正态性检验方法比较

正态性检验方法的比较

实际获得的数据，其分布往往未知。在数据分析中，经常要判断一组数据的分布是否来自某一特定的分布，比如对于连续性分布，常判断数据是否来自正态分布，而对于离散分布来说，常判断是否来自二项分布.泊松分布，或判断实际观测与期望数是否一致，然后才运用相应的统计方法进行分析。以下是几种正态性检验方法的比较。

一、2χ拟合优度检验：

（1）当总体分布未知，由样本检验总体分布是否与某一理论分布一致。

H0: 总体X的分布列为p{X=xi}=pi,i=1,2,……

H1：总体 X的分布不为pi

构造统计量

2χ=

2

1

k

i

n fi

pi

pi n

=

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

∑

=

()2

1

k

i

fi npi

npi

=

-

∑

其中fi为样本中Ai发生的实际频数,npi为H0为真时Ai发生的理论频数。

（2）检验原理

若2χ=0，则fi=npi,意味着对于Ai，观测频数与期望频数完全一致，即完全拟合。

观察频数与期望频数越接近，则2χ值越小。

当原假设为真时，有大数定理，fi

n

与pi 不应有较大差异，即2χ值应较小。

若2χ值过大，则怀疑原假设。

拒绝域为R={2χ>=d} ，判断统计量是否落入拒绝域，得出结论。

二、Kolmogorov-Smirnov 正态性检验：

Kolmogorov-Smirnov 检验法是检验单一样本是否来自某一特定分布。比如检验一组数据是否为正态分布。它的检验方法是以样本数据的累积频数分布与特定理论分布比较，若两者间的差距很小，则推论该样本取自某特定分布族。即对于假设检验问题：

H0:样本所来自的总体分布服从某特定分布

H1：样本所来自的总体分布不服从某特定分布

统计原理：Fo （x ）表示分布的分布函数，Fn （x ）表示一组随机样本的累计概率函数。

设D 为Fo(x)与Fn （x ）差距的最大值，定义如下式:

D=max/Fn(x)-Fo(x)/

对于给定的a ，P{Dn>d}=a,其中P{Dn>d}=a

结论：当实际观测D>Dn,则接受H1，反之则不拒绝H0假设。 #

{,1,2,,}()i n x x i n F x n

≤==

*2χ

拟合优度检验与K-S 正态检验的比较： 2χ拟合优度检验与K-S 正态检验都采用实际频数与期望频数进行检验。他们之间最大的不同在于前者主要用于类别数据，而后者主要用于有计量单位的连续和定量数据，拟合优度检验虽然也可以用于定量数据，但必须先将数据分组才能获得实际的观测数据，而K-S 正态检验法可以把原始数据的n 个观测值进行检验，所以它对数据的利用较完整。

三、Lilliefor 正态分布检验

当总体均值和方差未知时，Lilliefor 提出用样本均值和标准差代替总体的期望和标准差，然后使用Kolmogorov-Smirnov 正态性检验法，它定义了一个D 统计量;

D=max/ Fn （x ）- Fo （x ）/参数未知，由22ˆˆ,X S μσ==计算得到

统计量，查表得Lilliefor 检验的临界值，确定拒绝域，得出结论。

四、偏度峰度检验法：

偏度系数

峰度系数 （一）、S.K 的极限分布

类似于参数估计中的U 检验法，即借助正态分布构造小概率事件。其检验统计量为：

332

2()B S B =4

223()B K B =-

()0,16/S

N n : ()0,124/K

N n :

E(S)=0 D(S)=6/n E(K)=0 D(K)=24/n

（二）、Jarque-Bera 检验： 检验统计量()2221~264n k JB S K χ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,其中S 是偏度，K 是峰

度，k 是序列估计式中参数的个数。

JB 检验属于偏度，峰度联合检验法，P 值越大，越认为服从正态分布。一般认为，P>0.4，则保留原假设。

五、小样本场合（3

w 检验是检验样本容量n ≤50时，样本是否符合正态分布的一种方法。其检验步骤如下：

①将数据按数值大小重新排列，使x1≤x2≤…≤xn；

②计算

③计算 式中：当n 为偶数时，i=n/2；n 为奇数时，i=（n －

1）/2； 值可查表得出；

④计算检验统计量

[2]

2

(1)()1

21[()]

()n i n i i i n i i a X X W X

X +-==-=-∑∑

⑤若Ｗ值小于判断界限值Ｗα（可通过查表求得），按表上行2

1()n

i i X X =-∑

写明的显著性水平α舍弃正态性假设；若Ｗ>Ｗα,接受正态性假设。

六、大样本场合（50

统计量： ()

1

32

()11()2()()n

i i n i i n i X D n X

X ==+-

=-∑∑

七、各种正态性检验方法的比较：一般通用的方法有2χ检验以及

K 检验，但检验精度较低。 偏度检验对非对称、长尾分布较敏感；峰度检验对对称分布较敏感；W 检验对各种分布（特别对非对称分布）都很敏感。当总体均值和方差未知且无先验信息时用Lilliefor 正态检验.大样本情况下D 检验是比较好的检验方法。但我们要知道，检验方法的功效性都是随着样本量的增大而增大的。