数列中的恒成立问题(教师版)

数列中的恒成立问题

【常用方法和策略】：

数列中的恒成立问题历来是高考的热点，其形式多样，变化众多，综合性强，属于能力题，主要考查学生思维的灵活性与创造性．

数列中等式恒成立问题通常采用赋值法和待定系数法，利用关于n 的方程有无数个解确定参数的值，也可采用观察、归纳猜想再证明的思想；

与不等式有关的数列恒成立问题，常常使用分离参数法、利用函数性质法等，转化为研究数列的最值问题．

【课前预习】：

1. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，11a =，公差0d ≠，若对任意正整数n ，前n 项的和与前3n 项的和

之比为同一个常数，则数列{}n a 的通项公式是_______________. 【解析】由已知得，(1)2n n n d S n -=+

，33(31)32

n n n d

S n -=+，设3n n S t S =为常数，则

2963dn d tdn t td +-=+-对*n N ∀∈恒成立，所以9263td d d t td =⎧⎨-=-⎩，由于0d ≠，解得2

19

d t =⎧⎪

⎨=⎪⎩

故21n a n =-

2. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2

n n a S An Bn C +=++且0A >，则

1

B C A

+-的最小值为 ． 【解析】根据2

n n a S An Bn C +=++及等差数列的性质，可设S n =An 2+Dn ，则a n =（B －D ）n+C ，则有

a 1=B －D+C ，由等差数列的求和公式可得S n =

2)(1n a a n +=2D B -n 2+2

2C

D B +-n=An 2+Dn ，则有⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=-D

C

D B A D

B 222，消去参数D 并整理可得B －C=3A ，故A 1+B －C=A 1+3A ≥2A A 31⋅=23，当且仅当A

1

=3A ，即A=33时等号成立．

3. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式22

2

12n n S a ma n

+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成

立，则实数m 的最大值为________．

【解析】设数列{a n }的公差是d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋

n （n －1）

2

d.由题意[a 1＋(n －1)d]2＋⎝⎛⎭

⎫a 1

＋n －12d 2

≥m a 21对任意的a 1，d ∈R ，n ∈N *恒成立． ① 若a 1＝0，上式显然恒成立；

② 若a 1≠0，则⎣⎡⎦⎤1＋（n －1）d a 12＋⎣⎡⎦

⎤1＋（n －1）d 2a 12≥m 对任意的a 1，d ∈R ，n ∈N *恒成立．令

（n －1）d 2a 1

＝t ，则(1＋2t)2＋(1＋t)2≥m 对任意的实数t 恒成立．而(1＋2t)2＋(1＋t)2＝5t 2

＋6t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352

＋15，所以t ＝－35时(1＋2t)2＋(1＋t)2取最小值，所以m ≤15

. 综上所述，m 的最大值为1

5

.

【典型例题】：

例题1 设数列{a n }满足a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 1．

（1）若a 1 = 3，求证：存在f (n )=a n 2+b n+c （a ，b ，c 为常数），使数列{ a n + f (n ) }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；

（2）若a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，求首项a 1的值与数列{b n }的通项公式． 【解析】(1)证明：设数列{ a n + f (n ) }的公比为q ，则：a n+1+f (n+1)=q(a n +f (n )), 而()()()c n b n a n n a n f a n n ++++++-+=+++111421221 c b bn a na an n n a n +++++++-+=21422

2

()()()c b a n b a n a a n +++++-+++=142122

()()qc qbn qan qa n f a q n n +++=+2．

由等式恒成立得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+-=+==c b a qc b a qb a qa q 14212，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===0

212c b a q ． ∴存在f (n )=n 2-2n ，数列{ a n + f (n ) }成公比为2的等比数列．

又a 1+f (1)=3+1-2=2，所以a n +f (n)=2⋅2n -1=2n ．

所以a n =2n - f (n)= 2n - n 2+2n ．.………………（8分） (2) ∵a n 是一个等差数列{b n }的前n 项和，

可设Bn An a n +=2

，则:()()()()B A n B A An n B n A a n ++++=+++=+211221．

又a n +1 = 2a n + n 2 - 4n + 114222

2+-++=n n Bn An ()()142122

+-++=n B n A ．

由此得⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=++=1

4221

2B A B B A A A ，解得⎩⎨⎧=-=21B A ．所以n n a n 22+-=，所以11=a ．

所以当2≥n 时，()()[]

12122

21-+---+-=-=-n n n n a a b n n n n 23-=．

当1=n 时，111==a b 满足上式．故n b n 23-=．.………………（16分）

例题2已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ．