自相似的分形曲线

Levy曲线主型： Ds
ln 2 ln 2
2 2
皇冠分形曲线
设主型第一(六)条折线段与水平线夹角为 30 ,
故由方程 2r cos 30 r 1 得 r 1 Ds ln(ln36 1.78275 1 ) ( 3 1 )
桧树分形小枝：
桧(gui)树(刺柏)分形小枝：
ln N ln 20 Ds 2.7268 ln K ln 3
几种严格自相似分形的生成格 式
(1)Koch曲线
基线为单位长度线段； 主型中折线段数为4，即 N=4 ； 折线段长度为1/3；
Koch 曲线相似性维数：
ln 4 Ds 1.26186 1 ln 3
Levy曲线分形
ln N Ds ln r
双对数形式.
康托尔尘埃(Cantor dust)
生成方法：初始元为正 方形，将初始元分成 16个小正方形(如右 图)，保留4个小正方 形，形成生成元，无 穷次操作形成一点集, 显然它是一个严格的 自相似形
分形维数 :生成元由4个 与初始元相似比为4的 注意：分形的相似维数 不一定是分数。 部分组 Ds=ln4/ln4=1
其它分形图
花篮族
羊凿树叶状分形
分数维(Fractal Dimension)的意 义
我们把维数看成是“复杂性指标”，看 作是图形填充空间的程度。则在曲线的构成 中，以Koch曲线为例，当转角由零度到九十 度 从小到大变化时，其分形维数也由1(直 线段维数)从小到大，甚至接近并达到2(三 角形面片)。
分形相似维数(Similar Dimension) 计 算
分形几何学起初确实没有太多公式，但 它揭示了众多现象的自相似性，Mandelbrot 紧紧抓住了双对数关系(幂律关系)，在非线性 中找到了一个重要不变量——分数维数。有 了这些，对于一门学科的初创者来说，也就 足够了。
严格自相似分形的相似维数 :
主型由五条折线段组成，
设其长度为r
由余弦定理有 : r 0.5 2 r 0.5cos (0.5 r )
2 2 2
Leabharlann Baidu
3r 1 即 cos 0 4 4r
且由三角形三边关系, 得r 1 3 取r 0.33912, Ds ln 5 1.48829 ln 0.33912
自相似性的一点注记
部分与整体具有严格的自相似的分形又称 作有规分形。如Koch曲线,它是按一定的数学 法则(迭代)生成的，因此它的任一片段与整体 严格自相似。 但自然界的分形，其自相似性并不是严格 的，如海岸线，天空的云团，树的枝干等只是 一种统计意义下的自相似。对于Koch曲线也可 以“随机生成”－可用掷硬币的方式来决定新 的部分位于被去掉部分的哪一侧。这类分形又 称作无规分形。
练习题
1. 按照分形的自相似原理，设计一个严格 自相似分形集，并计算其自相似分维。
3.如此反复操作直至无 穷，极限情况下，小立 方体的体积为零，而其 表面面积之和趋于无穷 大。所以实际得一个面 集，是一个具有自相似 性结构的规则分形系统.
维数计算
从一个小立方体出发，将小立方体的每边 放大3倍，则此时体积放大27倍，共舍去体心 和六个面面心上的7个小立方体，实际得的是 N=20 个小立方体； 边长放大倍数为k＝3.
谢尔宾斯基海绵(sierpinski’s sponge)
1. 如图所示，取一立方体,第一步将立方体等分 成27个小立方体，舍去体心的一个小立方体 和六个面上面心的小立方体, 即舍去7个小立 方体，保留27－7＝20个小立方体.
(2)
2.第二步再对每个小立 方体进行同样的操作： 此时保留下来的小立方 体数目为20×20＝400个；