参数法解题

参数法解题

一、 巧设参数,解‘连等式’问题

例1、若12

1,432=-+==z y x z y x 且，求x ,y ,z （甘肃升中题）。 解：设===4

32z y x k （k ≠0）, 那么x=2k 、y=3k 、z=4k 代入x+y －z=

121,得：2k ＋3k －4k=121,解得：k=121， 所以:x=61，y=41，z=3

1. 评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。

二、巧设参数,解‘代数式的最值’问题

例2、设a 、b 为实数，那么a 2+ab+b 2－a －2b 的最小值是多少？

（1998年全国初中数学联赛）

解：设a 2+ab+b 2－a －2b=k ，整理得：b 2＋ (a －2)b ＋（a 2－a －k ）= 0

把上述等式看成是关于b 的方程,因为b 为实数，△≥0，

（a －2）2－4a 2＋4a ＋4k ≥0, 4k ≥3a 2－4

k ≥4

3a 2－1 ∵a 为实数，

所以：当a=0时，k 有最小值为－1。

即a 2+ab+b 2－a －2b 的最小值是－1。

评注：引入参数，把代数式问题转化为方程的问题是本题的独到之处。

三、巧设参数,求‘方程的整数解’问题

例3、求3x+5y=27的正整数解。

解：显然此不定方程的一组正整数解为：x=4，y=3

设3x+5y=27的整数解的参数方程为：⎩⎨⎧+-=+=3

345k y k x （k 为参数，且为整数）

∵x ＞0，y ＞0 ， ⎩⎨⎧+-+0

33045 k k ，解得：54-＜k ＜1

∴k=o ，所以：此方程的正整数解为1组，为x=4，y=3

评注：引入参数，把非定向的问题转化为定向问题，构造含参数方程组是解题的关键。

四、巧设参数,解‘不等式’问题

例4、若x ＋y ＋z=1,求证：x 2＋y 2+z 2≥3

1。

证明：设x=

31－k 1，y=31－k 2，z=31＋(k 1＋k 2) x 2＋y 2+z 2=(31－k 1)2＋(31－k 2)2＋[3

1＋(k 1＋k 2)]2 =31＋k 12＋k 22＋(k 1＋k 2)2≥3

1 当且仅当k 1= k 2=0时，等号成立。 评注：引入参数，构造出含有目标的数字

31，参数在证明过程中起到了一种‘桥梁’的作用。

五、巧设参数,解‘完全平方数’问题

例5、设N=23x+92y 为完全平方数且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x,y ）共有多少对？（2002年全国初中数学联合竞赛）

解：N=23（x+4y ）为不超过2392的完全平方数。23为素数（即质数）

所以x+4y 必为23的倍数。

设x+4y=23k (k 为参数，且是完全平方数)

N=23×23k ≤2392，k ≤23

104＜5，所以：k=1或4 当k=1时，x+4y=23，x=23－4y ，x 为正整数，

所以：y=1，2，3，4，5 ；x=19, 15, 11, 7, 3

当k=4时，x+4y=92，x=92－4y ，x 为正整数，

所以：y=1，2，3， …，22 ；x=88，84，80， …，4

所以满足条件的一切正整数对（x,y ）共有5+22=27对。

评注：抓住完全平方数的特征，引入参数，从而达到化繁为简，化难为易的目的。

六、巧设参数,解‘应用题’问题

例6、已知一个五边形，其中每四边的和分别为：12、18、21、18、19，求五边形各

边的长？

解：设五边形的五边的和为k ，则根据题意得：

(k －12)＋(k －18)＋(k －21)＋(k －18)＋(k －19)=k

解得：k=22

所以：五边形的各边的长为：10、4、1、4、2；

评注：单独设元直接列方程去解，复杂难解，引入一个整体参数，把五元方程变成一元方程是解决此题的一条捷径。

参数法的应用范围广泛，只要把握题目的特点，巧设参数是找到解题的突破口和提高解题速度的一把钥匙。

练习：

1、5

32z y x ==，求代数式z y z y x 79253-+-的值？（仿照例1，答案：－81） 2、求代数式1

223222++--x x x x 的最大值和最小值？（仿照例2，答案：1，－4）

3、求方程3x ＋7y=323的正整数解的组数是多少？（仿照例3，答案14组）

4、如果对于不小于8的自然数n ，当3n ＋1是一个完全平方数时，n ＋1都能表示成m 个完全平方数的和，那么m 的最小值为多少？

（仿照例5，答案：3）

5、已知一个四边形，其中每三边的和分别为19、23、25、29，求四边形各边的长？（仿照例6，答案：13、9、7、3）