通性通法与初中数学
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• 比如， 有理数加法法则 有理数减法法则 单项式乘法法则 多项式乘法法则 分式方程解法 根式方程解法
数学学习的展开
• 数学学习最多 的一种展开情 形！ • 类似性引伸推 广的例
数,式,方程, 不等式,函数 等,都是类似性的
引伸展开的佳例！
家庭培养神童为什么四五年就能学 完基础数学？？？
• 学法与教法上 的不同：
对小学数学的新认识
• 数的认识与一一 对应 • 整数，小数，分 数的四则运算 • 基本运算律 • 几类应用问题的 量的基本关系
• 数的四则运算,主要 的又是整数四则, 学小数、分数四则 时,要尽量与整数四 则联系起来,在整数 四则的基础上,加以 适当的推广扩展 式的学习。
对初中数学的一种概括
• 主要内容也就 初中数学的通性通法是： 运算律 ；等式运算性 是数、式的运 质；不等式运算性质； 算；方程、不 数形映射；讨论；基 等式的解法； 本图形的常用推理。还 函数的研究； 有数学化,变形,代换,与 基本图形及其 消元；变换；分解与重 新组合等。 推理这几大块。
解一元二次方程例
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x 6x 5 0
2 2
x 6x 5 4 0 4
x 3
2
4
x 3 2
（三）.不等式的通性 ——不等式运算性质
不等式运算性质有 哪一些? • 两边同加一数 • 两边同乘一正数 • 两边同乘一负数 • 正数式的两边平 方
• 不等式运算性 质在解不等式 中的运用 • 不等式运算性 质的其他应用
数学，就是这样从低层次到高层次， 不断地和谐扩展的 • • • • • 数的和谐扩展 式的和谐扩展 方程的和谐扩展 函数的和谐扩展 图形的和谐扩展
• 这样的和谐扩 展总是遵循着 的原则又是什 么？ 本质上的主要东 西保持不变 又要与实际的需 要相联系
高层次的总是化归为低层次的
• 数学的所有法 则，总是把高 层次的法则一 次次的化归为 低层次的法则.
• 进一步学习的 需要
什么是通性通法？
• 简单地说,通性通 • 就是数学内容展 法就是：中学数 开中一直贯串着 学主要的知识与 的一条红线。所 主要思想方法.是 谓“通” ,应是 延伸性辐射性最 指数学的知识与 强的数学知识。 方法中最重要、 最通用的东西.
中小学数学的通性通法
• • • • • 运算律 等式运算性质 不等式运算性质 数形映射 讨论 • • • • 数学化 变形,代换,消元 变换 分解与重新组合
（一）.数式运算的通性
——运算律
• 运算律渗透与应 用的普遍性 • 交换律、结合律 的运用：
多个项的综合运算式
• 乘法对加法的 分配律的运用：
合并同类项 去添括号 提取公因式 多项式乘法
5 7
同分母分数加减例
• 同分母分数相加 5 3 5 1 3 1 7 7 减的依据，仍然 7 7 是运算律——这 1 53 5 3 时用的是乘法对 7 7 加法的分配律. 8 1
解一元一次不等式组例：
3 x 2 1 6 x 1 1 7 4 x 3 5 x 10 2 化得3 x 5 6 x 6 19 4 x 5 x 10
（四）.函数的通性 ——函数式的变形与映射
• 用函数式的 • 用数形结合 变形解函数 解函数问题 问题
7 1 7
整式加减例:
6m 5 m 6 m m 2 6
2 2
6m 5m 30 5m 6m 12
2 2 2
6 5 m 5 6 m 30 12
因式分解例：
x x 6 x 6 x 6 x 1
• 数学的内容,只 • 它的法则,后面 是不断地由引 的法则总是不 伸推广、和谐 断地化归为前 扩展形成的（和 面的法则（法 谐扩展）； 则化归）；
数学是一种 形式操（作）演（练）
• 数学作为一门形式科学,主要就 是由形式操练组成的.看似广泛 深奥的内容之间,其实是由少数 几个思想方法主宰着的，只有 少数通性通法在数学中是一直 适用的。
解二次函数题例：
己知二次函数
y = -2x 4 x 1
2
① 求它的最大值; ② 3 x 0,求它的最大值和最小值.
（五）.几何的通性 ——基本图形的分解与组合
x 5x 6 x 6 x + x 6
2 2
（二）.方程的通性
—— 等式的运算性质
等式运算性质有哪 一些? • 两边同加一式 • 两边同乘一式 • 两边平方 • 两边开方 • 等式加等式
• 等式运算性质 在解方程中的 运用 • 等式运算性质 的其他应用
解一次方程例：
1 3 1 4 1 x 1 6 4 2 5
通性通法与小学初中数学
------中小学数学的新视角与新认识 （774322840）
一.为什么数学多差生，又多神童？ • 差生是因为从 小他自身不想 学；基础没打 好；或因教学 上也不甚得法. • 因为数学学科 有特殊性！ • 有的神童是因 为有天赋，有 特殊的家庭条 件；或有虎爸虎 妈.
二.数学是什么？ 数学就是“和 谐扩展＋法则化归＋形式操演”
• 先学最基本的； • 重视基本原理； • 重视自学能力与 究理能力
• 学校培养一个学 生，为什么学了 九年还是一个差 生？？
仅仅是智力因素吗？ 兴趣与积极性 教学内容与教法
推荐一本新书《
好方法胜过好老师》
• • • • •
旧游戏化出的新天地 早期教育的兴趣教材 少儿思维训练的体操 有文化家长的上好帮手 数理教师必能一举而二得
学数学的四大基础思想
• 学习一开始就要 设法加强熏陶的 思想； • 原理性的； • 使内容能由“厚 到薄的”
一一对应； 运算律 等式运算性质与 不等式运算性质 数形映射
三. 关于通性通法
• 最早提出在 上世纪五十 年代. • 八十年代以 来的提法
从什么视角， 用什么思想来分 析？
• 从大纲教材 • 从高考需要
数学学习的展开
• 数学学习最多 的一种展开情 形！ • 类似性引伸推 广的例
数,式,方程, 不等式,函数 等,都是类似性的
引伸展开的佳例！
家庭培养神童为什么四五年就能学 完基础数学？？？
• 学法与教法上 的不同：
对小学数学的新认识
• 数的认识与一一 对应 • 整数，小数，分 数的四则运算 • 基本运算律 • 几类应用问题的 量的基本关系
• 数的四则运算,主要 的又是整数四则, 学小数、分数四则 时,要尽量与整数四 则联系起来,在整数 四则的基础上,加以 适当的推广扩展 式的学习。
对初中数学的一种概括
• 主要内容也就 初中数学的通性通法是： 运算律 ；等式运算性 是数、式的运 质；不等式运算性质； 算；方程、不 数形映射；讨论；基 等式的解法； 本图形的常用推理。还 函数的研究； 有数学化,变形,代换,与 基本图形及其 消元；变换；分解与重 新组合等。 推理这几大块。
解一元二次方程例
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x 6x 5 0
2 2
x 6x 5 4 0 4
x 3
2
4
x 3 2
（三）.不等式的通性 ——不等式运算性质
不等式运算性质有 哪一些? • 两边同加一数 • 两边同乘一正数 • 两边同乘一负数 • 正数式的两边平 方
• 不等式运算性 质在解不等式 中的运用 • 不等式运算性 质的其他应用
数学，就是这样从低层次到高层次， 不断地和谐扩展的 • • • • • 数的和谐扩展 式的和谐扩展 方程的和谐扩展 函数的和谐扩展 图形的和谐扩展
• 这样的和谐扩 展总是遵循着 的原则又是什 么？ 本质上的主要东 西保持不变 又要与实际的需 要相联系
高层次的总是化归为低层次的
• 数学的所有法 则，总是把高 层次的法则一 次次的化归为 低层次的法则.
• 进一步学习的 需要
什么是通性通法？
• 简单地说,通性通 • 就是数学内容展 法就是：中学数 开中一直贯串着 学主要的知识与 的一条红线。所 主要思想方法.是 谓“通” ,应是 延伸性辐射性最 指数学的知识与 强的数学知识。 方法中最重要、 最通用的东西.
中小学数学的通性通法
• • • • • 运算律 等式运算性质 不等式运算性质 数形映射 讨论 • • • • 数学化 变形,代换,消元 变换 分解与重新组合
（一）.数式运算的通性
——运算律
• 运算律渗透与应 用的普遍性 • 交换律、结合律 的运用：
多个项的综合运算式
• 乘法对加法的 分配律的运用：
合并同类项 去添括号 提取公因式 多项式乘法
5 7
同分母分数加减例
• 同分母分数相加 5 3 5 1 3 1 7 7 减的依据，仍然 7 7 是运算律——这 1 53 5 3 时用的是乘法对 7 7 加法的分配律. 8 1
解一元一次不等式组例：
3 x 2 1 6 x 1 1 7 4 x 3 5 x 10 2 化得3 x 5 6 x 6 19 4 x 5 x 10
（四）.函数的通性 ——函数式的变形与映射
• 用函数式的 • 用数形结合 变形解函数 解函数问题 问题
7 1 7
整式加减例:
6m 5 m 6 m m 2 6
2 2
6m 5m 30 5m 6m 12
2 2 2
6 5 m 5 6 m 30 12
因式分解例：
x x 6 x 6 x 6 x 1
• 数学的内容,只 • 它的法则,后面 是不断地由引 的法则总是不 伸推广、和谐 断地化归为前 扩展形成的（和 面的法则（法 谐扩展）； 则化归）；
数学是一种 形式操（作）演（练）
• 数学作为一门形式科学,主要就 是由形式操练组成的.看似广泛 深奥的内容之间,其实是由少数 几个思想方法主宰着的，只有 少数通性通法在数学中是一直 适用的。
解二次函数题例：
己知二次函数
y = -2x 4 x 1
2
① 求它的最大值; ② 3 x 0,求它的最大值和最小值.
（五）.几何的通性 ——基本图形的分解与组合
x 5x 6 x 6 x + x 6
2 2
（二）.方程的通性
—— 等式的运算性质
等式运算性质有哪 一些? • 两边同加一式 • 两边同乘一式 • 两边平方 • 两边开方 • 等式加等式
• 等式运算性质 在解方程中的 运用 • 等式运算性质 的其他应用
解一次方程例：
1 3 1 4 1 x 1 6 4 2 5
通性通法与小学初中数学
------中小学数学的新视角与新认识 （774322840）
一.为什么数学多差生，又多神童？ • 差生是因为从 小他自身不想 学；基础没打 好；或因教学 上也不甚得法. • 因为数学学科 有特殊性！ • 有的神童是因 为有天赋，有 特殊的家庭条 件；或有虎爸虎 妈.
二.数学是什么？ 数学就是“和 谐扩展＋法则化归＋形式操演”
• 先学最基本的； • 重视基本原理； • 重视自学能力与 究理能力
• 学校培养一个学 生，为什么学了 九年还是一个差 生？？
仅仅是智力因素吗？ 兴趣与积极性 教学内容与教法
推荐一本新书《
好方法胜过好老师》
• • • • •
旧游戏化出的新天地 早期教育的兴趣教材 少儿思维训练的体操 有文化家长的上好帮手 数理教师必能一举而二得
学数学的四大基础思想
• 学习一开始就要 设法加强熏陶的 思想； • 原理性的； • 使内容能由“厚 到薄的”
一一对应； 运算律 等式运算性质与 不等式运算性质 数形映射
三. 关于通性通法
• 最早提出在 上世纪五十 年代. • 八十年代以 来的提法
从什么视角， 用什么思想来分 析？
• 从大纲教材 • 从高考需要