4.1,4.2柱面和锥面

方程 x
(6) 直线的射影式方程
X X z ( x0 z0 ) 表示的平面平行于oy轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面xoz Y Y 方程 y z ( y0 z0 ) 表示的平面平行于ox轴 Z Z 在直角坐标系下又垂直 与坐标面 yoz
直线向坐标面所引的射影平面
x y a ① 例 画出 C : 2 2 x y 2 z 2 2a 2 ②
首先证: 以原点为顶点的锥面方程是 x , y , z 的齐次方程. 设锥面的准线为 C
D0
z
推论 关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 ( x0 , y0 , z0 )的锥面.
F ( x, y, z ) 0 C : Ax By Cz D 0 O M ( x, y, z ) x y z 1 x1 y1 z1 t F ( x1 , y1 , z1 ) 0
为所求柱面方程
4 x 2z y 2 2 x z 5 5
2
M0 ( x0 , y0 , z0 )
C
l 考虑方程 F ( x , y ) 0 在 x y 平面上 它一般表示一条曲线C.
z

M ( x, y, z )
在空间直角坐标系中,以C为准线, 作母线平行于z轴的柱面Σ. 空间中任一点 M ( x , y , z ) M 在 x y平面上的投影为M1 ( x , y ,0)
三元方程中,如果不含z: F ( x , y ) 0 则它一定表示一个 母线平行于z轴的柱面. 反之,任何一个母线平行于z 轴的柱面, 它的方程中 一定不含z.
z

o x
y
证 设Σ是一个母线平行于z轴的柱面,
Σ与xoy平面的交线为C 则C的方程为
G( x , y , z ) 0
z

M ( x, y, z )
z
y
x2 y2 方程 2 2 1 a b 在 x y 平面直角坐标系中 表示一条双曲线. y z
o x
在空间直角坐标系中, 表示以这条双曲线为准线, 母线平行于z轴的柱面. 称为双曲柱面.
o x
y
x y 方程 2 2 1 a b
2
2
在 x y 平面直角坐标系中表示一条椭圆. y
z
F3 ( y , z ) 0 x0
x
o
y
称为空间曲线C在yoz平面上的射影曲线.
x x0 y y0 z z0 l: (3) X Y Z
X ,Y , Z不全为零,不妨设Z 0
X X x Z z ( x0 Z z0 ) l : Y Y y z ( y0 z 0 ) Z Z
① ②
2 2
可以通过作出C的射影柱面,来了解曲线C的形状. ①+②得 4x 4z 16z x z 4z 0 2 2 x ( z 2) 4 为曲线C在xoz平面上的射影柱面
2
2
3×①－②得 4x 16 y y

C
为曲线C在xoy平面上的射影柱面
o
M 1 ( x, y, 0 )
y
x C
F ( x, y ) 0
M1 在 x y 平面直角坐标系中的坐标为( x, y )
M1 ( x, y,0 ) C M ( x, y, z ) ( x , y ) 满足曲线C的方程 F ( x , y ) 0
柱面Σ的方程为 F ( x , y ) 0
2 2 2
在第一卦限内的图形. 解 x y a 为曲线C在xoy平面上的射影柱面
2 2 2
②－① 得 x 2 z 2 a 2 为曲线C在xoz平面上的射影柱面
x2 y2 a2 C : 2 2 2 x z a
z

C

x
o
y
2 x 2 z 2 4 y 4z 例 C : 2 x 2 3 z 2 4 y 12 z
z
C
o
o
y
y
x
在空间直角坐标系中,表示以这条椭圆为准线, 母线平行于y 轴的椭圆柱面.
x2 z2 例如 2 2 1 在xz平面直角坐标系中表示一椭圆. a b
x
方程 F ( y , z ) 0 在yz平面坐标系上 一般表示 一条曲线C. 在空间直角坐标系中,表示以这条曲线C为准线, z 母线平行于x 轴的柱面.
z0 0
故Σ的方程为
G( x , y ,0 ) 0 即F ( x , y ) 0 方程中不含z.
定理4.1.1若一个柱面母线平行于z轴,则它的方程 中不含z；反之, 一个三元方程中,如果不含z, 则它一定表示一个 母线平行于z轴的柱面. 在仿射坐标系中也成立
z
F ( x, y) 0
锥面上不过顶点,且与每一条母线都相交的曲线 都可作为锥面的准线. (由一族共点的直线所生成)
设锥面Σ的顶点为M0 ( x0 , y0 , z0 )准线为 F1 ( x , y, z ) 0
求锥面的方程
M ( x, y, z )
C : F2 ( x , y, z ) 0
M在某一母线 l 上 存在准线C上一点 M1 ( x1 , y1 , z1 ) M 0 M M 0 M1
z 0
o x
母线的方向为 e3 (0,0,1)
M ( x, y, z )
C
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
y
x x0 y y0 z z0 1 0 0
G ( x0 , y0 , z 0 ) 0
x0 x y0 y z0 0
G( x , y , 0 ) 0
表示母线平行于z轴,且包含曲线C 的柱面, 称为曲线C 在xoy平面上 的射影柱面. F2 ( x , z ) 0 表示母线平行于y轴,且包含 曲线C 的柱面,称为曲线C在xoz平面 上的射影柱面. x
F3 ( y , z ) 0
C
z
o
y
为母线平行于x轴 且包含曲线C 的柱面,称为曲线C 在yoz平面上的射影柱面.
F ( x, y, z ) 0 空间曲线 C : G( x, y, z ) 0
射影曲线
投影柱面F1 ( x, y ) 0与xoy平面的交线
F1 ( x, y ) 0
z
C
z 0
o x
y
称为空间曲线C在xoy平面上的 射影曲线.
射影曲线
F ( x, y, z ) 0 空间曲线 C : G( x, y, z ) 0
L
F2 ( x0 , y0 , z0 ) 0
母线方向垂直于准线所在平面， 求柱面方程. 解 准线C为 曲面 x y 2 z 2 与 平面 x 2z 的交线
x y2 z2 例 在直角坐标系下, 柱面的准线为 C : x 2z
准线所在的平面为x 2z 0母线的方向为n (1,0, 2) M ( x, y, z ) x x0 y y0 z z0 1 2 0 2 2 n (1,0, 2) x 0 y0 z 0 x0 2z0 M ( x, y, z )
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 §4.1 柱面 一、柱面 定义4.1.1 给定空间曲线C,动直线L 沿曲线C 平行 L 移动,所产生的曲面 称为柱面, 称为柱面的母线, C 称为柱面的准线. 柱面的母线不唯一, 但母线的方向唯一. 柱面的准线不唯一, 柱面上与 每一条母线都相交的曲线都可 作为准线. (由一族具有定方向的平行直线所生成)
L L
C
F1 ( x, y, z ) 0 设柱面Σ的准线为 C : F2 ( x, y, z ) 0 母线的方向为 v ( l , m, n) 求柱面方程. M ( x, y, z ) v ( l , m , n) M在某一母线 L上 存在准线C上一点M0 ( x0 , y0 , z0 )
x ( z 2) 4 C : x 2 4 y
2 2
o
x
y
§4.2 锥面 定义4.2.1给定空间一点M0 和一条不过M0的曲线C
所有过点M0且与曲线C相交的直线 构成的曲面 称为锥面.
定点M0称为锥面的顶点, 定曲线C称为锥面的准线. 动直线 l 称为锥面的母线.

C
M0
x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
C
F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 F2 ( x1 , y1 , z1 ) 0

M1 ( x1 , y1 , z1 )
M ( x, y, z )
M 0( x0 , y0 , z0 )
M ( x, y, z )
C
M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) v 使得
x x0 y y0 z z0 m l n F1 ( x0 , y0 , z0 ) 0
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
存在 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 使得 消去 x0 , y0 , z0 即得柱面方程
消去x后, F3 ( y , z ) 0 任取其中两个方程组成方程组,如
F1 ( x, y ) 0 C : F2 ( x , z ) 0
同解方程组
F ( x, y, z ) 0 C : G( x, y, z ) 0
曲线C 是它的任意两个投影柱面 的交线.
F1 ( x, y ) 0
o x
在空间直角坐标系中, 表示以这条椭圆为准线, 母线平行于z轴的柱面. 称为椭圆柱面.
o x
y
yx 再如 x y 1 在 x y 平面直角坐标系中表示一条直线.
y y
o
x
o
x
在空间直角坐标系中,表示过这条直线 且平行于 过 z轴的平面.
z z
o x
y
x
o
y
同理,方程 F ( x , z ) 0 在xz平面坐标系上 一般 表示一条曲线C. 在空间直角坐标系中,表示以这条曲线为准线, z 母线平行于y 轴的柱面.
z
C
o o
y
y
x
x
y 2 z 2 r 2在yz平面直角坐标系中 表示一个圆. 例如
在空间直角坐标系中,表示以这圆为准线, 母线 平行于x 轴的圆柱面.
2.空间曲线的射影柱面
F ( x, y, z ) 0 设空间曲线的方程为 C : G( x, y, z ) 0
从方程组中消去z后, F1 ( x, y ) 0 消去y后, F2 ( x , z ) 0
消去x1 , y1 , z1
即得锥面方程
例 求顶点为 (4,0, 3) 准线为 C : 的锥面方程. z 0 解 M ( x, y, z )
x 4 y z 3 x1 4 y1 z1 3
x12 y12 1 25 9
x2 y2 1 25 9
C

M1 ( x1 , y1 , z1 ) M ( x, y, z )
o x
y
方程 F ( x, y ) 0 在 x y平面上它一般表示一条曲线C. 在空间直角坐标系中,它表示以C准线, z 母线平行于z轴的柱面Σ
y
o
o x
y
x
2
C
例如方程 y x 在 x y 平面直角坐标系中 表示一条抛物线. 在空间直角坐标系中,表示以这条 o 抛物线为准线,母线平行于z轴的柱面. x 称为抛物柱面.
M 0 (4,0, 3)
z1 0
1 4z 3x 25 z 3
1 3y 1 为所求锥面方程 9 z 3
2
2
定理4.2.1 以原点为顶点的锥面方程
是 x , y, z 的齐次方程; 反之, 任一 x , y, z 的齐次方程 都表示以原点为顶点 的锥面.
投影柱面F2 ( x , z ) 0 与xoz平面的交线
F2 ( x , z ) 0
y0
z
C
称为空间曲线C在xoz平面上的 射影曲线.
o x
y
射影曲线
F ( x, y, z ) 0 空间曲线 C : G( x, y, z ) 0
C
z
投影柱面 F3 ( y , z ) 0 与yoz平面的交线