电力系统分析(2004-10)电力系统元件的动态特性和数学模型

机电暂态过程的主要目的：主要涉及系统的 静态和暂态稳定性等问题。（有时又分为功 角稳定性和电压稳定性） 要进行这些电磁和机电暂态过程分析，必须 首先研究元件的动态特性，建立电力系统元 件的数学模型。
第一章 电力系统元件的动态特性和 数学模型
第一节 概 述
电力系统暂态分析的一般方法 因为电力系统由各种不同的元件所组成，元 件的动态特性对于系统的暂态过程有直接的 影响。
五、同步电机转子运动方程式
电力系统受扰动后发电机之间相对运动的 特性，表征电力系统稳定的性质。为了较准确 和较严格地分析电力系统的稳定性，必须首先 建立描述发电机转子运动的动态方程--发电机转 子运动方程。
一、转子运动方程 发电机转子的旋转运动状态可表示为： Ja=∆Ma ∆ 式中：J为转动惯量(kg·m·s2)，a为角加速度(rad/s2)，
′ ′ Ra、Xd、Xq、Xσ、Xd、Xd′ ′ ′ Xq、Xq′、Td′0、Td′′ 、Tq′0、Tq′′ 0 0
这些稳态、暂态和次暂态参数可以通过试验而获 得。
然而，由于这两组参数的个数不等，用12个电机参数表 示的方程式不可能唯一确定17个原始参数，因此在进行 转换使，需要采用一些假设，并导出相应的方程。 (一)第一种假设 假定d轴方向各个绕组d、f、D之间和q轴方向各个绕组q、 g、Q之间都只有同时匝链三个绕组的公共互磁通，而不 存在局部互磁通。并采用Xad 基值系统。此时同一轴下 各绕组的互电抗彼此相等。
在我国，由于电网结构相对薄弱，重负荷长距离线 路较多，因而稳定事故的发生较为频繁。据统计， 1988—1990年全国电网稳定事故，平均每年有4.7次 稳定事故，总损失电量为280.31万kwh，社会上由 于停电造成的损失就更大了。 为了防止稳定事故，各电网采取了各种措施，如快 速保护、单相重合闸、远方切机切负荷、投人制动 电阻等，其中最常用的措施是对可能发生的各种运 行方式进行大量计算，从而避开可能破坏稳定的运 行方式。可见电力系统暂态过程分析很有必要。
电力系统暂态分析的一般方法是： 1) 首先需要研究各元件的动态特性，建立 它们的数学模型。 2) 在此基础上，根据系统的具体结构，即 各元件之间的相互关系，组成全系统的 数学模型。 3) 然后采用适当的数学方法进行求解。
由于各元件的动态响应有所不同，系统各种 暂态过程的性质也不相同。因此，在不同类 型的暂态过程分析中，所考虑的元件种类和 对它们数学模型的要求并不相同。
涉及的内容： 同步电机、励磁系统、原动机及调速系 统、负荷和直流输电系统等元件的动态特 性和数学模型。
第二节 同步电机的数学模型
在电力系统暂态分析中，同步电机大都采用d、q、 0坐标系统下的方程式作为数学模型，这些方程式 最初由派克(Park)在引入适当的理想化假设条件后 应用双反应原理推导而得。 后来人们也提出了一些数学模型，其主要区别:
转子等值阻尼绕组所考虑的数目 用电机暂态和次暂态参数表示同步电机方程式时所 采用的假设以及计及磁路饱和影响的方法等有所不 同。 不同的参考书中，不同作者对于有关物理量的正方 向规定、坐标变换矩阵的形式以及基准值的选取方 法等可能有所不同。
转子的等值阻尼绕组：
在水轮发电机等凸极同步电机中，用来模拟分布 在转子上的阻尼条所产生的阻尼作用； 而在汽轮发电机等隐极同步电机中，则用于模拟 整块转子铁芯内由涡流所产生的阻尼作用。
其变换关系式可统一写成：
或
Adq0=PAabc
由上式得出其逆变换关系为：
或 Aabc=P -1Adq0 式中的符号A可代表电流、电压或磁链，即有 (1-12) （1-13）
应用坐标 变换关系式 (1-12)和式(113)，以及各 绕组自感和绕 组间互感表达 式(1-3)~(1-7)， 可以将式(1-1) 和式(1-2)变换 成 d、q、0 坐 标系统下的方 程，即
(二)d、q、0坐标系统下的基本方程
由于一些自感和互感与转子的位置有关，因而式(11)电压方程和式(1-2)磁链方程将形成一组以时间t为 自变量的变系数的微分方程，使分析和计算十分困 难。 为此常采用坐标变换方法，使之在新的坐标系统下 得出一组常系数方程式。派克所提出的d、Q、0坐 标系统是这类坐标系统中的一种，它将定子电流、 电压和磁链的三相分量通过相同的坐标变换矩阵分 别变换成d、Q、0三个分量，
定子三相绕组磁轴的正方向分别与各绕组正向电流所 产生磁通的方向相反 而转子各绕组磁轴的正方向则分别与各绕组正向电流 所产生磁通的方向相同 转子的Q 轴沿转子旋转方向超前于d 轴90º 另外，规定各绕组磁链的正方向与相应的磁轴正方向 一致。
由图1-1(b)可以列出各绕组的电压平衡方程，即
在假定磁路不饱和的情况下，各绕组的磁链 Ψ 可以通过各绕组自感L和绕组间互感M，列出下 列磁链方程，即
(二)第二种假设 同步电机可以直接采用以标幺值表示的方程，并假定参 数满足一定的条件(实际在一定程度上考虑了各绕组之 间存在局部互磁通的可能性) (三)各种简化方程式 在凸极机中，转子q轴往往只考虑一个等值阻尼绕组Q。 不考虑阻尼绕组的影响 不考虑阻尼绕组的影响并假定暂态电势eq’保持不变 忽略定子绕组暂态过程 在定子电压平衡方程式中，不计转速变化所产生的影响。
由电工理论可知：
上式中的系数矩阵为对称矩阵。 由于转子的转动，一些绕组的自感和绕组间的互感 将随着转子位置的改变而呈周期性变化。
取转子d 轴与a 相绕组磁轴之间的电角度θ 为变量， 在假定定子电流所产生的磁势以及定子绕组与转子 绕组间的互磁通在空间均按正弦规律分布的条件下， 各绕组的自感和绕组间的互感可以表示如下。
就同一种系统暂态过程来说，对于不同的分析 精度和速度要求，元件所用数学模型的精确程 度也不相同。
一般地说，在进行系统规划和设计时，暂态分析的 精度要求可以适当降低，这时各元件可以采用较粗 略的数学模型，以便提高分析速度。 因此，在建立元件数学模型时，不但需要研究它们 的精确模型，而且需要考虑各种简化模型，以适应 不同的需要。
三、同步电机的稳态方程式和相量图
电力系统暂态分析是研究系统在给定稳态 运行方式下遭受扰动后的暂态过程行为，因此， 需要知道扰动前系统稳态运行方式下的各个运 行参数或它们之间的关系。
四、考虑饱和影响时的同步电机方程
前面的方程都是假设磁路不饱和，实际随磁通密度 的增大，饱和现象将趋明显和严重。当对同步电动 机模型要求高时，需要计及磁路饱和的影响。 要准确考虑磁路饱和则比较复杂和困难，主要原因 是磁路的饱和与作用于气隙的总磁势有关，这就需 要d轴和q轴的磁势和成为气隙总磁势后再根据饱和 曲线求出相应的磁通和磁链，而且即使总磁势在空 间按正弦规律分布，但由于各点的磁势不等，其饱 和程度将各不相同，从而使气隙磁通波形发生畸变。
应用坐标变换式式(1-13)，得d、q、0坐标系统 下的功率表达式为
3 3 p0 = u P P idq0 = ud id + uqiq + 3u0i0 2 2
T dq0 −T −1
(三) 用标么值表示的同步电机方程 在实际应用中，同步电机的方程常用标幺值表示， 而且同步电机的参数也都用标幺值给出。基准值 的选取不同，方程不同。 电压平衡方程：
注意，在式(1-15)（变换后的磁链方程）中，定 子d、q、0绕组与转子绕组间的互感为不可逆。 如果将各转子绕组的电流分别用它们的2/3倍代 替，或者取P为正交矩阵，则这些互感便变为可 逆。 当电流和电压取图l-1(b)所示的规定正方向时， 定子绕组输出的总功率为
T p0 = uaia + ubib + ucic = uabciabc
从理论上来说，增加等值阻尼绕组的数目可以 提高数学模型的精度，而且模型的建立也相当 容易，但是人们通常不增加很多：
实际上要准确地获得它们的参数却比较困难， 使数学模型的微分方程阶数增高。
目前应用比较广泛的数学模型中：
对于凸极电机，一般在转子的直轴(d轴)和交轴(q轴) 上各考虑一个等值阻尼绕组(分别称为D绕组和Q绕 组)， 而对于隐极电机，除了D、Q绕组外，在Q轴上再增 加一个等值阻尼绕组(称为g绕组)。g绕组和Q绕组分 别用来反映阻尼作用较强和较弱的涡流效应。
在本科生教材中已经介绍过理想化同步电机的 假设条件，详细导出了在转子具有D、Q等值阻 尼绕组情况下的基本方程式。本节在此基础上 加以扩展。
一、同步电机的基本方程 (一)原始方程式 图1-1(a)和(b)分别为同步电机的结构示意图和 各绕组的电路图；
为一般起见，考虑转子为凸极并具有D、g、Q三个 阻尼绕组，而将隐极电机或转子仅有D、Q阻尼绕组 分别处理为它的特殊情况。 图中给出了定子三相绕组、转子励磁绕组f 和阻尼绕 组D、g、Q的电流、电压和磁轴的规定正方向。 需注意：
研究生学位课：
现代电力系统分析
（下册） 下册）
任课教师：葛少云
稳定破坏是电网中最为严重的事故 之一，大电力 系统的稳定破坏事故，往往引起大面积停电，给国 民经济造成重大损失。
1965年11月美国ห้องสมุดไป่ตู้北部与加拿大电力系统大停电 事故为例，该事故由于一条线路过负荷而引起相邻 线路相继跳闸／以致发展成为全系统的稳定破坏事 故，停电区域波及美国东北部6个州及加拿大的一 部分，停电功率达2500万kW，停电时间达13小时 32分，损失是巨大的。去年美国的大停电。 在西欧和日本，也都发生过由于失稳而造成的大 面积停电事故。
实际情况举例： 电磁暂态过程分析： 所研究的暂态过程持续时间通常较短(持续时间毫 秒级以内的电压电流变化)，在此情况下，一些动 态响应比较缓慢的元件，如原动机及调速系统等的 影响往往可以忽略不计，而发电机定子回路和电力 网中的电磁暂态过程则需加以考虑。 电力系统稳定性分析： 则通常忽略发电机定子回路和电力网中的电磁暂态 过程，而将线路和变压器等元件用它们的等值阻抗 来描述。
∆Ma =MT -Me为净加速转矩(kg·m)，其中MT为原
动机的转矩，Me为发电机输出的电磁转矩。 若以Θ表示从某一固定参考轴算起的机械角位 移(rad)，Ω表示机械角速度(rad/s)，则有 于是可以得到转子运动方程:
磁链方程：
二、用电机参数表示的同步电机方程
在上两个方程中,除去与零序绕组有关的方程后， 余下的方程涉及17个原始参数：
Ra、Rf 、RD、Rg、RQ、Xd、Xq、X f 、XD Xg、XQ、Xaf 、XaD、X fD、Xag、XaQ、
这些参数大部分都很难直接得到。实际上同步 电机的常用参数有12个：
在电力系统发生故障或操作后，将产生复杂的电磁 暂态过程和机电暂态过程，前者主要指各元件中电 场和磁场以及相应的电压和电流的变化过程，后者 则指由于发电机和电动机电磁转矩的变化所引起电 机转子机械运动的变化过程。 电磁暂态过程分析的主要目的在于分析和计算故障 或操作后可能出现的暂态过电压和过电流，以便对 电力设备进行合理设计，确定已有设备能否安全运 行，并研究相应的限制和保护措施。
(1)定子各相绕组的自感和绕组间的互感，即
在理想化假设条件下，可以证明：l2＝m2。另外， 对于隐极电机，上列自感和互感都是常数。
(2)定子绕组与转子绕组间的互感，即
(3)转子各绕组的自感和绕组间的互感
由于转子各绕组与转子一起旋转，无论凸极 或隐极电机，这些绕组的磁路情况都不因转子 位置的改变而变化，因此这些绕组的自感和它 们间的互感Lff 、LDD、Lgg、MfD、MgQ都是常数。 另外，由于d 轴的f、D绕组与q轴的g、Q绕组彼 此正交，因此它们之间的互感为零，即 Mfg＝MfQ=MDg＝MDQ=0
其中 （1-16）
采用式(1-8)进行坐标变换，实际上相当于将定子的三 个相绕组用结构与它们相同的另外三个等值绕组—d 绕组、Q绕组和0绕组来代替。d绕组和Q绕组的磁轴 正方向分别与转子的d轴和q轴相同，用来反映定子三 相绕组在d轴和q轴方向的行为；而0绕组用于反映定 子三相中的零序分量。 式(1-16)中的Ld、Lq和L0分别为等值d绕组、Q绕组和0 绕组的自感，它们依次对应于定子d轴同步电抗、q轴 同步电抗和零序电抗。