数列

例1、（2009湖北）已知数列{n a }的前n 项和为正整数）n a S n n n (2)21

(1+--=-，令

n n n a b 2=，求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式。

解：12,2

11111===a b a ∵2)21

(1+--=-n n n a S ， ∴ 2)2

1(11+--=++n n n a S ∴n

n n a a )21

(21+=+ 等式两边都乘以n 2得12211=-++n n n n a a ， 即11=-+n n b b ，∴数列{n b }是以1为首项公差为1的等差数列，n n n a b 2==n ∴n

n n a 2= 例2、数列{}n a 中，若21=a ，n

n n a a a 311+=+，则=4a （ ） A ．192 B ．1516 C ．58 D ．4

3

解：31311,3111+=+=∴+=++n

n n n n n n a a a a a a a 又⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴=n a a 1,2111是首项为2

1公差3的等差数列。 5

62,2562533)1(211-=∴-=-=⋅-+=n a n n n a n n 19

254624=-⨯=∴a 所以选A 2.构造等比数列

例3、(2010上海)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且+∈--=N n a n S n n ,855。证明：{1-n a }是等比数列并求{n a }的通项公式

证明：当1=n 时，8551111--==a S a ，151,1411-=--=a a

当2≥n 时，,855111---=--n n a n S ∴11551--+-=-=n n n n n a a S S a

1561+=-n n a a ，)1(6

511-=--n n a a ∴{1-n a }时首项为-15，公比为

65的等比数列。 1-n a =1)

65.(15--n n a =1)

65.(15--n +1

3、构造其他数列 例

4、（2009全国）在数列{n a }中，.21)11(,111n n n n a n a a +++

==+设n a b n n =，求数列{n b }的通项公式。并求出n a

解：由已知得111==a b ，

n n n n a n a 2111+=++，即n n n b b 211=-+ ∴2112=-b b ，22321=-b b ，….，n n n b b 2

11=--

以上各式相加可得11211--=-n n b b ，即1

212--=n n b 小结：本题构造了一个数列{n b }，虽然不是等差、等比数列但可以用累加法并用等比数列求和公式求出通项公式。本题还可以用参数法进一步构造另一个等差或等比数列：由n n n b b 211+

=+，得22.2211+=++n n n n b b ，令n n n b c 2=得221+=+n n c c 再用后面例5的解法求得n c ，进而求得n b 和n a

二、构造法求数列通项公式的解题方法

由题目给出目标数列与否这个标准来判断，用构造法求数列的通项公式的方法可以分为以下几类：

1、如果数列明确要证明一个与原数列有关的新数列是等差或等比数列，此时可以用拼凑法来

求解。

例5、设数列{}n a 的前项和为n n n n S a S =-22,若成立，(1)求证： {}

12-⋅-n n n a 是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式

证明：(1)当 2,22,11111=∴==-=a a S a n

又n n n S a =-22……①

11122+++=-∴n n n S a ……②

②—① 11222++=--n n n n a a a n n n a a 221+=∴+

)2(22)1(222)1(11-+⋅-⋅=⨯+-+=⨯+-∴n n n n n n n n a n a n a

又12111=--a

{}12-⋅-∴n n n a 为首项为1，公比为2的等比数列，

(2)1112)1(,22---⋅+=∴=⋅-n n n n n n a n a

小结：本题在求出n n n a a 221+=+后的构造过程非常巧妙，在明确题目要证明的数列是等比

数列的前提下，结合等比数列的概念，我们只需证明这个数列的后项与前项的比值为常数就可，所以我们只需在n n n a a 221+=+的左边拼凑出数列{}12-⋅-n n n a 的第n+1项，在

右边顺势就可以得出第n 项。此法我们不妨就叫做拼凑法

2、数列没明确给出要构造的目标数列，此时满足一定条件的数列可以考虑用参数法来求解 （Ⅰ）递推公式为q pa a n n +=+1型（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）的数列一般可

以构造出一个等比数列，解题思路为：设

)(1t a p t a n n -=-+，由对应项系数相等求出参数t 的值，再利用换元法转化为等比数列求解。

例6、 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

解：∵321+=+n n a a ，

∴设)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .

即)3(231+=++n n a a ,

令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23

311=++=++n n n n a a b b . ∴{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，

则11224+-=⨯=n n n b , 所以321-=+n n a .

例7、数列{}n a 中，n

n n a a a a 312,211+==+，求n a 解：n

n n n n n n a a a a a a a 121232311,31211⋅+=+=∴+=++ 3,2

32),1(2111-=∴=-+=+∴+λλλλ则令n n a a 2

531),31(2131

11-=--=-∴+a a a n n 又 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-∴31n a 是首项为25-公比为21的等比数列 11)2

1(2531,)21(2531---=∴-=-n n n n a a 1

)21(2531

--=∴n n a